統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)點(diǎn)梳理

統(tǒng) 計(jì) 學(xué)數(shù)據(jù)分析所用的方法分為描述統(tǒng)計(jì)方法和推斷統(tǒng)計(jì)方法。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的類型分類數(shù)據(jù)、挨次數(shù)據(jù)、數(shù)值型數(shù)據(jù)值型數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)表現(xiàn)為類別，是用文字來(lái)表示。例如：支付方式、性別、企業(yè)類型等。挨次數(shù)據(jù)：只能歸于某一有序類別的非數(shù)字型數(shù)據(jù)。按數(shù)字尺度測(cè)量的觀測(cè)值，其結(jié)果表現(xiàn)為具體的數(shù)值。例如：年齡、工資、產(chǎn)量等。〔定性數(shù)據(jù)〕和數(shù)量數(shù)據(jù)〔定量數(shù)據(jù)、數(shù)值型數(shù)據(jù)〕。觀測(cè)數(shù)據(jù)和試驗(yàn)數(shù)據(jù)依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的收集方法，可以分為觀測(cè)數(shù)據(jù)和試驗(yàn)數(shù)據(jù)。觀測(cè)數(shù)據(jù)：GDP、家庭收入等。試驗(yàn)數(shù)據(jù)：在試驗(yàn)中掌握試驗(yàn)對(duì)象而收集到的數(shù)據(jù)。例如：醫(yī)藥試驗(yàn)數(shù)據(jù)、化學(xué)試驗(yàn)數(shù)據(jù)等。截面數(shù)據(jù)和時(shí)間序列數(shù)據(jù)依據(jù)被描述的現(xiàn)象與時(shí)間的關(guān)系，可分類截面數(shù)據(jù)和時(shí)間序列數(shù)據(jù)。截面數(shù)據(jù)：在一樣或近似一樣的時(shí)間點(diǎn)上收集的數(shù)據(jù)。例如：2023年我國(guó)GDP。時(shí)間序列數(shù)據(jù)：同一現(xiàn)象在不同的時(shí)間收集的數(shù)據(jù)。例如：2023-2023年湖GDP?？傮w和樣本包含所爭(zhēng)論的全部個(gè)體〔數(shù)據(jù)〕的集合。樣本：從總體中抽取的一局部元素的集合。參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量參數(shù)：用來(lái)描述總體特征的概括性數(shù)字度量。統(tǒng)計(jì)量：用類描述樣本特征的概括性數(shù)字度量。例如：某爭(zhēng)論機(jī)構(gòu)預(yù)備從某鄉(xiāng)鎮(zhèn)5萬(wàn)個(gè)家庭中抽取1000個(gè)家庭用于推斷該鄉(xiāng)鎮(zhèn)全部51000個(gè)51000個(gè)家庭的人均純收入。其次數(shù)據(jù)的來(lái)源數(shù)據(jù)的間接來(lái)源原信息重加工、整理，使之成為我們進(jìn)展統(tǒng)計(jì)分析可以使用的數(shù)據(jù)。的數(shù)據(jù)、會(huì)議溝通的數(shù)據(jù)、互聯(lián)網(wǎng)查閱的數(shù)據(jù)等。二手?jǐn)?shù)據(jù)的優(yōu)缺點(diǎn)：搜集便利，采集本錢(qián)低，數(shù)據(jù)采集快，作用廣泛等。缺點(diǎn)：針對(duì)性不夠。數(shù)據(jù)的直接來(lái)源調(diào)查針對(duì)總體中的全部個(gè)體單位進(jìn)展。普查數(shù)據(jù)的優(yōu)缺點(diǎn)：調(diào)查范圍廣，被調(diào)查單位多，信息全面，完整。缺點(diǎn)：調(diào)查費(fèi)時(shí)，費(fèi)力，費(fèi)錢(qián)。調(diào)查數(shù)據(jù)概率抽樣和非概率抽樣n個(gè)元素為止的抽樣方法。簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣：從含有N個(gè)元素的總體中，抽取n個(gè)元素作為樣本，使得總體中的每一個(gè)元素都有一樣的概率被抽中的抽樣方式。層次獨(dú)立地隨機(jī)抽取肯定數(shù)量的，將各層次取出的個(gè)體合在一起作為樣本。群，再對(duì)抽中的各個(gè)群中所包含的全部元素進(jìn)展觀看的抽樣方式。便利抽樣：調(diào)查過(guò)程中由調(diào)查員依據(jù)便利原則，自行確定入樣單位。調(diào)查的調(diào)查方式。抽樣誤差誤差的掌握樣本量就越大。