第3章-電阻電路的一般分析

第3章電阻電路的一般分析3.1電路的圖3.2KCL和KVL的獨立方程數(shù)3.3支路電流法3.4網(wǎng)孔電流法3.5回路電流法3.6結(jié)點電壓法本章重點重點熟練掌握電路方程的列寫方法：支路電流法回路電流法結(jié)點電壓法線性電路的一般分析方法普遍性：對任何線性電路都適用。復(fù)雜電路的一般分析法就是根據(jù)KCL、KVL及元件電壓和電流關(guān)系列方程、解方程。根據(jù)列方程時所選變量的不同可分為支路電流法、回路電流法和結(jié)點電壓法。元件的電壓、電流關(guān)系特性。電路的連接關(guān)系—KCL，KVL定律。方法的基礎(chǔ)系統(tǒng)性：計算方法有規(guī)律可循。1.網(wǎng)絡(luò)圖論BDACDCBA哥尼斯堡七橋難題——圖論是拓撲學(xué)的一個分支，是富有趣味和應(yīng)用極為廣泛的一門學(xué)科?！?-1電路的圖右圖是不能一筆畫出的圖形，哥尼斯堡七橋難題是無解的。一筆畫出的圖形中的各點或者都是與偶數(shù)條線相連的點，或者其中只有兩個點與奇數(shù)條線相連。2.電路的圖拋開元件性質(zhì)一個元件作為一條支路元件的串聯(lián)及并聯(lián)組合作為一條支路543216有向圖65432178R4R1R3R2R6uS1+_isR5圖的定義(Graph)G={支路，結(jié)點}電路的圖是用以表示電路幾何結(jié)構(gòu)的圖形，圖中的支路和結(jié)點與電路的支路和結(jié)點一一對應(yīng)。圖G中的結(jié)點和支路各自是一個整體。移去圖G中的支路，與它所聯(lián)接的結(jié)點依然存在，因此允許有孤立結(jié)點存在。如把結(jié)點移去，則應(yīng)把與它聯(lián)接的全部支路同時移去。§3-2

KCL和KVL的獨立方程數(shù)1.KCL的獨立方程數(shù)654321432114324123＋

＋

＋

＝0

n個結(jié)點的電路,KCL的獨立方程數(shù)為(n-1)。結(jié)論從圖G的一個結(jié)點出發(fā)，沿著一些支路移動到達另一結(jié)點（或回到原出發(fā)點），所經(jīng)過的支路構(gòu)成圖G的一條路徑。(1)路徑(2)連通圖圖G的任意兩結(jié)點間至少有一條路徑時稱為連通圖，非連通圖至少存在兩個分離部分。2.圖論中的幾個概念(3)子圖若圖G1中所有支路和結(jié)點都是圖G中的支路和結(jié)點，則稱G1是G的子圖。①回路(Loop)如果一條路徑的起點和終點重合，且經(jīng)過的其他結(jié)點不重復(fù)出現(xiàn)，這條閉合路徑就構(gòu)成圖G的一個回路L。253124578不是回路回路12345678G②樹(Tree)包含圖G的全部結(jié)點但不包含任何回路的連通子圖。樹支：構(gòu)成樹的支路。連支：屬于G而不屬于T的支路。樹支的數(shù)目是一定的連支數(shù)：不是樹對應(yīng)一個圖有很多的樹；樹明確③基本回路(單連支回路)5123456G1231236基本回路組：由連支形成的全部基本回路。網(wǎng)孔（mesh)：平面圖G中自然的“孔”，它限定的區(qū)域不再有支路。例87654321圖示為電路的圖，畫出三種可能的樹及其對應(yīng)的基本回路。8765864382433.KVL的獨立方程數(shù)6543214321對網(wǎng)孔列KVL方程：可以證明這是一組獨立方程。123結(jié)論②KVL的獨立方程數(shù)=基本回路數(shù)=b－(n－1)①n個結(jié)點、b條支路的電路,獨立的KCL方程數(shù)為：(n－1)123§3-3支路電流法對于有n個結(jié)點、b條支路的電路，要求解支路電流，未知量共有b個。只要列出b個獨立的電路方程，便可以求解這b個變量。1.支路電流法2.獨立方程的列寫以各支路電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法。從電路的n個結(jié)點中任意選擇(n-1)個結(jié)點列寫KCL方程；選擇基本回路列寫b-(n-1)個KVL方程。132有6個支路電流，需列寫6個方程。KVL方程:回路1回路2回路3+R1R2R3R4R5R6–i3i6uS1123i2i4i1iS5i543412124365123KCL方程:（1）支路電流法的一般步驟：標定各支路電流（電壓）的參考方向；選定(n–1)個結(jié)點，列寫其KCL方程；選定b–(n–1)個獨立回路，指定回路繞行方向，列寫KVL方程；求解上述方程，得到b個支路電流；進一步計算支路電壓和進行其它分析。小結(jié)（2）支路電流法的特點：支路電流法列寫的是KCL和KVL方程，所以方程列寫方便、直觀，但方程數(shù)較多，宜于在支路數(shù)不多的情況下使用。例1求各支路電流及各電壓源發(fā)出的功率。

