第2節(jié) 復(fù)化求積公式

§2.復(fù)化求積公式

考慮到數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性，用增大n的方法來(lái)提高數(shù)值積分的代數(shù)精度的方法是不可取的。類似于分段插值，為了減少數(shù)值積分的誤差，把積分區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上采用低階數(shù)值積分公式，然后把這些小區(qū)間上的數(shù)值積分結(jié)果加起來(lái)作為函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的近似，這就是復(fù)化數(shù)值積分。在區(qū)間[a,b]上，取等距節(jié)點(diǎn)又由定積分的區(qū)間可加性，有由此，可以得到相應(yīng)的復(fù)化梯形公式和復(fù)化拋物線公式即一、復(fù)化梯形公式已知在每一個(gè)小區(qū)間上利用梯形公式得到令得到我們稱上式為復(fù)化梯形公式.下面分析復(fù)化梯形公式的誤差。已知根據(jù)梯形公式的誤差可得這時(shí)如果f(x)∈C2[a,b],則一定存在實(shí)數(shù)m、M使得下面進(jìn)一步分析誤差于是，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，存在η使得這時(shí)即則得到復(fù)化梯形公式及其誤差如果記上式說(shuō)明復(fù)化梯形公式是收斂的。利用誤差估計(jì)式,可以對(duì)積分計(jì)算進(jìn)行精度控制，從而確定出需要將積分區(qū)間多少等分。例如，如果我們需要將積分值的誤差控制在ε>0

范圍內(nèi)，只需要從則有解出中出即可。例4.3用四點(diǎn)復(fù)化梯形公式計(jì)算解：四點(diǎn)復(fù)化梯形公式就是將區(qū)間[0，1]三等分，如圖，于是01而梯形公式的結(jié)果為例4.4用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分，應(yīng)將區(qū)間[0,1]多少等分，才可以使其截?cái)嗾`差不超過(guò)解：復(fù)化梯形公式的誤差為而從而令于是，只要將區(qū)間至少68等分,就可以達(dá)到需要的精度要求。二、復(fù)化拋物線（Simpson）公式已知定積分的拋物線公式及其誤差為如果對(duì)于積分在每個(gè)小區(qū)間上都采用Simpson公式，則得到復(fù)化Simpson公式。這時(shí)由得到令進(jìn)一步由介值定理，若f(x)∈C4[a,b],則有設(shè)有估計(jì)式于是，我們得到復(fù)化拋物線公式及其誤差為：這時(shí)，做近似計(jì)算用：四點(diǎn)公式(n=3)的節(jié)點(diǎn)如：bax1x2做誤差限估計(jì)用：最后，總結(jié)出拋物線公式和復(fù)化拋物線公式1.拋物線公式及其誤差2.復(fù)化拋物線公式及其誤差

例4-5試?yán)煤瘮?shù)的數(shù)據(jù)表（表4-1）分別用復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpson公式計(jì)算下列積分的近似值。

表4-1數(shù)據(jù)表015/80.93615561/80.99739783/40.90885171/40.98961587/80.87719263/80.976726710.84147101/20.958811也就是

解:兩種復(fù)化公式分別計(jì)算如下：

根據(jù)已知點(diǎn)的數(shù)據(jù)，需要用到九點(diǎn)復(fù)化梯形公式：

以上兩種算法對(duì)區(qū)間采用不同等分，計(jì)算量大體一致，定積分精確到小數(shù)點(diǎn)后七位的值是0.9460831，Simpson公式精度要高一些。對(duì)于復(fù)化拋物型公式：

在這里n=4,步長(zhǎng)例4-6利用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式分別求下列定積分，若要使精度達(dá)到ε=10-6，問(wèn)各需將區(qū)間[0,1]多少等分？解由于

從而于是有由復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式的誤差表示式得到根據(jù)上面的估計(jì)分別取則只要可分別解出可見(jiàn)滿足同樣的精度要求復(fù)化梯形公式需將區(qū)間167等分復(fù)化拋物線公式只需將區(qū)間3等分本節(jié)(§3)小結(jié)2.復(fù)化拋物線公式及其誤差1.復(fù)化梯形公式及其誤差3.程序設(shè)計(jì)(1).編寫(xiě)復(fù)化梯形公式程序并上機(jī)實(shí)現(xiàn)。(2).編寫(xiě)復(fù)化Simpson公式程序并上機(jī)實(shí)現(xiàn)。(3).分別用兩種公式利用如下積分計(jì)算π值，計(jì)算到3.1416需要將區(qū)間[0，1]多少等分：4.練習(xí)(1).由梯形公式及誤差推導(dǎo)出復(fù)化梯