函數(shù)單調(diào)性與曲線的凸凹性的判別法

3.3函數(shù)單調(diào)性與曲線的凸凹性的判別法3.3.1函數(shù)單調(diào)性的判別法增減證

任取設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加；定理3.3.1(函數(shù)單調(diào)性的判定定理）在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)不變號.(1)若且朗日定理?xiàng)l件，則在上函數(shù)滿足拉格于是有則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少.若(2)(1)若則于是即在內(nèi)單調(diào)增加；(2)若則于是即在內(nèi)單調(diào)減少.注則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)仍單調(diào)增加（或單調(diào)減少）.10若(或),但等號僅在個(gè)別點(diǎn)成立，20定理中的區(qū)間換為其他類型的區(qū)間，定理結(jié)論仍成立.例1

判定函數(shù)在上的單調(diào)性.解因?yàn)樵趦?nèi)有所以在上增加.例2

討論函數(shù)的單調(diào)性.解函數(shù)的定義域?yàn)榍以趦?nèi)，所以函數(shù)在上單調(diào)減少；在內(nèi)，所以函數(shù)在上單調(diào)增加；例3

討論函數(shù)的單調(diào)性.解函數(shù)的定義域?yàn)樵趦?nèi)，在內(nèi)，且當(dāng)時(shí)，時(shí)不可導(dǎo).所以函數(shù)在上單調(diào)減少；所以函數(shù)在上單調(diào)增加；函數(shù)并不一定在其整個(gè)定義域內(nèi)都是單調(diào)增加或單調(diào)減少,而往往在定義域內(nèi)的某一部分區(qū)間上單增,在另一部分區(qū)間上單減.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間，統(tǒng)稱為函數(shù)的增減區(qū)間.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)為下列兩種類型的點(diǎn)：(1)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(駐點(diǎn))；(2)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(不可導(dǎo)點(diǎn)).確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法和步驟:(3)以(2)中所找點(diǎn)為分界點(diǎn),將定義域分成若干區(qū)間,在每一區(qū)間上(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求求出使的點(diǎn)(駐點(diǎn)),及使不存在的點(diǎn);判斷導(dǎo)數(shù)的符號，由定理3.3.1得結(jié)論，確定函數(shù)的增減區(qū)間.例4

確定函數(shù)的增減區(qū)間.解函數(shù)的定義域?yàn)橐蛩詻]有不可導(dǎo)點(diǎn)，令得駐點(diǎn)以為分界點(diǎn)，將定義域分成三個(gè)區(qū)間，列表如下：可見，函數(shù)的遞增區(qū)間為和遞減區(qū)間為例5

討論函數(shù)的單調(diào)性.解函數(shù)的定義域?yàn)橛捎谒?，令得駐點(diǎn)以為分界點(diǎn)，將定義域分成三個(gè)區(qū)間，列表如下：當(dāng)時(shí)，不存在.可見，函數(shù)在和上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.不存在函數(shù)的單調(diào)性可用來證明不等式.例6

證明：當(dāng)時(shí)，證令則因?yàn)樵谏线B續(xù)，并且在內(nèi)因此

在上單調(diào)增加，從而當(dāng)時(shí)，有即3.3.2曲線的凸凹性的判別法xyoxoy圖形凹圖形凸設(shè)在區(qū)間I上連續(xù).

如果對任意的有則稱在區(qū)間I上的圖形是凹的(或向上凹).

如果對任意的有則稱在區(qū)間I上的圖形是凸的(或向下凹).

定義3.3.1若曲線在區(qū)間I上是凹(凸)的，則在區(qū)間I上是凸(凹)的.直觀觀察凹曲線xyo凸曲線xoy遞增遞減設(shè)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在，那么定理3.3.2(1)若在I內(nèi),則曲線在

I上是凹的;(2)若在I內(nèi),則曲線在

I上是凸的.證(1)若在I內(nèi),在

I內(nèi)任取兩點(diǎn)不妨設(shè)記由拉格朗日定理得兩式相減得因?yàn)樗约此郧€在

I上是凹的.類似地可證(2).若在區(qū)間I內(nèi),函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)注且等號僅在個(gè)別點(diǎn)成立,則曲線在區(qū)間I上仍是凹(凸)的.例1

判別曲線

在上的凸凹向.解因?yàn)樵趦?nèi)所以曲線在上是凸的.例2

討論下列曲線的凸凹性：解這兩個(gè)函數(shù)的定義域均為在內(nèi)是凸的；所以曲線則在內(nèi)，在內(nèi)，曲線在內(nèi)是凹的.則在內(nèi)，當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處，的二階導(dǎo)數(shù)不存在.所以曲線在內(nèi)是凹的.在內(nèi)，曲線在內(nèi)是凸的.

由上例看出,有些函數(shù)圖形在其定義域的不同部分其凸凹性不同.曲線的凸凹區(qū)間的分界點(diǎn)為下列兩種類型的點(diǎn)：(1)二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)；(2)二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).

圖形為凸的區(qū)間稱為曲線的凸區(qū)間，圖形為凹的區(qū)間稱為曲線的凹區(qū)間.如果函數(shù)的圖形在經(jīng)過點(diǎn)時(shí)改變了凸凹性，則稱點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).設(shè)曲線定理3.3.3若點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)，則或不存在.確定曲線的凸凹區(qū)間及拐點(diǎn)的方法和步驟：(3)以(2)中所找點(diǎn)為分界點(diǎn),將定義域分成若干區(qū)間,在每一區(qū)間上(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求找出使的點(diǎn),及不存在的點(diǎn)；的凸凹區(qū)間及拐點(diǎn).判斷二階導(dǎo)數(shù)的符號，由定理3.3.2得出結(jié)論，從而確定曲線例3

求曲線的凸凹區(qū)間及拐點(diǎn).解函數(shù)的定義域?yàn)橛捎诳芍?，函?shù)沒有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，令得以為分界點(diǎn)，將定義域分成兩個(gè)區(qū)間，列表如下：拐點(diǎn)凹區(qū)間為可見，曲線的凸區(qū)間為拐點(diǎn)為例4

討論曲線的凸凹區(qū)間及拐點(diǎn).解函數(shù)的定義域?yàn)橛捎诹畹靡詾榉纸琰c(diǎn)，將定義域分成三個(gè)區(qū)間，列表如下：當(dāng)