n–1=1個KCL方程：結(jié)點a：

–I1–I2+I3=0

b–(n–1)=2個KVL方程：11I2+7I3=

67I1–11I2=70-6=6412解70V6V7ba+–+–I1I3I2711a70V7b+–7116A例2結(jié)點a：–I1–I2+I3=0(1)n–1=1個KCL方程：列寫支路電流方程.(電路中含有理想電流源）解1(2)b–(n–1)=2個KVL方程：11I2+7I3=U7I1–11I2=70-U增補方程：I2=6A設(shè)電流源電壓+U_21I1I3I2解2由于I2已知，故只列寫兩個方程結(jié)點a：–I1+I3=6避開電流源支路取回路：7I1＋7I3=70a170V7b+–7116AI1I3I2例3–I1–I2+I3=0列寫支路電流方程.(電路中含有受控源）解11I2+7I3=

5U7I1–11I2=70-5U增補方程：U=7I3有受控源的電路，方程列寫分兩步：先將受控源看作獨立源列方程；將控制量用未知量表示，并代入①中所列的方程，消去中間變量。注意5U+U_70V7ba+–I37111+_I1I22§3-4網(wǎng)孔電流法基本思想為減少未知量(方程)的個數(shù)，假想每個網(wǎng)孔中有一個網(wǎng)孔電流。各支路電流可用網(wǎng)孔電流的線性組合表示，來求得電路的解。1.網(wǎng)孔電流法

以沿網(wǎng)孔連續(xù)流動的假想電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法稱網(wǎng)孔電流法。它僅適用于平面電路。im1im2①i1i2i3uS1im2im1uS3+–+–i3i2uS2R1R2①+–i1R3網(wǎng)孔電流在網(wǎng)孔中是閉合的，對每個相關(guān)結(jié)點均流進一次，流出一次，所以KCL自動滿足。因此網(wǎng)孔電流法是對網(wǎng)孔回路列寫KVL方程，方程數(shù)為網(wǎng)孔數(shù)。列寫的方程2.方程的列寫網(wǎng)孔1：R2(im1-im2)+uS2-

uS1+R1im1=0網(wǎng)孔2：

R3im2+uS3

–uS2+R2(im2-im1)=0整理得：(R1+R2)

im1-R2im2=uS1-uS2-R2im1+(R2+R3)

im2=uS2-uS3以網(wǎng)孔電流為變量的網(wǎng)孔電流方程+–+–uS1uS2R1R2①+–uS3R3im2im1網(wǎng)孔的自阻自阻

R11=R1+R2R22=R2+R3一個網(wǎng)孔中所有電阻之和網(wǎng)孔的互阻兩個網(wǎng)孔的共有電阻

互阻

R12=R21=－R2用uSii表示網(wǎng)孔i中所有電壓源電壓的代數(shù)和(R1+R2)

im1-R2im2=uS1-uS2-R2im1+(R2+R3)

im2=uS2-uS3方程的標準形式：R11im1+R12im2=uS11R21im1+R22im2=uS22+–+–uS1uS2R1R2①+–uS3R3im2im1對于具有m

