第六章用有限單元法解

04二月2023第六章用有限單元法解平面問題概述1.有限元法(FiniteElementMethod，簡稱FEM)—是彈力的一種近似解法。首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，然后再應(yīng)用結(jié)力方法或變分法進(jìn)行求解。（1）具有通用性和靈活性。2.FEM的特點(diǎn)（3）只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達(dá)到工程要求的精度。（2）對(duì)同一類問題，可以編制出通用程序，應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。04二月2023

3.FEM簡史

FEM是上世紀(jì)中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值解法。1943年柯朗第一次在論文中提出了FEM的概念。1970年后，F(xiàn)EM被引入我國，并很快地得到應(yīng)用和發(fā)展。1956年，特納等人提出了FEM。

20世紀(jì)50年代，平面問題的FEM建立，應(yīng)用于工程問題。1960年提出了FEM的名稱。20世紀(jì)60年代后，F(xiàn)EM應(yīng)用于各種力學(xué)問題和非線性問題，并得到迅速發(fā)展。04二月20234.FEM的兩種主要導(dǎo)出方法:應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法導(dǎo)出。應(yīng)用變分法導(dǎo)出。5.本章介紹平面問題的FEM，僅敘述按位移求解的方法。且一般都以平面應(yīng)力問題來表示。04二月2023§6-1基本量和基本方程的

矩陣表示

采用矩陣表示,可使公式統(tǒng)一、簡潔，且便于編制程序。本章無特別指明，均表示為平面應(yīng)力問題的公式?；疚锢砹浚后w力面力位移函數(shù)應(yīng)變應(yīng)力結(jié)點(diǎn)位移列陣結(jié)點(diǎn)力列陣04二月2023物理方程FEM中應(yīng)用的方程：幾何方程其中D為彈性矩陣，對(duì)于平面應(yīng)力問題是對(duì)于平面應(yīng)變問題是04二月2023在FEM中，虛功方程代替平衡微分方程及應(yīng)力邊界條件。虛功方程其中——結(jié)點(diǎn)虛位移，

——對(duì)應(yīng)的虛應(yīng)變。04二月20232.

再應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法進(jìn)行求解。§6-2有限單元法的概念

FEM的概念，可以簡述為：用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解彈力問題。1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)。以下來導(dǎo)出FEM。1.結(jié)構(gòu)離散化——將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)；結(jié)力研究的對(duì)象是離散化結(jié)構(gòu)。如桁架，各單元（桿件）之間除結(jié)點(diǎn)鉸結(jié)外，沒有其他聯(lián)系。FAB12345678904二月2023彈力研究的對(duì)象，是連續(xù)體。深梁將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)：即將連續(xù)體劃分為有限多個(gè)、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結(jié)點(diǎn)處用絞連結(jié)起來，構(gòu)成所謂‘離散化結(jié)構(gòu)’。深梁（離散化結(jié)構(gòu)）例如：將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點(diǎn)用鉸連接起來。桁架的單元是桿件，而深梁的單元是三角形塊體（注意：三角形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體）。04二月2023分析步驟如下：（1）取三角形單元的結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，它們是：稱為單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣（2）應(yīng)用插值公式，由單元的結(jié)點(diǎn)位移求出單元的位移函數(shù)，即求出關(guān)系式插值公式表示單元中的位移分布形式，稱為位移模式，N稱為形函數(shù)矩陣。04二月2023（3）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)d，求出單元的應(yīng)變。（4）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變，求出單元的應(yīng)力。（5）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力，求出單元的結(jié)點(diǎn)力。——結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力，作用于單元，稱為結(jié)點(diǎn)力，以正標(biāo)向?yàn)檎?4二月2023——單元對(duì)結(jié)點(diǎn)的作用力，與數(shù)值相同,方向相反，作用于結(jié)點(diǎn)。（6）將每一單元中的各種外荷載，按虛功等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上，化為結(jié)點(diǎn)荷載。求解聯(lián)立方程，得出各結(jié)點(diǎn)位移值，并從而求出各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。作用于結(jié)點(diǎn)i上的力有：1、各單元對(duì)i結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力；2、各單位移置到i

