專題9：數(shù)列通項、求和、綜合應(yīng)用

南京市2017屆高三二輪專題復(fù)習(xí)（第三層次）專題9：數(shù)列通項、求和、綜合應(yīng)用(兩課時)班級姓名一、前測訓(xùn)練1．(1)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋3n(n∈N且n≥2)，則an＝．(2)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝2nan－1(n∈N且n≥2)，則an＝．答案：(1)an＝3n＋1－7(n－1)(n＋2)2；（2）an＝22．2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，則an＝．2答案：an＝n(n＋1)．23．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝3an－1＋1(n∈N且n≥2)，則an＝．2)n－1．答案：an＝3－2×(34．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an=2an-1＋2n(n∈N且n≥2)，則an＝．答案：an＝(2n－1)×2n－1．2an－1(n∈N且n≥2)，則a＝．a(chǎn)＋2n1nn答案：an2．＝n＋16．(1)已知數(shù)列{an}中，a1＋2a2＋?＋nan＝n2(n＋1)，則an＝．(2)已知數(shù)列{an}中，a1a2?an＝n2，則an＝．1，n＝1，答案：(1)an＝2n；(2)an＝n2(n－1)2，n≥27．(1)已知數(shù)列{a}中，a＋a＝2n，a＝1(n∈N*)，則a＝．nnn＋11n(2)已知數(shù)列{an}中，anan＋1＝2n，a1＝1(n∈N*)，則an＝．n，n為奇數(shù)，；(2)an＝(2)n-1，n為奇數(shù)，答案：(1)an＝(2)n，n為偶數(shù)n－1，n為偶數(shù)2an，0≤an＜1，8．已知數(shù)列{an}中，an＋1＝21≤an，若a1＝6，則a2014的值為n＜172a－1，26答案：7．9．(1)數(shù)列1＋2，1＋2＋4，1＋2＋4＋8，?，1＋2＋4＋?＋2n的前n項的和為1的前n項的和為．(2)數(shù)列an＝n(n＋2)·n的前n項的和為．(3)數(shù)列an＝(2n－1)39x，則f(12319．(4)設(shè)f(x)＝9x＋320)＋f(20)＋f(20)＋?＋f(20)的值為(5)已知數(shù)列a＝(－1)n·．nn

．．1南京市2017屆高三二輪專題復(fù)習(xí)（第三層次）答案：(1)2n＋2－(4＋n)；(2)3－11＋1·n＋1＋3；(4)19；42(n＋1n＋2)；(3)(n－1)32n＋1，n為奇數(shù)，2n．(5)S＝n，n為偶數(shù)210．(1)數(shù)列{an}通項公式為an＝an2＋n，若{an}滿足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an＋1對n≥8恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為．(2)已知數(shù)列n1n－2，bnn2，若數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍為．a(chǎn)＝(2)＝λa－n答案：(1)由9117,得a1,1(－17，－9)；22a2917（2）由題意的ann2ann2，即121n211n12n12n22n12n1，當(dāng)n1時2n12n1的最大值-3，3.λ＞－1．4－1(n∈N*)的最大項．11．求數(shù)列an＝4n2()n54n1答案：an1ann28n40,n8.3，最大項為a9．5二、方法聯(lián)想1．形如a－a＝f(n)(n∈N且n≥2)nn－1方法疊加法，即當(dāng)n∈N，n≥2時，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋?＋(a2－a1)＋a1．形如an＝f(n)(n∈N且n≥2)an－1aan－1a方法用疊乘法，即當(dāng)n∈N*，n≥2時，an2n＝··?·n－1a1n－2注意n＝１不滿足上述形式，所以需檢驗．2．形如含a，S的關(guān)系式nn利用an＝a1，n＝1，an的關(guān)系式(如果轉(zhuǎn)化為an不能解決方法S－S，將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅含有nn－1問題，則考慮轉(zhuǎn)化為僅含有Sn的關(guān)系式)．