專題六數(shù)列第十八講數(shù)列的綜合應用

專題六 數(shù)列第十八講 數(shù)列的綜合應用一、選擇題1．（2017新課標Ⅰ）幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件．為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣， 他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼 ”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，,，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是A．440B．330C．220D．110．（2016年全國Ⅲ）定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：{an}共有2m項，其中m項為，m項2{an}0為1，且對任意k2m，a,a,,a中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)．若m=4，則不同12k的“規(guī)范01數(shù)列”共有（A）18個（B）16個（C）14個（D）12個3．(2015湖北)設a1,a2,,anR，n≥3．若p：a1,a2,,an成等比數(shù)列；q：(a12a22an21)(a22a32an2)(a1a2a2a3an1an)2，則A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件4．（2014新課標2）等差數(shù)列an的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則an的前n項和Sn=A．nn1B．nn1nn1nn1C．2D．25．（2014浙江）設函數(shù)f1(x)x2，f2(x)2(xx2),f3(x)1|sin2x|，aii，399i0,1,2,,99，記Ik|fk(a1)fk(a0)||fk(a2)fk(a1)||fk(a99)fk(a98)|，k1,2,3.則A．I1 I2 I3 B． I2 I1 I3 C． I1 I3 I2 D． I3 I2 I1二、填空題6．(2018江蘇)已知集合A{x|x2n1,nN*}，B{x|x2n,nN*}．將AB的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列{an}．記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn12an1成立的n的最小值為．7．（2015陜西）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為．8．（2014新課標2）數(shù)列an滿足an11，a2=2，則a1=_________．1an9．（2013重慶）已知an是等差數(shù)列，a11，公差d0，Sn為其前n項和，若a1,a2,a5成等比數(shù)列，則S8_____．10．（2011江蘇）設1a1a2a7，其中a1,a3,a5,a7成公比為q的等比數(shù)列，a2,a4,a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________．11．（2011浙江）若數(shù)列n(n4)(2)n中的最大項是第k項，則k=_______________．3三、解答題12．(2018江蘇)設{a}是首項為a，公差為d的等差數(shù)列，{bn}是首項為b1，公比為q的n1等比數(shù)列．(1)設a10,b11,q2，若|anbn|≤b1對n1,2,3,4均成立，求d的取值范圍；(2)若a1b10,mN*,q(1,m2]，證明：存在dR，使得≤b1對|anbn|n2,3,,m1均成立，并求d的取值范圍（用b1,m,q表示）．13．（2017天津）已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn(nN)，{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312,b3a42a1，S1111b4．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{a2nb2n1}的前n項和(nN)．14．（2017浙江）已知數(shù)列{xn}滿足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*)．證明：當nN*時（Ⅰ）0xn1xn；（Ⅱ）2xn1xn≤xnxn1；2（Ⅲ）1≤xn≤1．2n12n215．（2016年四川高考）已知數(shù)列{an}的首項為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn1qSn1，其中q>0，nN*.（I）若2a2,a3,a22成等差數(shù)列，求an的通項公式；(Ⅱ)設雙曲線2y2的離心率為en，且e25，證明：ee4n3n．x21en1312nan316．（2015湖北）設等差數(shù)列 {an}的公差為 d，前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為 q．已知b1a1，b22，qd，S10100．（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（Ⅱ）當d1時，記cnan，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．bn17．（2015陜西）設fnx是等比數(shù)列1，x，x2，，xn的各項和，其中x0，n，n≥2．（Ⅰ）證明：函數(shù)Fnxfnx2在(1,1)內(nèi)有且僅有一個零點（記為xn），且2xn11xnn1；22（Ⅱ）設有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為gnx，比較fnx與gnx的大小，并加以證明．18．（2015重慶）在數(shù)列an中，a13，an1anan1an20(nN)．（Ⅰ）若0,2，求數(shù)列an的通項公式；（Ⅱ）若1(k0N,k0≥2)，1，證明：211ak0121．k03k02k0119．(2014山東）已知等差數(shù)列 {an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）令bn=(1)n14n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．a(chǎn)nan1an和bn滿足a1a2anbnN．