個網(wǎng)孔的電路，有:①自阻總為正。當(dāng)兩個網(wǎng)孔電流在共有電阻上的參考方向相同時，互阻取正號；不同時取負號；沒有共同支路或共同支路上電阻為零時互阻為零。若所有網(wǎng)孔電流都取順(或逆)時針，互阻總是負的。電路不含受控源時Rik=Rki。當(dāng)電壓源電壓方向與該網(wǎng)孔電流方向一致時，取負號；反之取正號。注意I1I2I3+–+–180V60Ω20Ω+–70V40Ω40Ω20VIaIbIcId例1用網(wǎng)孔電流法求解圖示電路中各支路電流。解：(1)選取網(wǎng)孔電流。(2)列網(wǎng)孔電流方程。80I1－20I2=110＋60I2－20I1－40I3=70－40I2＋80I3=－20(3)用消去法或行列式法解方程。I1=2AI3=1AI2=2.5A(4)求出各支路電流。Ia=I1=2AId=－I3=－1AIb=－I1＋I2=0.5AIc=I2－I3=1.5A(5)校驗。例2列圖示電路的網(wǎng)孔電流方程。解：i1i3i2RSR5R4R3R1R2US+_i(1)選取網(wǎng)孔電流。(2)列網(wǎng)孔電流方程。（1）網(wǎng)孔電流法的一般步驟：選網(wǎng)孔為獨立回路，并確定其繞行方向；以網(wǎng)孔電流為未知量，列寫其KVL方程；求解上述方程，得到m個網(wǎng)孔電流；其它分析。求各支路電流；（2）網(wǎng)孔電流法的特點：僅適用于平面電路。小結(jié)§3-5回路電流法

1.回路電流法

以基本回路中沿回路連續(xù)流動的假想電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法。它適用于平面和非平面電路?；芈冯娏鞣ㄊ菍Κ毩⒒芈妨袑慘VL方程，方程數(shù)為：列寫的方程與支路電流法相比，方程數(shù)減少n-1個。重點6543214321il2il1il3樹：支路（4,5,6）連支：支路（1,2,3）i4=－il1+il2i5=－il1－

il3i6=－il1+il2－il3i1=il1i2=il2i3=il3全部支路電流都可以通過回路電流表達?；净芈罚海?,4,6,5）、（2,4,6）、（3,6,5）解(1)作出電路的圖。(2)選擇基本回路。R1Il1+us1+R6(Il1－Il3)+R5(Il1+Il2－Il3)－us5+R4(Il1+Il2)=0(3)對基本回路列KVL方程。+R4R2R5R6R3R1–uS5uS1+–Il2圖示直流電路中，R1=R2=R3=1Ω，R4=R5=R6=2Ω，us1=4V，us2=2V。試選擇一組獨立回路，并列出回路電流方程。例1Il3Il1Il1Il2Il3R2Il2+R5(Il1+Il2－Il3)－us5+R4(Il1+Il2)=0R6(Il3－

Il1)+R3Il3+us5+R5(Il3－Il1－

Il2)=07Il1+4Il2

－4Il3=－24Il1+5Il2

－2Il3=2－4Il1－2Il2+5Il3=－2426513方程的標準形式：對于具有l(wèi)=b-(n-1)

個回路的電路，有:Rjk：互阻+

:流過互阻的兩個回路電流方向相同；-:流過互阻的兩個回路電流方向相反；0:無關(guān)。Rkk：自阻(總為正)2.方程的列寫uSkk：回路中所有電壓源的代數(shù)和，電壓源與回路電流方向一致時，電壓源前取“-”，否則取“+”。（1）回路法的一般步驟：選定l=b-(n-1)個獨立回路，并確定其繞行方向；對l個獨立回路，以回路電流為未知量，列寫其KVL方程；求解上述方程，得到l