注意優(yōu)先考慮n＝1時，a1＝S1的情況．3．形如a＝pan－1＋q(n∈N且n≥2)n方法化為anq＝p(an－1qnnq，即得bnn－1n}為等比數(shù)列，＋p－1＋p－1)形式．令b＝a＋p－1＝pb，轉(zhuǎn)化成{b從而求數(shù)列{an}的通項公式．4．形如a＝pan－1＋f(n)(n∈N且n≥2)nn－1＋f(n)n，令bn＝an，得bn＝bn－1＋f(n)n，轉(zhuǎn)化為利用疊加法求bn(若f(n)n為方法兩邊同除pn，得an=nan－1npppppp常數(shù)，則{bn}為等差數(shù)列)，從而求數(shù)列{an}的通項公式．pan－1(n∈N且n≥2)5．形如a＝n2南京市2017屆高三二輪專題復(fù)習(xí)（第三層次）方法兩邊取倒數(shù)得1＝1＋q，令bn＝1，得bn＝bn－1＋q，轉(zhuǎn)化成{bn}為等差數(shù)列，從而求數(shù)列anan－1panp{an}的通項公式．6．形如a1＋2a2＋?＋nan＝f(n)或a1a2?an＝f(n)方法(1)列出a＋2a＋?＋na＝f(n)*且n≥2)，兩式作差得anf(n)－f(n－1)*12n(n∈N＝n(n∈N12＋?＋(n－1)an－1a＋2a＝f(n－1)且n≥2)，而a1＝f(1)．a(chǎn)a?a＝f(n)*且n≥2)，兩式作商得anf(n)*且n≥2)，而(2)列出12n(n∈N＝(n∈Na1f(1)．a(chǎn)1a2?an－1＝f(n－1)f(n－1)注意n＝１是否滿足上述形式須檢驗．nn＋1nn＋1＝f(n)形式7．形如a＋a＝f(n)或aa方法a＋a＝f(n)，兩式作差得an＋2nnn＋1－a＝f(n＋1)－f(n)，即找到隔項間的關(guān)系．a(chǎn)n＋1＋an＋2＝f(n＋1)(2)列出anan＋1＝f(n)，兩式作商得an＋2f(n＋1)n＋1n＋2＝，即找到隔項間的關(guān)系．1)anf(n)aa＝f(n＋8．歸納猜想方法 列出前幾項，找到數(shù)列的規(guī)律 (如周期性)，利用歸納猜想得數(shù)列的項．9．形如an±bn的形式方法 分組求和法．1或1等形式形如nna(a+d)n＋d＋n方法采用裂項相消法．形如anbn形式(其中an為等差，bn為等比)方法采用錯位相減法．首、尾對稱的兩項和為定值的形式方法倒序相加法．正負(fù)交替出現(xiàn)的數(shù)列形式方法并項相加法．10．?dāng)?shù)列的單調(diào)性方法1轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，如利用圖象分析．注意圖象分析時，數(shù)列圖象為離散的點(diǎn)．a(chǎn)n＋1方法2利用an＋1－an與0的關(guān)系(或an與1的關(guān)系，其中an＞0)判斷(或證明)數(shù)列的單調(diào)性．11．?dāng)?shù)列的最值方法1利用an＋1－an與0的關(guān)系(或an＋1an＞0)判斷數(shù)列的單調(diào)性．與1的關(guān)系，其中an方法2若第m項為數(shù)列的最大項，則am≥am＋1，a≥a．mm－1a≤a，若第m項為數(shù)列的最小項，則mm＋1am≤am－1．方法3看函數(shù)圖象，但是要注意是離散點(diǎn).三、例題分析例1已知數(shù)列{ann1(n∈N*，a∈R，且a≠0)．}中，a＝1＋a＋2n－1(1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值；(2)若對任意的 n∈N*，都有an≤a6成立，求 a的取值范圍．3南京市2017屆高三二輪專題復(fù)習(xí)（第三層次）答案: (1) an 1

1

，數(shù)列{an}中的最大項為 a5＝2，最小項為 a4＝0.2n 9(2)an12a1,5,6a10,8.－10＜a＜－8.2a22n2〖教學(xué)建議〗主要問題歸類與方法：1．求數(shù)列的最大項與最小項問題：方法① 利用數(shù)列的單調(diào)性，即用比較法判斷 an＋1與an的大?。椒á?利用通項所對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性．a(chǎn)≥a，a≤ak+1，方法③kk+1k求最在等差數(shù)列中，可以通過解不等式組求最大項akak≤ak-1ak≥ak-1小項ak．