分類數(shù)據(jù)的整理與圖示餅圖〔或總體于描述構(gòu)造性問(wèn)題。環(huán)形圖構(gòu)造性問(wèn)題。數(shù)據(jù)分組一組?！瞐≤x＜b〕數(shù)值型數(shù)據(jù)的圖示1.分組數(shù)據(jù)：直方圖直方圖與條形圖區(qū)分：直方圖：面積表示頻數(shù)；寬度表示組距；矩形連續(xù)排列；展現(xiàn)數(shù)值型數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)：線圖主要用于反映現(xiàn)象隨時(shí)間變化的特征，描述其變化趨勢(shì)。多變量數(shù)據(jù)的圖示〔1〕散點(diǎn)圖適合用于描述兩變量之間是否存在某種關(guān)系。但適合于高層次數(shù)據(jù)的整理和顯示方法并不適合于低層次的數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的度量點(diǎn)的位置所在。值并不適用于低層次的測(cè)量數(shù)據(jù)4.1.1 分類數(shù)據(jù)：眾數(shù)類數(shù)據(jù)，也可用于挨次數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)。挨次數(shù)據(jù)：中位數(shù)和分位數(shù)中位數(shù)Me表示。中位數(shù)將全部數(shù)據(jù)50%數(shù)據(jù)。中位數(shù)計(jì)算步驟：確定中位數(shù)位置；3.確定具體值中位數(shù)位置計(jì)算：(n+1)/2X〔n+1〕/2；偶數(shù)時(shí)，1/2{X(n/2)+X(n/2+1)}四分位數(shù)〕，25%位置點(diǎn)〔下四〕75%位置點(diǎn)〔上四分位〕上的值。四分位數(shù)計(jì)算步驟：數(shù)據(jù)排序；2.確定四分位數(shù)位置；3.確定具體值四分位數(shù)位置確定方法：〔不同確定方法，不同四分位數(shù)值〕QL=n/4；QU=3n/4整數(shù)位置：整數(shù)對(duì)應(yīng)值+〔上側(cè)值—下側(cè)值〕*或者數(shù)值型數(shù)據(jù)：平均數(shù)適用范圍：數(shù)值型數(shù)據(jù)，不適用于挨次數(shù)據(jù)和分類數(shù)據(jù)。眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較1.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的關(guān)系眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)分布的最頂峰平均數(shù)：全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均=中位數(shù)=平均數(shù)左偏分布狀況：存在較小值，平均數(shù)＜中位數(shù)＜眾數(shù)離散程度的度量反映各變量值遠(yuǎn)離中心值的程度越差。數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差1.極差〔全距〕一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差。3.方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差是各變量值與平均數(shù)離差平方的平均數(shù)〔通過(guò)平方消去正負(fù)號(hào)〕。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根。度測(cè)度值。相對(duì)離散程度：離散系數(shù)離散系數(shù)是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值，是離散程度的相對(duì)統(tǒng)計(jì)量。適用于比較不同樣本數(shù)據(jù)的離散程度。離散系數(shù)越大，離散程度越大〔正比〕。練習(xí)題：〔P94〕、〔P95〕樣本均值的分布于中心極限定理當(dāng)總體聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ,σ2)時(shí)，來(lái)自該總體的全部容量為n的樣本的均值x也聽(tīng)從正態(tài)分布，x的數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)中心極限定理：從均值為，方差為2的一個(gè)任意總體中抽取容量為n的樣n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似聽(tīng)從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布。