若an為等比數(shù)列，20．（2014浙江）已知數(shù)列2n且a12,b36b2.（Ⅰ）求an與bn；（Ⅱ）設cn11nN．記數(shù)列cn的前n項和為Sn．a(chǎn)nbn（?。┣骃n；（ⅱ）求正整數(shù)k，使得對任意nN，均有SkSn．21．（2014湖南）已知數(shù)列{an}滿足a11,|an1an|pn,nN*.（Ⅰ）若{an}是遞增數(shù)列，且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，求p的值；（Ⅱ）若p1a2n1}是遞增數(shù)列，{a2n}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式．，且{222．（2014四川）設等差數(shù)列{an}的公差為d，點(an,bn)在函數(shù)f(x)2x的圖象上（nN*）．（Ⅰ）若a12，點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項和Sn；（Ⅱ）若a11，函數(shù)f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為21，ln2求數(shù)列{an}的前n項和Tn．bn23．(2014江蘇)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn．若對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Snam，則稱{an}是“H數(shù)列”．（Ⅰ）若數(shù)列{an}的前n項和Sn2n(nN)，證明:{an}是“H數(shù)列”；（Ⅱ）設{an}是等差數(shù)列，其首項a11，公差d0．若{an}是“H數(shù)列”，求d的值；（Ⅲ）證明：對任意的等差數(shù)列{an}，總存在兩個“H數(shù)列”{bn}和{cn}，使得anbncn(nN)成立．24．（2013安徽）設數(shù)列a滿足a12，a2a48，且對任意nN*，函數(shù)nf(x)(anan1an2)xan1cosx-an2sinx，滿足f'()02（Ⅰ）求數(shù)列an的通項公式；（Ⅱ）若bn（2an1），求數(shù)列b的前n項和S．2annn25．（2013廣東）設各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足4Snan214n1，N*，且a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列．（Ⅰ）證明： a2 4a1 5；（Ⅱ）求數(shù)列 an的通項公式；（Ⅲ）證明：對一切正整數(shù)n，有1111a1a2a2a3anan1．226．（2013湖北）已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2a3a418.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）是否存在正整數(shù)n，使得Sn2013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由．27．（2013江蘇）設an是首項為a，公差為d的等差數(shù)列d0，Sn是其前n項和．記bnnSn，nN*，其中c為實數(shù).n2c（Ⅰ）若c0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snkn2Skk,nN*；（Ⅱ）若bn是等差數(shù)列，證明：c0．28．(2012山東)已知等差數(shù)列{an}的前5項和為105，且a102a5．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）對任意mN*，將數(shù)列{an}中不大于72m的項的個數(shù)記為bm.求數(shù)列{bm}的前m項和Sm．29．（2012湖南）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當年年底資金增長了50％．預計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元．（Ⅰ）用d表示a1,a2，并寫出an1與an的關(guān)系式；（Ⅱ）若公司希望經(jīng)過m（m≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值（用m表示）．30．（2012浙江）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn=2n2n，n∈N﹡，數(shù)列bn滿足an4log2bn3，nN*．（Ⅰ）求an,bn；（Ⅱ）求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn．31．（2012山東）在等差數(shù)列an中，a3a4a584，a973（Ⅰ）求數(shù)列an的通項公式；（Ⅱ）對任意的mN*，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間9m,92m內(nèi)的項的個數(shù)為bm，求數(shù)列bm的前m項和Sm．32．（2012江蘇）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列anbn，nN．{an}和{bn}滿足：an1an2bn2bn，nbn2（Ⅰ）設bn11N，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；anan（Ⅱ）設bn12bn，nN，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．a(chǎn)n33．（2011天津）已知數(shù)列{an}與{bn}滿足bn1anbnan1(2)n1，3(1)n1*,且a12．bn,nN2（Ⅰ）求a2,a3的值；（Ⅱ）設cna2n1a2n1,nN*，證明{cn}是等比數(shù)列；S1S2S2n1S2nn1*).（Ⅲ）設Sn為{an}的前n項和，證明a2a2n1a2n(nNa1334．（2011天津）已知數(shù)列{an}與{bn}滿足：bnanan1bn1an20,bn3(1)n，2nN*，且a12,a24．（Ⅰ）求a3,a4,a5的值；（Ⅱ）設cna2n1a2n1,nN*，證明：cn是等比數(shù)列；（Ⅲ）設Saaa,kN*,證明：4nSk7(nN*)．k242kk1ak635．（2010新課標）設數(shù)列an滿足a12,an1an322n1（Ⅰ）求數(shù)列 an的通項公式；（Ⅱ）