結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)荷載（7）對(duì)每一結(jié)點(diǎn)建立平衡方程。04二月2023建立結(jié)點(diǎn)平衡方程組，求解各結(jié)點(diǎn)的位移。1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)。歸納起來，F(xiàn)EM分析的主要內(nèi)容：2.應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解離散化結(jié)構(gòu),對(duì)單元進(jìn)行分析：求出（1）單元的位移模式（2）單元的應(yīng)變和應(yīng)力列陣

（3）單元的結(jié)點(diǎn)力列陣（4）單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣

整體分析：04二月2023

FEM是取結(jié)點(diǎn)位移為基本未知數(shù)的。但其中每一個(gè)單元仍是連續(xù)體，所以按彈力公式求應(yīng)變、應(yīng)力時(shí)，必須首先解決：如何由單元的結(jié)點(diǎn)位移來求出單元的位移函數(shù)§6-3

單元的位移模式與

解答的收斂性

應(yīng)用插值公式，可由求出位移d。這個(gè)插值公式表示了單元中位移的分布形式，因此稱為位移模式。泰勒級(jí)數(shù)展開式中，低次冪項(xiàng)是最重要的。∴三角形單元的位移模式，可取為04二月2023在i、j、m三個(gè)結(jié)點(diǎn)，位移函數(shù)等于該結(jié)點(diǎn)位移值04二月202304二月2023在三角形ijm三的面積為結(jié)點(diǎn)i、j、m的次序必須逆時(shí)針轉(zhuǎn)向現(xiàn)引用記號(hào)同理04二月2023代入（a）式，整理后得：其中或（b）式也可表示如下：其中04二月2023三結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移模式，略去了二次以上的項(xiàng)，因而其誤差量級(jí)是且其中只包含了x、y的一次項(xiàng)，所以在單元中Ni

如（a）所示，u、v的分布如圖（b）、（c）所示。（a）Ni

的分布圖（b）u的分布圖（c）v的分布圖Ni、Nj、Nm

是坐標(biāo)的線性函數(shù)，反映了單元的位移形態(tài)，稱為位移的形態(tài)函數(shù)。簡稱為形函數(shù)。04二月2023

所以當(dāng)單元趨于很小時(shí)，即時(shí)，為了使FEM之解逼近于真解，即為了保證FEM收斂性,位移模式應(yīng)滿足下列條件：

FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式為基礎(chǔ)的。

（1）位移模式必須能反映單元的剛體位移。（2）位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。因?yàn)楫?dāng)單元為無窮小時(shí)，單元中的位移和應(yīng)變都趨近于基本量——?jiǎng)傮w位移和常量位移。將式（a）寫成04二月2023與剛體位移相比可見剛體位移項(xiàng)在式（a）中均已反映。常量應(yīng)變也已反映04二月2023（3）位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。

連續(xù)體的位移連續(xù)性。在三角形單元內(nèi)部，位移為連續(xù)；

在相鄰兩單元邊界ij上，i點(diǎn)及j點(diǎn)位移相同，公共邊界上位移分量也是線性變化，所以兩相鄰單元在具有相同的位移，也為連續(xù)。為了保證FEM的收斂性，（1）和（2）是必要條件，而加上（3）就為充分條件。04二月2023§6-4單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣其中，單元中的位移函數(shù)已用位移模式表示為

由幾何方程，求出單元的應(yīng)變列陣：04二月2023S——稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，寫成分塊形式為再應(yīng)用物理方程，求出單元的應(yīng)力列陣：B

——稱為應(yīng)變矩陣，用分塊矩陣表示，04二月2023對(duì)于線性位移模式，求導(dǎo)后得到的應(yīng)變和應(yīng)力，均成為常量，因此，稱為常應(yīng)變（應(yīng)力）單元。應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級(jí)是其精度比位移低一階，且相鄰單元的應(yīng)力是跳躍式的。04二月2023§6-5