n≥30時(shí)算是充分大，滿足中心極限定理要求。關(guān)于大樣本和小樣本：n→∞閱歷做法，大樣本：n≥30n＜30第七章參數(shù)估量點(diǎn)估量與區(qū)間估量當(dāng)置信水平固定時(shí)，置信區(qū)間的寬度隨著樣本量的增大而減小。95%。特定的區(qū)間總道在屢次抽樣得到的區(qū)間中或許有多少個(gè)包含了參數(shù)的真值。評(píng)估估量量的標(biāo)準(zhǔn)①無(wú)偏性無(wú)偏性是指估量量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估量的總體參數(shù)。②有效性較小標(biāo)準(zhǔn)誤差的點(diǎn)估量量比其他點(diǎn)估量量相對(duì)有效。③全都性第八章假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的根本問(wèn)題假設(shè)檢驗(yàn)的根本思想：率大事在一次試驗(yàn)中發(fā)生了則假設(shè)可能錯(cuò)誤。設(shè)是不成立的，則不能推翻假設(shè)成立的合理性和真實(shí)性。假設(shè)的表達(dá)式陳述。原假設(shè)表示否認(rèn)的意義。備擇假設(shè)假定變量間存在肯定的關(guān)系。上與原假設(shè)內(nèi)容完全對(duì)立的假設(shè)成為備擇假設(shè)。否認(rèn)原假設(shè)，則承受備擇假設(shè)。兩類錯(cuò)誤依據(jù)所犯錯(cuò)誤的類型，我們分為兩種類型：〔P188〕真錯(cuò)誤。，稱為錯(cuò)誤或取偽錯(cuò)誤。對(duì)原假設(shè)為真的推斷與概率：，也稱為顯著性水平。承受原真假設(shè)，做出正確推斷的概率為1-。為和.通過(guò)選擇，為顯著性檢驗(yàn)。很多假設(shè)檢驗(yàn)的應(yīng)用都屬于這一種類型。對(duì)原假設(shè)為偽的推斷與概率：承受原偽假設(shè)的概率為拒絕原偽假設(shè)，做出正確推斷的概率為1-正確決策與犯錯(cuò)誤決策的概率歸納表見(jiàn)表8-1。時(shí)做到犯這兩類錯(cuò)誤的概率都很小。假設(shè)減小錯(cuò)誤〔棄真〕，則犯錯(cuò)〔取偽錯(cuò)誤〕的概率就增加。棄真取偽錯(cuò)誤〔棄真錯(cuò)誤〕取偽棄真假設(shè)檢驗(yàn)的流程提出原始假設(shè)和備擇假設(shè)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定顯著性水平依據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值得到檢驗(yàn)是否顯著的結(jié)論假設(shè)檢驗(yàn)決策的兩種方法：〔1〕臨界值法是利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與其臨界值進(jìn)展比較作出決策，依據(jù)檢驗(yàn)FF>F，H0F<FH0〔2〕P值法是依據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的概率P值與顯著性水平，進(jìn)展比較，以要判定應(yīng)拒絕原假設(shè)還是不應(yīng)拒絕原假設(shè)。假設(shè)P值小于顯著性水平，則拒絕原P值大于顯著性水平，則不能拒絕原假設(shè)。P值進(jìn)展決策P值：當(dāng)原假設(shè)為真是所得到的樣本觀看結(jié)果或更極端結(jié)果消滅的概率。P值決策原理：得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的概率P值后的決策就是要判定應(yīng)拒絕原假設(shè)還是不應(yīng)拒絕原假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的概率P值小于顯著性水平，則拒絕原假設(shè)；P值P值大于顯著性水平，則不應(yīng)拒絕原假設(shè)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確實(shí)定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量選擇的影響因素：樣本量n、總體標(biāo)準(zhǔn)差。樣本量在大樣本狀況下，樣本量都聽(tīng)從正態(tài)分布，我們使用z統(tǒng)計(jì)量?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差是否總體標(biāo)準(zhǔn)差樣本統(tǒng)計(jì)量聽(tīng)從正態(tài)分布，承受z統(tǒng)計(jì)量。