控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性-

§8.3控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析§8.3.1李雅普諾夫穩(wěn)定性概念

系統(tǒng)狀態(tài)方程

方程解1.平衡狀態(tài)如果對(duì)于所有t，滿足的狀態(tài)稱為平衡狀態(tài)線性定常系統(tǒng):平衡狀態(tài)滿足

，如果A非奇異，系統(tǒng)只有唯一零解李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性是關(guān)于平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

李雅普諾夫穩(wěn)定性

如果對(duì)于任意小的

>0，均存在一個(gè)，當(dāng)初始狀態(tài)滿足時(shí)，狀態(tài)軌跡滿足意義下穩(wěn)定的。，稱該平衡狀態(tài)是李雅普諾夫一致穩(wěn)定性

如果平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，且δ與t0

無關(guān)，則稱該平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。定常系統(tǒng)如果穩(wěn)定，則一定是一致穩(wěn)定的。漸近穩(wěn)定性

系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，且有

稱該平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。2.李雅普諾夫穩(wěn)定性大范圍穩(wěn)定性

當(dāng)初始條件擴(kuò)展至整個(gè)狀態(tài)空間，且具有穩(wěn)定性時(shí)，稱該平衡狀態(tài)是大范圍穩(wěn)定的，或全局穩(wěn)定的。此時(shí)，。，不穩(wěn)定性

不論δ取得多么小，只要在內(nèi)有一條從x0

出發(fā)的軌跡跨出，則稱該平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。

與經(jīng)典控制的區(qū)別：

1）平衡點(diǎn)/BIBO2）狀態(tài)穩(wěn)定/輸出穩(wěn)定

3）經(jīng)典控制的穩(wěn)定大致對(duì)應(yīng)于現(xiàn)代控制的漸近穩(wěn)定

4）即便輸出穩(wěn)定，狀態(tài)也可能不穩(wěn)定

5）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定在經(jīng)典控制中可能不穩(wěn)定

6）經(jīng)典控制不需要一致性、全局性等概念（線性定常）

李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性

不穩(wěn)定性穩(wěn)定性的幾何表示§8.3.2李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法

李雅普諾夫第一法（間接法）是利用狀態(tài)方程解的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)系統(tǒng)征值位于復(fù)平面左半部，即漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的全部特證明假定A有相異特征值根據(jù)凱萊－哈密頓定理及推論矩陣指數(shù)為的線性組合

狀態(tài)方程解只要有一個(gè)特征值的實(shí)部大于零，對(duì)于便無限增長，系統(tǒng)不穩(wěn)定;

如果只有一個(gè)（或一對(duì)，且均不能是重根）特征值的實(shí)部等于零，其余特征值實(shí)部均小于零，便含有常數(shù)項(xiàng)或三角函數(shù)項(xiàng)，則系統(tǒng)僅僅可能是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。系統(tǒng)漸近穩(wěn)定;狀態(tài)方程解§8.3.3李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法標(biāo)量函數(shù)的定號(hào)性正定性標(biāo)量函數(shù)在域S中對(duì)所有非零狀態(tài)，稱在域S內(nèi)正定。:在域S中，對(duì)于及所有非零狀態(tài)有，稱在域S內(nèi)正定負(fù)(正)半定性

設(shè)

，且在域S內(nèi)某些狀態(tài)處有，其它狀態(tài)處均有，則稱在域S內(nèi)負(fù)（正）半定。在域S內(nèi)可正可負(fù)。不定性負(fù)定性設(shè)在域S中對(duì)所有非零狀態(tài)，稱內(nèi)負(fù)定。在域S若主子行列式含有等于零的情況，則為正半定或負(fù)半定。

二次型函數(shù)矩陣時(shí)，正定。P為對(duì)稱矩陣。顯然滿足，其定號(hào)性與P陣的定號(hào)性相同。當(dāng)P為正定負(fù)定。當(dāng)各順序主子行列式負(fù)、正相間時(shí)，P為負(fù)定矩陣，李雅普諾夫第二法穩(wěn)定性定理定理1

若正定,負(fù)定，則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。定理2

若正定，負(fù)半定，且在非零狀態(tài)不恒為零，則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。狀態(tài)方程平衡狀態(tài)定理3

若正定，負(fù)半定，且在非零狀態(tài)恒為零，則原點(diǎn)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。定理4

若正定，正(半）定，則原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。李雅普諾夫函數(shù)的選擇:穩(wěn)定性判別步驟：

1）求所有平衡點(diǎn)(對(duì)唯一平衡點(diǎn)須證明或說明)；

2）對(duì)非零平衡點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)平移；

3）構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)；

4）求導(dǎo),并用狀態(tài)方程消去狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)；

5）判導(dǎo)數(shù)的定號(hào)性；

6）作穩(wěn)定性結(jié)論（注意加定語）李雅普諾夫第二法諸穩(wěn)定性定理所述條件都是充分條件每個(gè)平衡點(diǎn)分別進(jìn)行例8-13

試用李雅普諾夫第二法判斷下列非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解令及，可以解得原點(diǎn)是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。負(fù)定，根據(jù)定理1，原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。鑒于只有一個(gè)平衡狀態(tài)，該非線性與t無關(guān)，系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定。取李雅普諾夫函數(shù)為

系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。因例8-14

試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

解令，得知原點(diǎn)是唯一的平衡狀態(tài)。不定，不能對(duì)穩(wěn)定性作出判斷。根據(jù)定理2，原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，且是大范圍一致漸近穩(wěn)定。負(fù)半定例8-15

試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。，系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，而且是一致穩(wěn)定的。解由是唯一平衡狀態(tài)。例8-16

試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

解原點(diǎn)是唯一平衡狀態(tài)。根據(jù)定理4，系統(tǒng)不穩(wěn)定。正半定

解:

是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)，得到新系統(tǒng)原點(diǎn)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的，因而原系統(tǒng)在平衡狀態(tài)（1，1）處是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。

作坐標(biāo)變換注意：一般不能用李雅普諾夫函數(shù)去直接判別非原點(diǎn)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。例8-17

試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性負(fù)半定例8-18

試判斷下列非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

解:令

系統(tǒng)有兩個(gè)平衡狀態(tài)：對(duì)原點(diǎn)平衡狀態(tài)，選當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)是不穩(wěn)定的對(duì)于原系統(tǒng)在狀態(tài)空間處的平衡狀態(tài)，當(dāng)局部一致漸近穩(wěn)定；不穩(wěn)定；不穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是局部一致漸近穩(wěn)定的。時(shí)，原點(diǎn)是不穩(wěn)定的當(dāng)，作坐標(biāo)變換，得到新狀態(tài)方程

對(duì)于平衡狀態(tài)§8.3.4線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析1.連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別

A為非奇異矩陣，原點(diǎn)是唯一平衡狀態(tài)。狀態(tài)方程李雅普諾夫代數(shù)方程定理5

系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件為：給定正（半）定實(shí)對(duì)稱矩陣Q，存在正定實(shí)對(duì)稱矩陣P，使得成立。判別方法：（1）給定正定的P判Q（2）給定正（半）定的Q判P例8-19

試用李雅普諾夫方法確定使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的K值范圍。

-x1(s)=y(s)x3(s)u(s)x2(s)解A非奇異，原點(diǎn)為唯一的平衡狀態(tài)取

解得P正定的條件為：及。故時(shí)，系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定。2.離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別若狀態(tài)陣非奇異，原點(diǎn)是唯一平衡狀態(tài)李雅普諾