第四章平面彎曲

第4章平面彎曲4.1平面彎曲的概念和實例橋式吊車受風載荷的塔設備管道托架共同點是：它們都可簡化為直桿，在通過軸線的平面，受到垂直于桿軸線的外力（橫向力）或力偶作用，使構件的軸線彎曲成一條曲線，這樣的變形稱為彎曲。以彎曲為主要變形的構件在工程上稱為梁。

梁的基本形式

簡支梁：一端固定鉸鏈，另一端活動鉸鏈；外伸梁：簡支梁一端或兩端伸出支座以外；懸臂梁：一端固定，另一端自由。工程上常用的梁，其橫截面大多具有一個豎向的對稱軸，如：

所有橫截面的豎向?qū)ΨQ軸形成一個平面——縱向?qū)ΨQ面梁的彎曲平面與載荷作用平面相重合的彎曲——稱平面彎曲4.2平面彎曲的內(nèi)力分析4.2.1剪力和彎矩產(chǎn)生原因：存在與軸線相垂直的橫向載荷。剪力和彎矩符號規(guī)定：取左段剪力向下為正，彎矩逆時針為正。符號規(guī)定的目的：使內(nèi)力素與變形相關聯(lián)，成為截面位置的函數(shù)，這種函數(shù)叫剪力方程和彎矩方程，作出的圖線叫做剪力圖和彎矩圖。4.2.2剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖準確無誤地求出約束反力。橫截面上的剪力和彎矩按符號規(guī)定的正方向假設，不去判斷其真實方向。取左段還是取右段，以研究問題簡單為準。研究受集中力、均布力、集中力偶等的剪力圖和彎矩圖。剪力彎矩按正方向假設作剪力圖與彎矩圖的規(guī)律：1）若在梁某段內(nèi)q=0，則Q為常量，剪力圖為水平直線，彎矩圖為直線。2）若在梁某段內(nèi)作用有向下的均布載荷，則剪力圖為下降直線，彎矩圖為上凸拋物線。3）在集中力作用處，剪力圖發(fā)生突變，彎矩圖不發(fā)生突變；集中力偶作用處，剪力圖不受影響，彎矩圖會發(fā)生突變。4）最大彎矩可能發(fā)生的位置：集中力作用處；集中力偶作用處；剪力等于零（Q=0）處。關注圖線走向、突變處、極值點及最大值（絕對值）。例4-1：已知：P=24kN，F(xiàn)=12kN，q=6kN/m，

MO=12kN·m。作出剪力圖和彎矩圖。解：(1)求支座反力(2)剪力圖和彎矩圖大致形狀分析(3)計算剪力和彎矩值RB=34kN，RA=26kNMC=26kN·mQD=2kN

=28kN·m=28-12=16kN·mMB=-24kN·m4.3平面彎曲的正應力計算剪力、彎矩對應的應力分析：剪應力和正應力純彎曲梁模型的建立：對于長梁，影響強度的決定因素是彎矩。QM4.3.l純彎曲時梁橫截面上的正應力變形幾何關系

中性層的存在性：每一縱向纖維層由直變彎，靠近上方的纖維層受壓，下方的纖維層受拉，中間某處存在一層既不受拉也不受壓的纖維層，這一層叫中性層，中性層與橫截面的交線叫中性軸。軸線：中性層與縱向?qū)ΨQ面的交線。平面假設：橫截面變形后仍保持平面，但繞自身的中性軸偏轉了一定角度，保持與中性層垂直。不擠壓假設：每一縱向纖維均為單向拉伸或壓縮，纖維層間不存在相互的擠壓。任一纖維層的變形計算：絕對變形：相對變形（應變）：yrdqabo1o2物理關系——應力和應變間的關系

不擠壓假設，每一纖維層處于簡單拉壓變形，滿足虎克定律：應力分布規(guī)律：橫截面上的正應力沿高度方向呈線性分布。abo1o2靜力關系——應力和內(nèi)力間的關系

橫截面上的正應力分布力系（平行力系）應為一力偶系。中性層在哪里？中性軸通過橫截面的形心橫截面上正應力的合力為截面上的彎矩。對中性軸的慣性矩表示截面繞中性軸轉動的難易程度，即表示了變形的剛度。軸線的曲率表示了梁的變形程度。梁彎曲變形的基本公式，表示了引起梁變形的外力及梁自身抵抗彎曲變形的能力（抗彎剛度）對彎曲變形的影響。正應力計算公式：工程實用計算式：應力的性質(zhì)可由變形直觀判斷最大彎曲正應力：抗彎截面模量：形狀規(guī)則截面的慣性矩和抗彎截面模量由定義可直接計算出來，對于型鋼可查表。慣性矩（截面模量）、靜矩（一次矩）、面積等是平面圖形的幾何性質(zhì)，只有和具體的變形結合起來才有其物理意義。上述應力計算公式可近似用于平面彎曲的長梁。4.3.3彎曲正應力強度條件強度條件式(等截面)：許用彎曲應力與簡單拉(壓)的許用應力意義相同；考慮到彎曲正應力的分布規(guī)律，許用彎曲應力的值可取較大的值，或說彎曲安全系數(shù)可取較小的值；強度條件式可解決三方面的問題。例4-2：圖示簡支梁AB，試求：(1)最大彎曲正應力及其所在位置；(2)在D、E兩點的彎曲正應力。解：（1）作出剪力圖和彎矩圖，求出最大彎矩值；計算抗彎截面模量（找出中性軸），計算最大彎曲正應力。（2）計算D、E兩點所在截面的彎矩值，按照D、E兩點各自離中性軸的距離，計算出其彎曲正應力的值，并判斷出其應力的性質(zhì)（拉應力或壓應力）。