總體標(biāo)準(zhǔn)差未知使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差，樣本統(tǒng)計(jì)量聽(tīng)從t分布，承受t統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)n＜30且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，承受t統(tǒng)計(jì)量；當(dāng)n＞30時(shí)，依據(jù)使用者偏好zt8-7，p195。關(guān)于檢測(cè)結(jié)果的解釋H0H0”這種說(shuō)法。單側(cè)檢驗(yàn)中假設(shè)的建立確定原假設(shè)，即把原有的、傳統(tǒng)的觀點(diǎn)或結(jié)論放在原假設(shè)上。我們需要留意的是：假設(shè)沒(méi)有拒絕原假設(shè)，并不意味著原假設(shè)是真實(shí)的、真理，也并不意味著備擇假設(shè)就是錯(cuò)的，只是臨時(shí)沒(méi)有充分的證據(jù)證明原假設(shè)不成立〔如同無(wú)罪假設(shè)〕；承受備擇假設(shè)則肯定意味著原假設(shè)是錯(cuò)誤的。情。猜測(cè)質(zhì)疑的問(wèn)題，期望用事實(shí)推翻原假設(shè)以得出觀點(diǎn)。方差分析及其有關(guān)術(shù)語(yǔ)〔即分類自變量對(duì)數(shù)值型因變量的影響〕。方差分析的根本思想和原理2.誤差分解組內(nèi)誤差只含有隨機(jī)誤差。〔P238〕組間誤差：來(lái)自不同水平之間的數(shù)據(jù)誤差，是隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的總和，反映了不同樣本之間數(shù)據(jù)的離散程度。在方差分析中，數(shù)據(jù)的誤差是用平方和來(lái)表示的?？偲椒胶汀睸ST〕：反映全部數(shù)據(jù)誤差大小的平方和。教材P239誤差平方和〔SSE〕：反映組內(nèi)誤差大小的平方和。教材P239因素平方和〔SSA〕：反映組間誤差大小的平方和。教材P239SST=SSE+SSA方差分析中的根本假定每個(gè)總體應(yīng)聽(tīng)從于正態(tài)分布。各總體的方差必需一樣。分析步驟提出假設(shè)構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，在方差分析中，需要計(jì)算三個(gè)誤差平方和。SSE：每個(gè)組的各樣本數(shù)據(jù)與其組均值的誤差平方和，反映了每個(gè)樣本各觀〔隨機(jī)誤差的大小〕。對(duì)隨機(jī)誤差大小的度量，反映了除自變量引起的誤差成為殘差效應(yīng)。SSA：各組均值與總均值的誤差平方和，反映各樣本均值之間的差異程度。效應(yīng)或因子效應(yīng)。SST：全部觀測(cè)值與總均值的誤差平方和。對(duì)全部數(shù)據(jù)總誤差程度的度量，反映了自變量和殘差變量的共同影響，等于自變量效應(yīng)與殘差效應(yīng)之和。總平方和〔SST〕=組間平方和〔SSA〕+組內(nèi)平方和〔SSE〕平方和除以它們所對(duì)應(yīng)的自由度。計(jì)算結(jié)果成為均方或方差。三個(gè)平方和所對(duì)應(yīng)的自由度分別為：SST的自由度為n-1，其中n為全部觀測(cè)值的個(gè)數(shù)。SSAk-1k為因素水平的個(gè)數(shù)。SSEn-k。SSAMSASSEMSEMSAMSE進(jìn)展比照〔MSA/MSE〕，即得到所需要的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F。3.統(tǒng)計(jì)決策假設(shè)F＞F，則拒絕原假設(shè)，說(shuō)明各水平的均值有顯著差異，也即所檢驗(yàn)的α因素〔行業(yè)〕對(duì)觀測(cè)值有顯著影響。假設(shè)F＜F，則不能拒絕原假設(shè)，沒(méi)有證據(jù)說(shuō)明各水平的均值有顯著差異，α也即不能認(rèn)為所檢驗(yàn)的因素〔行業(yè)〕對(duì)觀測(cè)值有顯著影響。Pα的值進(jìn)展比較。假設(shè)P＜α?xí)r，則拒絕原假設(shè)；假設(shè)P＞α?xí)r，則不能拒絕原假設(shè)。4.方差分析表P值進(jìn)展統(tǒng)計(jì)決策。：〔P263〕，嫻熟應(yīng)用。第十一章一元線性回歸變量間的關(guān)系定關(guān)系。例如：銷(xiāo)售額與銷(xiāo)售量相關(guān)關(guān)系：非完全確定關(guān)系、一個(gè)變量的取值不能由另一個(gè)變量唯一確定。量與施肥量〕。