單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與

勁度矩陣現(xiàn)在來考慮其中一個(gè)單元：在FEM中，首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)的模型。（2）單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián)系，只在結(jié)點(diǎn)i、j、m互相聯(lián)系。（1）將作用于單元上的各種外荷載，按靜力等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上去，化為等效結(jié)點(diǎn)荷載。故單元內(nèi)已沒有外荷載。04二月2023按虛功方程，在虛位移上，外力的虛功等于應(yīng)力的虛功。而其內(nèi)部有應(yīng)力作用，考察已與結(jié)點(diǎn)切開后的單元ijm，則此單元上作用有外力——結(jié)點(diǎn)力，應(yīng)用虛功方程，求單元的結(jié)點(diǎn)力：代入虛功方程：在單元中，外力（結(jié)點(diǎn)力）在虛位移（結(jié)點(diǎn)虛位移）上的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功，假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點(diǎn)虛位移則單元內(nèi)單元內(nèi)任一點(diǎn)（x,y）的虛位移為則單元內(nèi)任一點(diǎn)（x,y）的虛應(yīng)變?yōu)榧?4二月2023式(b)是由應(yīng)力求結(jié)點(diǎn)力的一般公式。其中與x、y無關(guān)，故式(a)成為代入

(b)因?yàn)槭仟?dú)立的任意的虛位移得出虛功方程04二月2023式（c）是由結(jié)點(diǎn)位移求結(jié)點(diǎn)力的一般公式，k—稱為單元的勁度矩陣其中再將應(yīng)力公式代入上式，得對(duì)于三角形單元，B矩陣內(nèi)均為常數(shù)，有04二月2023代入B、D，得出k如書中（6-37）及（6-38）所示。（6-37）（6-38）

k是對(duì)稱矩陣，它與單元的大小無關(guān)，放大縮小單元的尺寸，k值不變。04二月2023例：圖示在平面應(yīng)力情況下的等腰三角形單元。求形函數(shù)N、單元?jiǎng)哦染仃嘖、應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S形函數(shù)N04二月2023單元?jiǎng)哦染仃嘖04二月2023單元?jiǎng)哦染仃嘖04二月2023取，04二月2023應(yīng)變矩陣B應(yīng)力矩陣S04二月2023應(yīng)力矩陣S04二月2023例：試寫出圖示在平面應(yīng)力情況下的三角形單元的形函數(shù)N、應(yīng)變矩陣B。04二月202304二月2023應(yīng)變矩陣B04二月2023§6－6

荷載向結(jié)點(diǎn)移置

單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣在FEM中，與結(jié)力相似，須將作用于單元中的外荷載向結(jié)點(diǎn)移置，化為等效結(jié)點(diǎn)荷載，（1）剛體靜力等效原則——使原荷載與移置荷載的主矢量以及對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同。1.移置原則（2）變形體靜力等效原則——在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等。04二月2023剛體靜力等效原則只從運(yùn)動(dòng)效應(yīng)來考慮，得出移置荷載不是唯一的解；∴在FEM中，采用變形體的靜力等效原則變形體的靜力等效原則考慮了變形效應(yīng)，在一定的位移模式下，其結(jié)果是唯一的，且也滿足了前者條件的。2.集中力的移置公式

原荷載作用于單位厚度單元中任一點(diǎn)（x,y）上；移置荷載作用于結(jié)點(diǎn)i、j、m。假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點(diǎn)虛位移，則（x,y）點(diǎn)的虛位移為04二月2023使移置荷載的虛功等于原荷載的虛功：即：

應(yīng)用式(a)，將fPt代之為并在邊界上積分，得3.

單元邊界Su上面力的移置公式4.單元內(nèi)體力f的移置公式

應(yīng)用式(a)，將fPt代之為并在邊界上積分，得04二月2023當(dāng)位移模式為線性函數(shù)時(shí)，由虛功方程得出的移置荷載，與按剛體靜力等效原則得出的結(jié)點(diǎn)荷載相同。例：設(shè)有均質(zhì)等厚度的三角形單元受有重力荷載fP，作用在單元重心，求移置到各結(jié)點(diǎn)的荷載。利用虛位移原理去除i點(diǎn)在垂直方向的約束，代以Fiy又同理04二月2023去除i點(diǎn)在水平方向的約束，代以Fix又同理例：設(shè)有均質(zhì)等厚度的三角形單元ij邊上受有圖示均布荷載P，求移置到各結(jié)點(diǎn)的荷載。04二月2023§6－7結(jié)構(gòu)的整體分析

