柯西-古薩定理

§3.2柯西-古薩基本定理1、Cauchy-Goursat基本定理2、Cauchy-Goursat定理的推廣4、小結(jié)與思考3、不定積分1首先回顧高等數(shù)學(xué)中的Green定理:2改進(jìn)的Green定理:(Gaursat1925)3定理

柯西－古薩基本定理此定理常稱為柯西積分定理.1、Cauchy積分定理4注意2

若曲線C是區(qū)域D的邊界,注意1

定理中的C可以不是簡(jiǎn)單曲線.5Cauchy積分定理的證明:由改進(jìn)的Green公式6例求解：（根據(jù)柯西古薩定理）72.復(fù)合閉路定理︵︵8︵︵︵︵︵︵︵︵9得︵︵︵︵10解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理112.復(fù)周線情形的Cauchy定理則稱C+C1-+C2-+···+Cn-為復(fù)周線,D為其內(nèi)部,記為I(C).12復(fù)合閉路定理13解依題意知,例根據(jù)復(fù)合閉路定理,14153、原函數(shù)與不定積分定理一由定理可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)1617定理二此定理與微積分學(xué)中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似.182.原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關(guān)系:那末它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù),193.不定積分的定義:定理3.8(復(fù)積分的Newton-Leibnitz公式)注:有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算.20例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,21另解22例2解235、小結(jié)與思考

1.通過(guò)本課學(xué)習(xí),重點(diǎn)掌握柯西－古薩基本定理:并注意定理成立的條件.24

2.本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是復(fù)積分中的重要定理,掌握并能靈活應(yīng)用它是本章的難點(diǎn).常用結(jié)論:

3.本課介紹了原函數(shù)、不定積分的定義以及牛頓—萊布尼茲公式.在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與《高等數(shù)學(xué)》中相關(guān)內(nèi)容相結(jié)合,更好的理解本課內(nèi)容.25§3-3Cauchy積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式一、解析函數(shù)的Cauchy積分公式二、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理三Δ、解析函數(shù)的與調(diào)和函數(shù)261.問(wèn)題的提出根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線C

的變化而改變,求這個(gè)值.27282.Cauchy積分公式Cauchy積分公式29證明：以為心作一完全包含于內(nèi)的圓盤(pán)，并且記其邊界為圓。在上，挖去圓盤(pán)，余下的點(diǎn)集是一個(gè)閉區(qū)域。在上函數(shù)解析，由柯西定理有：在這里沿的糾紛是按照區(qū)域的正向取的，沿的積分是按正向取的，即逆時(shí)針?lè)较?。以下我們證明：

30

記

由柯西定理知：是個(gè)不依賴于的常數(shù)，從而我們證明由于和在z0是連續(xù)性，所以對(duì)于任意的，可以找到31

使得當(dāng)，時(shí)，有從而當(dāng)從而故于是證得

稱為積分基本公式或柯西積分公式．

D32定理1對(duì)于由

條圍線所圍成的復(fù)連通區(qū)域仍然有效．

（如教材66頁(yè)定理1那樣構(gòu)成）定理1從揭示解析函數(shù)的性質(zhì)、表示解析函數(shù)及提供計(jì)算積分的方法等三方面給我們以啟示．

定理1為我們提供了計(jì)算如（*）式左端的積分的方法這類積分的特征是：積分路徑是圍線，被積函數(shù)為一分式，它在積分路徑內(nèi)部只含一個(gè)奇點(diǎn)，且該奇點(diǎn)是使分母

為零的點(diǎn)，而在積分路徑上無(wú)被積函數(shù)的奇點(diǎn)．

（*）33例1解由Cauchy積分公式34例2解由Cauchy積分公式35關(guān)于Cauchy積分公式的說(shuō)明:把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示.（這是解析函數(shù)的一