第4章 電路的方程分析法

第4章電路的方程分析法重點熟練掌握電路方程的列寫方法：支路電流法回路電流法節(jié)點電壓法線性電路的一般分析方法(1)普遍性：對任何線性電路都適用。

復(fù)雜電路的一般分析法就是根據(jù)KCL、KVL及元件電壓和電流關(guān)系列方程、解方程。根據(jù)列方程時所選變量的不同可分為支路電流法、回路電流法和節(jié)點電壓法。（2）元件的電壓、電流約束特性。（1）電路的連接關(guān)系—KCL，KVL定律。

方法的基礎(chǔ)(2)系統(tǒng)性：計算方法有規(guī)律可循。4.1KCL和KVL的獨立方程數(shù)654321432114324123＋＋＋＝0結(jié)論n個結(jié)點的電路,獨立的KCL方程為n-1個。n個結(jié)點b條支路的電路,獨立的KVL方程為b-(n-1)個。4.2支路電流法(branchcurrentmethod)對于有n個節(jié)點、b條支路的電路，要求解支路電流,未知量共有b個。只要列出b個獨立的電路方程，便可以求解這b個變量。以各支路電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法。1.支路電流法2.獨立方程的列寫（1）從電路的n個結(jié)點中任意選擇n-1個結(jié)點列寫KCL方程（2）選擇基本回路列寫b-(n-1)個KVL方程R1R2R3R4R5R6+–i2i3i4i1i5i6uS1234例132有6個支路電流，需列寫6個方程。KCL方程:取網(wǎng)孔為基本回路，沿順時針方向繞行列KVL寫方程:結(jié)合元件特性消去支路電壓得：回路1回路2回路3123支路電流法的一般步驟：(1)標(biāo)定各支路電流（電壓）的參考方向；(2)選定(n–1)個節(jié)點，列寫其KCL方程；(3)選定b–(n–1)個獨立回路，列寫其KVL方程；(元件特性代入)(4)求解上述方程，得到b個支路電流；(5)進(jìn)一步計算支路電壓和進(jìn)行其它分析。支路電流法的特點：支路法列寫的是KCL和KVL方程，所以方程列寫方便、直觀，但方程數(shù)較多，宜于在支路數(shù)不多的情況下使用。例1.節(jié)點a：–I1–I2+I3=0(1)n–1=1個KCL方程：求各支路電流及電壓源各自發(fā)出的功率。解(2)b–(n–1)=2個KVL方程：11I2+7I3=

6U=US7I1–11I2=70-6=641270V6V7ba+–+–I1I3I2711例2.節(jié)點a：–I1–I2+I3=0(1)n–1=1個KCL方程：列寫支路電流方程。(電路中含有理想電流源）解1.(2)b–(n–1)=2個KVL方程：11I2+7I3=

U7I1–11I2=70-Ua1270V6A7b+–I1I3I2711增補方程：I2=6A+U_1解2.70V6A7b+–I1I3I2711a由于I2已知，故只列寫兩個方程節(jié)點a：–I1+I3=6避開電流源支路取回路：7I1＋7I3=70例3.節(jié)點a：–I1–I2+I3=0列寫支路電流方程.(電路中含有受控源）解11I2+7I3=5U7I1–11I2=70-5U增補方程：U=7I3a1270V7b+–I1I3I2711+5U_+U_有受控源的電路，方程列寫分兩步：(1)先將受控源看作獨立源列方程；(2)將控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中間變量。4.3回路電流法(loopcurrentmethod)基本思想為減少未知量(方程)的個數(shù)，假想每個回路中有一個回路電流。各支路電流可用回路電流的線性組合表示。來求得電路的解。1.回路電流法以基本回路中的回路電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法。當(dāng)取網(wǎng)孔電流為未知量時，稱網(wǎng)孔法i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2il1il2獨立回路為2。選圖示的兩個獨立回路，支路電流可表示為：回路電流在獨立回路中是閉合的，對每個相關(guān)節(jié)點均流進(jìn)一次，流出一次，所以KCL自動滿足。因此回路電流法是對獨立回路列寫KVL方程，方程數(shù)為：列寫的方程與支路電流法相比，方程數(shù)減少n-1個?；芈?：R1il1+R2(il1-il2)-uS1+uS2=0回路2：R2(il2-il1)+R3il2

-uS2=0整理得：(R1+R2)

il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)

il2=uS2i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2il1il22.方程的列寫R11=R1+R2回路1的自電阻。等于回路1中所有電阻之和。觀察可以看出如下規(guī)律：R22=R2+R3回路2的自電阻。等于回路2中所有電阻之和。自電阻總為正。R12=R21=–R2

回路1、回路2之間的互電阻。當(dāng)兩個回路電流流過相關(guān)支路方向相同時，互電阻取正號；否則為負(fù)號。ul1=uS1-uS2

回路1中所有電壓源電壓的代數(shù)和。ul2=uS2

回路2中所有電壓源電壓的代數(shù)和。當(dāng)電壓源電壓方向與該回路方向一致時，取負(fù)號；反之取正號。R11il1+R12il2=uSl1R12il1+R22il2=uSl2由此得標(biāo)準(zhǔn)形式的方程：對于具有l(wèi)=b-(n-1)