個回路電流；其它分析。求各支路電流；（2）回路法的特點：通過靈活的選取回路可以減少計算量；互阻的識別難度加大，易遺漏互阻。小結(jié)3.無伴電流源支路的處理引入電流源電壓，增加回路電流和電流源電流的關(guān)系方程。例2方程中包括電流源電壓增補方程：+20Ω–50V10Ω15Ω30Ω40Ω20V+–1AIl2Il1Il3+–U用回路法列電路的方程。解1：獨立回路有三個，選網(wǎng)孔為獨立回路，列KVL方程：選取獨立回路，使無伴電流源支路僅僅屬于一個回路,該回路電流即IS

。已知電流，實際減少了一個方程+20Ω–50V10Ω15Ω30Ω40Ω20V+–1AIl1Il3解2：Il2推薦使用4.受控電源支路的處理

對含有受控路的電路，可先把受控源看作獨立電源按前面的方法列方程，再將控制量用回路電流表示。R1R4R5gU1R3R2U1_++_U1iS例3列回路電流方程。解1選網(wǎng)孔為獨立回路1432_+U2_+U3增補方程：R1R4R5gU1R3R2U1_++_U1iS143解2回路2選大回路。增補方程：2§3-6結(jié)點電壓法

2.結(jié)點電壓法以結(jié)點電壓為未知量列寫電路方程分析電路的方法。適用于結(jié)點較少的電路。1.結(jié)點電壓在電路中任意選擇某一結(jié)點為參考結(jié)點，其它結(jié)點為獨立結(jié)點，獨立結(jié)點與參考結(jié)點之間的電壓即為結(jié)點電壓，方向為從獨立結(jié)點指向參考結(jié)點。結(jié)點電壓法列寫的是結(jié)點上的KCL方程，獨立方程數(shù)為：，與支路電流法相比，方程數(shù)減少b-(n-1)個。重點3.方程的列寫選定參考結(jié)點，標定其余n-1個獨立結(jié)點的電壓；列KCL方程。64251330121203以結(jié)點為參考，規(guī)定結(jié)點①、②、③的結(jié)點電壓分別用un1、un2、un3表示。0u1=un1u2=un2u3=un3u4=un1－un2u5=

un2－un3u6=un1－un3iS1uS3iS6R1i1i4i5i2i3R2R5R3R4+_R6i6在結(jié)點①、②、③處列KCL方程。i1+i4+i6

=01203iS1uS3iS6R1i1i4i5i2i3R2R5R3R4+_R6i6i2－i4+i5

=0i3－i5－i6=0把支路電流用結(jié)點電壓表示：6425133012整理得：也可寫為：歸結(jié)為一般形式的結(jié)點電壓方程：1203iS1uS3iS6R1i1i4i5i2i3R2R5R3R4+_R6i6Gkk結(jié)點k的自導(dǎo)Gkj

結(jié)點k與結(jié)點j之間的互導(dǎo)iSkk

流入結(jié)點k的電流源的代數(shù)和G11un1+G12un2+…+G1(n-1)un(n-1)=iS11G21un1+G22un2+…+G2(n-1)un(n-1)=iS22G(n-1)1un1+G(n-1)2un2+…+G(n-1)(n-1)un(n-1)=iS(n-1)(n-1)Gkk—自導(dǎo)，總為正，等于連接在結(jié)點k上的所有支路電導(dǎo)之和。

iSkk

—流入結(jié)點k的所有電流源電流的代數(shù)和，流入結(jié)點為正，流出為負。還包括電壓源和電阻串聯(lián)組合經(jīng)等效變換后形成的電流源。Gkj

=Gjk—互導(dǎo)，總為負，等于連接在結(jié)點k與結(jié)點j之間所有支路電導(dǎo)之和的負值。結(jié)點法標準形式的方程：電路不含受控源時，系數(shù)矩陣為對稱陣。R1bR4R7R8R2_++_uS7iS9R1aR5R6iS4R3uS3例1列圖示電路的結(jié)點電壓方程。選定參考結(jié)點，對其余結(jié)點編號，設(shè)結(jié)點電壓為un1、un2

、un3和

un4。01234解：R9例2用結(jié)點電壓法求圖示電路的支路電流及輸出電壓U0

。選定參考結(jié)點，設(shè)結(jié)點電壓為un1、un2

、un3。0123解：_+I330V10Ω10Ω10Ω20ΩI17AI41A2A+_U00.2Un1-0.1Un2

=-2