2．?dāng)?shù)列中的不等式恒成立問題：方法①：轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最大項與最小項問題．方法②：分離常數(shù)后，再求最值．(2)方法選擇與優(yōu)化建議：對于問題 1，學(xué)生一般會選擇方法②，因為本題中通項所對應(yīng)的函數(shù)是基本函數(shù)，單調(diào)性已知，便于處理，但要注意最值點(diǎn)必須是自變量取正整數(shù)；所以選擇②．本題第一小問選擇③也是比較簡單的．對于問題 2，學(xué)生一般會選擇方法①，因為數(shù)列通項所對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性已知．例2：已知二次函數(shù)f(x)＝x2－ax＋a(x∈R)同時滿足以下兩個條件：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內(nèi)存在0＜x1＜x2，使得不等式f(x1)＞f(x2)成立．設(shè)數(shù)列{ann}的前n項和S＝f(n)．(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)求數(shù)列{an}的通項公式；n3an＋5，cn1－1(n∈N*)，數(shù)列nn(3)設(shè)b＝(3)＝1－3bn＋11－3bn＋2{c}的前n項和為T，求證：T1．n＜21，n＝1，答案：（1）f(x)＝x2－4x＋4．(2)an＝2n－5，n≥21Tn＝2－3n＋1－1，證明略〖教學(xué)建議〗主要問題歸類與方法：1．求二次函數(shù)的解析式問題：方法 待定系數(shù)法，可設(shè)一般式，零點(diǎn)式與頂點(diǎn)式．2．求數(shù)列的通項問題：方法:①利用數(shù)列的通項 an與前n和Sn的關(guān)系，在已知 Sn條件下求通項 an．②利用等差(比)數(shù)列的通項公式，求通項；③構(gòu)造等差(比)數(shù)列求通項；④用累加(乘)法求通項．3．與數(shù)列有關(guān)不等式證明：4南京市2017屆高三二輪專題復(fù)習(xí)（第三層次）方法①：將數(shù)列的項與和具體求出來后，再用證明不等式的方法 (比較法、綜合法，分析法，反證法等)處理；方法②：利用放縮法，先去掉一些項(或項中的一部分)后，再將數(shù)列的項或和具體求出后，再比較．(2)方法選擇與優(yōu)化建議：對于問題1，學(xué)生一般會選擇用待定系數(shù)法，但本題條件實際上是一個等式與一個不等式，從等式中可求出a的值，但有2個，不等式中可確定a的取值范圍，從而確定a的值，本小題的難點(diǎn)在于對條件的轉(zhuǎn)化，要求學(xué)生對二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)有全面的認(rèn)識．對于問題2，學(xué)生一般會選擇方法①，因為數(shù)列的前n項已知，可由通項與前n項之間的關(guān)系來求．對于問題3，學(xué)生一般會選擇方法①，因為本題中數(shù)列的通項是某一數(shù)列相鄰兩項差的形式，用疊3加法很容易求出和Tn，證明很容易，本題也可增加證明Tn≥．也還有很多其他的變式．8例3：已知數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，且對任意n∈N*，都有an2＋1＝anan＋2＋k(k為常數(shù)).(1)若k＝(a2－a1)2，求證:a1，a2，a3成等差數(shù)列；245a2的值；(2)若k=0，且a，a，a成等差數(shù)列，求a1答案：(1)用定義證；q＝1或q＝1＋5．2〖教學(xué)建議〗主要問題歸類與方法：1．證明一個數(shù)列是等差數(shù)列：方法①定義法： an＋1－an＝d(常數(shù))，n∈N*；②等差中項法： 2an＝an＋1＋an－1，n≥2，n∈N*；2．等比數(shù)列的子列構(gòu)成一等差數(shù)列，求公比：方法①利用等差 (比)數(shù)列的通項公式，進(jìn)行基本量的計算方法選擇與優(yōu)化建議：對于問題 1，學(xué)生一般會選擇方法②，因為本題是研究 3個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列 ；所以選擇②．四、反饋練習(xí)1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，則an＝________.2， n＝1答案2n－1，n≥2說明：本題考查由 Sn求an，易忽略 n＝1的情況．