結(jié)點(diǎn)平衡方程組在單元分析中，從單元的結(jié)點(diǎn)位移→求位移分布→求應(yīng)變→求應(yīng)力→求結(jié)點(diǎn)力，為單元的內(nèi)力分析；外荷載移置到結(jié)點(diǎn)荷載，為單元的外力分析。假設(shè)將結(jié)點(diǎn)i與周圍的單元切開，則圍繞i結(jié)點(diǎn)的每個(gè)單元，對(duì)i結(jié)點(diǎn)有結(jié)點(diǎn)力(）的作用,也有外荷載移置的結(jié)點(diǎn)荷載（）的作用。下面考慮整體分析。i

結(jié)點(diǎn)的平衡條件為對(duì)某一個(gè)單元ijm其中是對(duì)圍繞i

結(jié)點(diǎn)的單元求和04二月2023代入（a）式，可表示為在（b）式中i、j、m是單元內(nèi)部的結(jié)點(diǎn)編號(hào)，稱為局部編號(hào)；i=1,2,…,n是整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)編號(hào)，稱為整體編號(hào)將式（b）按整體結(jié)點(diǎn)編號(hào)排列，得整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組——整體結(jié)點(diǎn)位移列陣——整體結(jié)點(diǎn)荷載列陣——整體勁度矩陣元素Krs是相同整體編號(hào)的單元?jiǎng)哦染仃囋豮rs疊加而成04二月2023例圖（a）所示的深梁，在跨中受集中力F的作用，試用有限單元法求解跨中的位移。若取F2m1mF1m1m1m圖（a）圖（b）04二月2023Ii(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II圖（c）中，只有兩個(gè)未知結(jié)點(diǎn)位移v1，v2。其余的結(jié)點(diǎn)位移均為零。1m1mIII1234xy圖（c）圖（d）圖（e）

未知的結(jié)點(diǎn)位移列陣是對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)荷載列陣是04二月20231m1mIII1234xy圖（c）

下面我們直接來建立對(duì)應(yīng)于未知結(jié)點(diǎn)位移的平衡方程式，對(duì)于三角形單元，按照結(jié)點(diǎn)的局部編號(hào)（i、j、m），結(jié)點(diǎn)力一般公式是Ii(2)j(3)m(4)04二月2023

Ii(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II圖（d）圖（e）單元I、II的單元?jiǎng)哦染仃嚲鶠?4二月2023

Ii(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II圖（d）圖（e）單元I結(jié)點(diǎn)的局部編號(hào)與整體編號(hào)的關(guān)系是單元III局部編號(hào)整體編號(hào)整體編號(hào)i23j32m41單元I單元II04二月2023

整體結(jié)點(diǎn)平衡方程寫成每個(gè)子塊是2×2的矩陣?yán)绲乃膫€(gè)元素是結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)3沿x或y方向有單位位移而在結(jié)點(diǎn)2沿x或y方向的引起的結(jié)點(diǎn)力。1m1mIII1234xy04二月2023

整體剛度矩陣的形成1m1mIII1234xy單元I單元II04二月2023

整體剛度矩陣的形成Ii(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II04二月2023

整體剛度矩陣的形成Ii(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II04二月2023

由位移邊界條件u1=u2=u3=v3=u4=v4=01m1mIII1234xy04二月20232m2m2m2m2N/m2N/mxyO1N/mxy123456IIIIIIIV設(shè)有對(duì)角受壓的正方形薄板，荷載沿厚度均勻分布，為2N/m。取，04二月2023單元?jiǎng)偠染仃嚨慕卧獎(jiǎng)偠染仃嚍閱卧狪1N/mxy123456IIIIIIIVIi(3)j(1)m(2)單元IIIi(5)j(2)m(4)04二月2023單元I1N/mxy123456IIIIIIIVIi(3)j(1)m(2)單元IIIIi(5)j(2)m(4)m(3)i(2)j(5)III單元IIIIVi(6)j(3)m(5)單元IV04二月2023整體剛度矩陣的形成1N/mxy123456IIIIIIIV單元I單元III04二