第4章 恒定電場和恒定磁場

麥克斯韋方程組時變場靜態(tài)場恒定磁場宏觀電磁理論的核心：靜電場恒定電場電荷在電場作用下定向運動電流產(chǎn)生形成電流恒定電流（直流）--電流不隨時間變化時變電流--電流隨時間變化恒定電場恒定磁場第四章恒定電場和恒定磁場基本方程邊界條件恒定電場與靜電場的靜電比擬法

----計算電導(dǎo)（電阻）恒定磁場的矢量磁位電感及其計算§4.1恒定電場恒定電場的基本方程恒定電場的邊界條件靜電比擬法一、恒定電場的基本方程恒定電場：恒定電流所產(chǎn)生的電場。（考慮導(dǎo)電媒質(zhì)中）

恒定電場的基本方程：微分形式：積分形式：

恒定電場的基本場矢量是電流密度

和電場強度；

線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。恒定電場與靜電場的重要區(qū)別：（1）恒定電場可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部；（2）恒定電場中有電場能量的損耗,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。

二、恒定電場的電位及其方程

恒定電場的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷三、恒定電場的邊界條件

場矢量的邊界條件媒質(zhì)2媒質(zhì)1即即場矢量的折射關(guān)系

導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度

電位的邊界條件

恒定電場同時存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因而導(dǎo)體表面不是等位面；說明：推論1電流由良導(dǎo)體進入不良導(dǎo)體時,在不良導(dǎo)體里的電流線近似與良導(dǎo)體表面垂直，即良導(dǎo)體表面可以近似地看作等位面.媒質(zhì)2媒質(zhì)1如兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率2>>1：即，一種導(dǎo)電媒質(zhì)為不良導(dǎo)體(σ1≠0,但很小),

另一種導(dǎo)電媒質(zhì)為良導(dǎo)體(σ2很大),且2≠90°則1＝0，即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。此時，良導(dǎo)體表面可近似地看作為等位面；例如:同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體通常由電導(dǎo)率很高(107數(shù)量級)的銅或鋁制成,而填充在兩導(dǎo)體間的材料不可能是理想的絕緣電介質(zhì),總有很小的漏電導(dǎo)存在。例如,聚乙烯的電導(dǎo)率為10-10數(shù)量級,則

可見,只要σ1≠σ2,分界面上必定有一層自由電荷密度。推論2:

當(dāng)恒定電流通過電導(dǎo)率不同的兩導(dǎo)電媒質(zhì)時,其電流密度和電場強度要發(fā)生突變。故分界面上必有電荷分布ρs

。

如:兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的分界面上,根據(jù)D1n-D2n=ρs,則得(通常認(rèn)為金屬的介電常數(shù)為ε0)媒質(zhì)2媒質(zhì)1推論3：

若媒質(zhì)1為理想介質(zhì),媒質(zhì)2為導(dǎo)體，即1＝0，則

J1=0，故J2n=0且

E2n=0，即導(dǎo)體中的電流和電場與分界面平行。由上式可知E1不垂直導(dǎo)體表面,那么導(dǎo)體表面不是等位面,導(dǎo)體也不是等位體,這是由于σ2有限,導(dǎo)體中沿電流方向存在電場。而在靜電場中,導(dǎo)體內(nèi)電場強度為零,介質(zhì)中的場強總是垂直導(dǎo)體表面,導(dǎo)體是等位體,其表面是等位面。這一點,恒定電場與靜電場有根本的區(qū)別。然而σ2越大,E2t和E1t越小,θ1也越小,直至σ2=∞時,E1就垂直導(dǎo)體表面,導(dǎo)體表面為等位面。