2．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－1，則數(shù)列{an}的奇數(shù)項的前 n項和為________．4n－1答案3說明：本題考查等比數(shù)列的求和已知正數(shù)組成的等差數(shù)列{an}，其前20項和為100，則a7·a14的最大值是________．答案25解析∵S20＝20a1＋a20＝100，2∴a1＋a20＝10.∵an>0，∴a7·a14≤a7＋a142＝a1＋a202＝25.當(dāng)且僅當(dāng)a7＝a14＝5時取“＝”．22說明：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用5南京市2017屆高三二輪專題復(fù)習(xí)（第三層次）14.數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝2(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}前n項和，則 S21的值為________．9答案:2說明：本題考查等和數(shù)列，周期數(shù)列nn2n1，則數(shù)列{an5.若數(shù)列{a}的前n項和為S＝3a＋3}的通項公式為___________答案：an＝(－2)n－1說明：本題考查錯位相減法1*)，記S為數(shù)列{a}的前n項和，則2n1n＋112nnnSn＝________，an＝________.3n－12n＝1，3n－2答案:2×2n≥2.2說明：本題考查錯位相減法nn2n，那么這個數(shù)列取到最小項時的n＝________.7.已知數(shù)列{a}的通項公式為a＝3n＋1答案：n＝1說明：本題考查數(shù)列的單調(diào)性n18．已知數(shù)列n1n＋1a*n＋1＝(n－λ)＋1，b1n}是遞{a}滿足a＝1，a＝an＋2(n∈N)．若ban＝－λ，且數(shù)列{b增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍為______________.答案：λ<2.說明：本題考查數(shù)列的單調(diào)性，不等式恒成立9．將奇數(shù)數(shù)列如下分組： 1，(3,5)，(7,9,11)，(13,15,17,19)，?，使得第n組中含有 n個數(shù)，那么第 n組中的n個奇數(shù)的和為________．答案：n3說明：本題考查歸納猜想10．將正偶數(shù)排列如表，2468101214161820??其中第i行第j個數(shù)表示為 aij(i，j∈N*)，例如a43＝18，若aij＝2012，則i＋j＝________.答案：61說明：本題考查數(shù)陣11.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝10，a2為整數(shù)，且 Sn≤S4.(1)求{an}的通項公式；1(2)設(shè)bn＝anan＋1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.n答案：(1)an＝13－3n.(2)Tn＝10（10－3n）說明：（1）本題考查等差數(shù)列基本量的運(yùn)算（2）本題考查裂項法求和6南京市2017屆高三二輪專題復(fù)習(xí)（第三層次）12．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝4，且滿足2S＝an＋1(n∈N*)．n(1)求a，a，an的值，并猜想出數(shù)列{a}的通項公式an；134n(2)設(shè)b＝(－1)a，請利用(1)的結(jié)論，求數(shù)列的前15項和T.nnnn15答案：(1)an＝3n－2(2)T15＝－22說明：（1）本題考查歸納猜想（2）本題考查奇偶項求和13．已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{a}的通項公式．n(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．答案：(1)an＝2或an＝4n－2.n；(2)當(dāng)a＝2時，不存在滿足題意的正整數(shù)n當(dāng)an＝4n－2時，存在滿足題意的正整數(shù)n，其最小值為41.說明：（1）本題考查等差數(shù)列基本量運(yùn)算（2）本題考查數(shù)列不等式存在性問題14.已知數(shù)列an的前n