函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、曲線的凹凸與拐點函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

第三章一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:

無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證畢例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

證明時,成立不等式證:

令從而因此且證證明目錄上頁下頁返回結(jié)束定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點

.圖形是凸的.二、曲線的凹凸與拐點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說明(1)成立;(2)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)證畢例3.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1)若在某點二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,0)

為曲線的拐點.凹凸機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標令得對應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)

及均為拐點.凹凹凸機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:

利用單調(diào)增加,及B1.

設(shè)在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

.2.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及作業(yè)P1503(1),(7);5(2),(4);10(3),(6);11(3);14;15

;

;第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束有位于一直線的三個拐點.1.求證曲線證明：備用題機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令得從而三個拐點為因為所以三個拐點共線.機動目錄上頁