媒質(zhì)2媒質(zhì)1例1

一個填充有兩層導(dǎo)電媒質(zhì)的平行板電容器，媒質(zhì)參數(shù)分別為1、1和2、2，外加電壓U。求介質(zhì)分界面上的自由電荷密度。

解：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿z方向。例2

填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為1和2

、電導(dǎo)率為

1和2

。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0

，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)2介質(zhì)1介質(zhì)中的電場解

電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布?？上燃僭O(shè)電流為I，由求出電流密度的表達式，然后求出和，再由確定出電流I。（1）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為I,則由可得電流密度故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強度分別為由于于是得到

（2）由可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)2外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為四、靜電比擬法靜電場恒定電場比擬法:用一種物理場的解來類比與其有相同數(shù)學(xué)描述的另一種物理場的解的方法.恒定電場與靜電場的比較

基本方程靜電場（區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）1.兩個場的相同數(shù)學(xué)表達式中的場量之間有一一對應(yīng)的關(guān)系;2.兩種場的電位函數(shù)定義相同,都滿足拉普拉斯方程,若處于相同的邊界條件下，根據(jù)唯一性定理,電位函數(shù)必有相同的解.所以兩種場的等位面及電場強度分布相同,J和D矢量線的分布也相同;恒定電場與靜電場是可比擬的結(jié)論對應(yīng)物理量靜電場恒定電場靜電比擬法:

在一定條件下，可以將靜電場或恒定電場的計算和實驗所得結(jié)果,推廣應(yīng)用于另一種場.

靜電場恒定電場

漏電導(dǎo)

工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠遠小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓U時，必定會有微小的漏電流J存在。

漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即兩導(dǎo)體電極間的電容:

兩導(dǎo)體電極間的電導(dǎo):

用靜電比擬法求電導(dǎo)兩導(dǎo)體電極間的電阻:

例如只要兩電極之間的導(dǎo)電媒質(zhì)與作為電極的金屬材料相比較為不良導(dǎo)電媒質(zhì)(如土壤等),

則當(dāng)兩電極之間的電容為已知時,根據(jù)靜電比擬法,內(nèi)外電極半徑為a和b的球形電容器,當(dāng)其極間介質(zhì)為時:當(dāng)其極間的媒質(zhì)為不良導(dǎo)電媒質(zhì)時:(1)假定兩電極間的電流為I；計算兩電極間的電流密度矢量J；由J=E

得到E

;

由，求出兩導(dǎo)體間的電位差；(5)求比值，即得出所求電導(dǎo)。

計算電導(dǎo)的方法一：

計算電導(dǎo)的方法二：(1)假定兩電極間的電位差為U；

(2)計算兩電極間的電位分布

；

(3)由得到E;(4)由J=E

得到J;(5)由 ，求出兩導(dǎo)體間電流；

(6)求比值，即得出所求電導(dǎo)。

計算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：

例3

求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a、b，長度為l

，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ、介電常數(shù)為ε。解：解法1:直接用恒定電場的計算方法電導(dǎo)絕緣電阻則設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I

。

解法2:靜電比擬法則單位長度絕緣電阻是

電導(dǎo)電容(教材P.77)解法3:

用公式,,式中dl為沿電流方向的長度元,如圖所示,S是垂直于電流方向的面積,它可能是坐標(biāo)變量的函數(shù),所以恒定電場的計算1.直接法:假設(shè)電流利用基本方程結(jié)合邊界條件求場分布、電導(dǎo)或電阻2.間接法:求解電位的邊值問題，求場分布:電場強度、電流密度矢量,及電導(dǎo)或電阻

接地電阻接地:將電氣設(shè)備的某一部分和大地連接.保護接地:

為了保護工作人員的安全,并使設(shè)備可靠地工作而接地;工作接地:利用大地作為傳輸導(dǎo)線,或者消除設(shè)備的導(dǎo)電部分對地電壓的升高而接地.接地體:埋在地里的導(dǎo)體或?qū)w系統(tǒng).接地電阻:電流由設(shè)備經(jīng)接地體流向大地和電流流經(jīng)大地時遇到的電阻.