個回路的電路，有:其中:Rjk:互電阻+:流過互阻兩個回路電流方向相同-:流過互阻兩個回路電流方向相反0:無關(guān)R11il1+R12il2+…+R1lill=uSl1…R21il1+R22il2+…+R2lill=uSl2Rl1il1+Rl2il2+…+Rllill=uSllRkk:自電阻(為正)例1.用回路電流法求解電流i.解1獨立回路有三個，選網(wǎng)孔為獨立回路：i1i3i2（1）不含受控源的線性網(wǎng)絡(luò)

Rjk=Rkj

,系數(shù)矩陣為對稱陣。（2）當(dāng)網(wǎng)孔電流均取順（或逆時針方向時，Rjk均為負(fù)。表明RSR5R4R3R1R2US+_iRSR5R4R3R1R2US+_i解2只讓一個回路電流經(jīng)過R5支路i1i3i2特點（1）減少計算量（2）互有電阻的識別難度加大，易遺漏互有電阻回路法的一般步驟：(1)選定l=b-(n-1)個獨立回路，并確定其繞行方向；(2)對l個獨立回路，以回路電流為未知量，列寫其KVL方程；(3)求解上述方程，得到l個回路電流；(5)其它分析。(4)求各支路電流(用回路電流表示)；3.理想電流源支路的處理引入電流源電壓，增加回路電流和電流源電流的關(guān)系方程。例RSR4R3R1R2US+_iSU_+i1i3i2電流源看作電壓源列方程增補方程：選取獨立回路，使理想電流源支路僅僅屬于一個回路,

該回路電流即IS。RSR4R3R1R2US+_iSi1i3i2例為已知電流，實際減少了一方程4.4節(jié)點電壓法(nodevoltagemethod)選節(jié)點電壓為未知量，則KVL自動滿足，就無需列寫KVL方程。各支路電流、電壓可視為結(jié)點電壓的線性組合，求出節(jié)點電壓后，便可方便地得到各支路電壓、電流?；舅枷耄阂怨?jié)點電壓為未知量列寫電路方程分析電路的方法。適用于結(jié)點較少的電路。1.結(jié)點電壓法列寫的方程節(jié)點電壓法列寫的是結(jié)點上的KCL方程，獨立方程數(shù)為：與支路電流法相比，方程數(shù)減少b-(n-1)個。iS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_132(2)列KCL方程：iR出=iS入i1+i2=iS1+iS2-i2+i4+i3=0把支路電流用結(jié)點電壓表示：-i3+i5=－iS22.方程的列寫(1)選定參考節(jié)點，標(biāo)明其余n-1個獨立節(jié)點的電壓。整理，得：令Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5上式簡記為：G11un1+G12un2

＋G13un3

=iSn1G21un1+G22un2

＋G23un3

=iSn2G31un1+G32un2

＋G33un3

=iSn3標(biāo)準(zhǔn)形式的結(jié)點電壓方程等效電流源其中G11=G1+G2節(jié)點1的自電導(dǎo)，等于接在節(jié)點1上所有支路的電導(dǎo)之和。G22=G2+G3+G4節(jié)點2的自電導(dǎo)，等于接在節(jié)點2上所有支路的電導(dǎo)之和。G12=G21=-G2

節(jié)點1與節(jié)點2之間的互電導(dǎo)，等于接在節(jié)點1與節(jié)點2之間的所有支路的電導(dǎo)之和，為負(fù)值。自電導(dǎo)總為正，互電導(dǎo)總為負(fù)。G33=G3+G5

節(jié)點3的自電導(dǎo)，等于接在節(jié)點3上所有支路的電導(dǎo)之和。G23=G32=-G3

節(jié)點2與節(jié)點3之間的互電導(dǎo)，等于接在節(jié)點1與節(jié)點2之間的所有支路的電導(dǎo)之和，為負(fù)值。iSn2=-iS2＋uS/R5

流入節(jié)點2的電流源電流的代數(shù)和。iSn1=iS1+iS2

流入節(jié)點1的電流源電流的代數(shù)和。流入節(jié)點取正號，流出取負(fù)號。由節(jié)點電壓方程求得各節(jié)點電壓后即可求得各支路電壓，各支路電流可用節(jié)點電壓表示：一般情況G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1其中Gii—自電導(dǎo)，等于接在節(jié)點i上所有支路的電導(dǎo)之和(包括電壓源與電阻串聯(lián)支路)。總為正。當(dāng)電路不含受控源時，系數(shù)矩陣為對稱陣。iSni

—流入節(jié)點i的所有電流源電流的代數(shù)和(包括由電壓源與電阻串聯(lián)支路等效的電流源)。Gij

=Gji—互電導(dǎo)，等于接在節(jié)點i與節(jié)點j之間的所支路的電導(dǎo)之和，總為負(fù)。節(jié)點法的一般步驟：(1)選定參考節(jié)點，標(biāo)定n-1個獨立節(jié)點；(2)對n-1個獨立節(jié)點，以節(jié)點電壓為未知量，列寫其KCL方程；(3)求解上述方程，得到n-1個節(jié)點電壓；(5)其它分析。(4)求各支路電流(用節(jié)點電壓表示)；試列寫電路的節(jié)點電壓方程。(G1+G2+GS)U1-G1U2－GsU3=USGS-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3