相關(guān)關(guān)系的描述與測(cè)度括：變量之間是否存在關(guān)系〔YES/NO〕存在什么樣的關(guān)系〔What〕關(guān)系強(qiáng)度如何？樣本能否代表總體關(guān)系相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)：依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算的度量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)量。相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：的取值范圍是[-1，1]0＜r1，正線性相關(guān)；假設(shè)-1r＜0，負(fù)線性相關(guān)；r=+1，完全正線性相關(guān)；r=-1，完全負(fù)線性相關(guān)；r=1，yx，二者為函數(shù)關(guān)系；r=0，無(wú)線性相關(guān)具有對(duì)稱性。r rxy yxxyxy何關(guān)系，可能存在曲線相關(guān)關(guān)系。是兩變量之間線性關(guān)系的度量，但是不肯定意味著x與y肯定有因果關(guān)系。r在-11r取值越接近于1，則說(shuō)明兩變量之間的線性相關(guān)越強(qiáng)；r取值0，則說(shuō)明兩變量之間的線性關(guān)系越弱。閱歷法則：r0.8時(shí)，可視為高度相關(guān)0.5r＜時(shí)，可視為中度相關(guān)0.3r＜時(shí)，可視為低度相關(guān)r＜時(shí)，可視為不相關(guān)一元線性回歸回歸分析主要解決以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：(1)從一組樣本數(shù)據(jù)動(dòng)身，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式。對(duì)這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)展各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響是顯著，哪些是不顯著的。估量或推測(cè)另一個(gè)特定變量的取值，并給出這種估量或推測(cè)的牢靠程度。一元線性回歸模型3.估量的回歸方程參數(shù)的最小二乘估量最小二乘估量的思想原理(x,yi i

)與回歸線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x,E(y))在垂直方向上的利差平方和最小。最小二乘法是利用樣本數(shù)據(jù)，通i i過(guò)使應(yīng)變量的觀測(cè)值y與應(yīng)變量的估量值之間的離差平方和到達(dá)最小的方法求得?和?的值。0 1回歸直線的擬合優(yōu)度1.判定系數(shù)判定系數(shù)是對(duì)估量的回歸方程擬合優(yōu)度的度量。SST分解為兩局部：SSRSSE。SST=SSR+SSE回歸直線擬合的好壞取決于SSR及SSE的大小，或者取決于SSR〔回歸平方和〕占SST〔總平方和〕的比例〔SSR/SST〕的大小。SSR/SST越大，各觀測(cè)點(diǎn)越靠近直線，回歸直線擬合越好。SSR/SSTP261R2測(cè)度了回歸直線對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的擬合程度。在這種狀況下，SSE=0，SSR=SST，則R2=1。yx完全無(wú)關(guān)，x完全無(wú)助于解釋y的變差，那么估量的回歸方SSE=1，SSR=0R2=0。[0，1]。R21SSRSST的比例越xy值變差的局部也就越多，回歸直線的擬合程度就越好；反之亦然。相關(guān)系數(shù)〔r〕與判定系數(shù)〔R2〕的關(guān)系：r2=R2解相關(guān)系數(shù)的意義。相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的正負(fù)號(hào)一樣。|r|~1，說(shuō)明回歸直線對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度就越高。判定系數(shù)的實(shí)際意義：因變量變差中有多少是由自變量所打算的。顯著性檢驗(yàn)線性關(guān)系的檢驗(yàn)線性關(guān)系檢驗(yàn)是檢驗(yàn)自變量x和因變量yy=β0+β1x+ε來(lái)表示。(MSR)同殘差均方(MSE)F檢驗(yàn)來(lái)分析二者之間的差異是否顯著。方差分析表中關(guān)于線性關(guān)系顯著性檢驗(yàn)的結(jié)果解釋：在方差分析表中給出了線性關(guān)