例5

試計算如圖所示的深埋在地下的銅球的接地電阻,設(shè)銅球的半徑為a。

解:大地中任一點的電流密度為

電場強度:銅球至無限遠處電壓是(認(rèn)為電流流至無限遠處)所以接地電阻:

(式中σ是土壤的電導(dǎo)率)

教材P.117例4.1-2§4.2恒定磁場的基本方程和邊界條件磁通連續(xù)性方程恒定電流產(chǎn)生磁場稱為恒定磁場，它是不隨時間發(fā)生變化的。在恒定磁場中任意取一個曲面S，由矢量通量的定義可知，在S面上的磁通量

為2.安培環(huán)路定理§4.2恒定磁場的基本方程和邊界條件基本方程微分形式:各向同性的磁介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系：積分形式:（安培環(huán)路定律）（磁通連續(xù)原理）恒定磁場是有旋無源場/無散場/管形場，電流是激發(fā)磁場的渦旋源；磁力線是無頭無尾的閉合矢量線；磁場是非保守場，線積分與積分路徑有關(guān)。2.邊界條件

恒定磁場的邊界條件是不同的磁介質(zhì)分界面處，磁感應(yīng)強度B和磁場強度H的變化規(guī)律。

或若分界面上不存在面電流，即JS＝0，則或

磁場經(jīng)過媒質(zhì)分界面時要突變,包含方向的改變式中θ1、θ2分別為磁場強度與交界面法線方向的夾角

時界面兩側(cè)場量方向與媒質(zhì)磁導(dǎo)率的關(guān)系

當(dāng)時,§4.3恒定磁場的矢量磁位矢量磁位的定義

磁矢位的任意性

由矢量磁位或稱磁矢位磁矢位的任意性是因為只規(guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的矢量磁位，可以對矢量磁位的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。2、矢量磁位的微分方程

在無源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程3、矢量磁位的表達式

（可以證明滿足）由此可得出對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為

利用磁矢位計算磁通量：細(xì)線電流：面電流：4、矢量磁位的邊界條件§4.4

電感Inductance一、磁通與磁鏈

單匝線圈形成回路的磁鏈定義為穿過該回路的磁通量

多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁鏈定義為所有線圈的磁通總和

CI細(xì)回路

粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量o；另一部分是磁力線穿過導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量i。iCIo粗回路二、電感

與回路交鏈的磁通總量(磁鏈)和與產(chǎn)生該磁鏈的電流之比值。其表達式為在國際單位制中，自感系數(shù)L的單位是亨利（H）。電感取決于導(dǎo)線回路的形狀、大小、材料及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率等。

與線圈中流過的電流無關(guān)。自感（記為L）:

回路交鏈的磁鏈為本身回路上的電流所產(chǎn)生,總是正值;互感（記為M）:

回路交鏈的磁鏈?zhǔn)莿e的回路上的電流所產(chǎn)生,有可能為負(fù)值;

互感是互易的;電感自感互感三、自感

設(shè)回路C中的電流為I

，所產(chǎn)生的磁場與回路C交鏈的磁鏈為，則磁鏈與回路C中的電流I

有正比關(guān)系，其比值稱為回路C的自感系數(shù)，簡稱自感。——

外自感——

內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：L=Li+Lo

自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。

自感的特點：*多匝回路的電感通過單匝回路所圍面積的磁通量:通過多匝導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量，即磁鏈為若N匝密繞，各匝交鏈的磁通量相同，則磁鏈為N匝密繞線圈

該密繞線圈的全磁通(磁鏈)為

四、互感

對兩個彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2

，當(dāng)回路C1中通過電流I1時，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈12也與I1成正比，其比例系數(shù)稱為回路C1對回路C2的互感系數(shù)，簡稱互感。同理，回路C2對回路C1

的互感為C1C2I1I2Ro互感的特點：

互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。

滿足互易關(guān)系，即M12=M21

當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時，互感系數(shù)M為正值；反之，則互感系數(shù)M為負(fù)值。