Q19-9(kN)4.3.4提高梁彎曲強度的措施途徑：減小最大彎矩，增大抗彎截面模量。合理設置支座、合理布置載荷。簡支梁變?yōu)橥馍炝?，盡量不用懸臂梁，集中載荷變?yōu)榉植驾d荷等。選擇合理的截面形狀，注意梁的放置方式。選擇抗彎截面模量大的截面，如工字形，圓環(huán)形等，同樣的截面形狀，要注意使具有較大的慣性矩的軸成為中性軸。材料遠離中性軸矩形0.167h；圓形0.125h；環(huán)形0.205h工字鋼和槽鋼(0.27～0.31)h4.4平面彎曲的變形計算4.4.l梁彎曲變形的度量——撓度和轉角撓度和轉角是控制梁彎曲變形的宏觀量撓曲線可以表示撓度和轉角：橫截面轉角與撓曲線上相應點的切線轉角相同。小變形情況下，轉角可以用撓曲線的斜率表示。

y=f(x)

θ≈，

撓曲線的曲率表示梁軸線上各點的彎曲程度，加上邊界條件就決定了撓曲線，即確定了梁的撓度和轉角。因此，梁彎曲變形的基本方程是梁彎曲變形的微分方程。4.4.2撓曲線近似微分方程及兩次積分法梁彎曲變形的基本方程：注：為書寫簡單起見，將慣性矩的下標略去。曲率可用撓曲線的二階導數(shù)來表示：小變形二階導數(shù)與彎矩的符號關系：解此撓曲線微分方程，加上邊界條件，即可得到梁撓曲線上各點的轉角和撓度，即轉角方程和撓度（撓曲線）方程。撓曲線微分方程：例4-3：導出懸臂梁受集中力作用的轉角方程和撓度方程。設EI為常量。解：建立坐標系，寫出彎矩方程；兩次積分得出轉角方程和撓度方程的通用式；考慮邊界條件得到該梁的轉角方程和撓度方程：例4-4：例4-5：

4.4.3用疊加法求梁的變形疊加原理：小變形，材料服從虎克定律，梁的撓度和轉角均與梁所受載荷成線性關系，因此，梁在幾種載荷共同作用下的變形，可以看作是每一種載荷單獨作用時所產(chǎn)生的變形的疊加。疊加原理用來求復雜載荷作用下梁特定截面處的撓度和轉角。每一種基本載荷作用下的梁的變形公式需要預先導出。例4-6試求圖示懸臂梁自由端的撓度和轉角。設抗彎剛度EI為常量。解：P1和P2共同作用下懸臂梁自由端的撓度和轉角，可看作P1和P2單獨作用下產(chǎn)生的變形的代數(shù)和。

例4-7試求懸臂梁受均布載荷作用時自由端的撓度和轉角。設抗彎剛度EI為常量

解：將均布載荷設想為由無數(shù)個微元力qdx組成的，則每一個微元力qdx在梁自由端產(chǎn)生的微小轉角和撓度：，例4-84.4.4梁的剛度條件剛度條件：將最大變形限制在一定范圍內(nèi)的條件，即

ymax≤[y]

θmax≤[θ]許可撓度[y]和許可轉角[θ]由構件的具體工作要求來確定?；瘜W工業(yè)中[y]和[θ]的值經(jīng)常取決于生產(chǎn)工藝要求。如，一般塔設備塔頂自由端的許可撓度可取塔高的1/500～1/1000,具體值可由塔工藝要求來確定。4.5簡單超靜定梁的求解例：求圖示超靜定梁的約束反力。

靜定基變形圖

解：法Ⅰ：解除支座B，形成靜定基，變形協(xié)調(diào)方程：y1+y2=0，

法Ⅱ：解除轉角約束，形成靜定基，變形協(xié)調(diào)方程：q1+q2=0

靜定基變形圖4.6壓桿穩(wěn)定性簡介4.6.1壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿的穩(wěn)定性分析：外加力有利于彎曲變形的繼續(xù)發(fā)展；桿自身具有抵抗彎曲變形的能力（抗彎剛度）。壓桿是否穩(wěn)定取決于桿自身抵抗彎曲變形的能力與外力使桿發(fā)生彎曲變形的能力的較量。臨界壓力：彎曲變形既不消失也不擴大（臨界狀態(tài)）時的壓力。臨界壓力的大小表示了壓桿穩(wěn)定性的高低，是表