控制工程課件第3章時(shí)域分析法(新)

第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法§3.1

典型輸入信號(hào)§3.2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)§3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)§3.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)§3.5誤差分析和計(jì)算§3.6穩(wěn)定性分析

本章主要內(nèi)容重點(diǎn)：二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)及其性能指標(biāo)。難點(diǎn)：二階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。§3.1典型輸入信號(hào)

在時(shí)間域進(jìn)行分析時(shí)，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入信號(hào)建立分析比較的基礎(chǔ)。這些信號(hào)稱(chēng)為控制系統(tǒng)的典型輸入信號(hào)。

時(shí)域分析的目的

在時(shí)間域，研究在一定的輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出隨時(shí)間變化的情況，以分析和研究系統(tǒng)的控制性能。優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡(jiǎn)便

一、典型輸入信號(hào)§3.1典型輸入信號(hào)二、對(duì)典型輸入信號(hào)的要求能夠反映系統(tǒng)工作在最不利的情形；形式簡(jiǎn)單，便于解析分析；實(shí)際中可以實(shí)現(xiàn)或近似實(shí)現(xiàn)。

常用的典型輸入信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)Asint

正弦信號(hào)

1(t)，t=0單位脈沖信號(hào)

單位加速度信號(hào)

t，

t0單位速度(斜坡)信號(hào)

1(t)，t0單位階躍信號(hào)

復(fù)數(shù)域表達(dá)式

時(shí)域表達(dá)式

名

稱(chēng)

§3.1典型輸入信號(hào)§3.2

一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一階系統(tǒng)：一、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)凡是能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)。典型形式：輸入信號(hào)：輸出：極點(diǎn)（特征根）：1斜率=1/T0xo(t)t1T0.632A63.2%B2T86.5%3T95%4T98.2%5T99.3%99.8%6T§3.2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)1T4T10xo(t)t63.2%98.2%☆一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)（1）響應(yīng)分為兩部分

（2）無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)表示t時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表示系統(tǒng)輸出量從初態(tài)到終態(tài)的變化過(guò)程（動(dòng)態(tài)/過(guò)渡過(guò)程）

瞬態(tài)響應(yīng)§3.2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)（3）xo(0)=0，xo()=1，且無(wú)振蕩。1T4T10xo(t)t63.2%98.2%☆一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)（4）xo(T)=1-e-1=0.632

xo(3T)=1-e-3=0.95

xo(4T)=1-e-4=0.982通常工程中當(dāng)響應(yīng)曲線(xiàn)達(dá)到并保持在穩(wěn)態(tài)值的95%～98%時(shí)，認(rèn)為系統(tǒng)瞬態(tài)（動(dòng)態(tài)）響應(yīng)過(guò)程基本結(jié)束。從而慣性環(huán)節(jié)的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間為3T~4T。時(shí)間常數(shù)T反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快慢?！?.2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)二、一階系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)§3.2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)☆一階系統(tǒng)單位速度響應(yīng)的特點(diǎn)（1）

經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間(穩(wěn)態(tài)時(shí)，如：t4T)，輸出增長(zhǎng)速率近似與輸入相同，此時(shí)輸出為：t–T，即輸出相對(duì)于輸入滯后時(shí)間T；

（2）系統(tǒng)響應(yīng)誤差為：§3.2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)三、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)0§3.2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)☆一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的特點(diǎn)

瞬態(tài)響應(yīng)：(1/T)e–t/T；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：0；

xo(0)=1/T,隨時(shí)間的推移，xo(t)指數(shù)衰減；對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)，通常應(yīng)用具有較小脈沖寬

度（脈沖寬度小于0.1T）和有限幅值的脈

沖代替理想脈沖信號(hào)。

§3.2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)1.單位階躍響應(yīng)2.單位速度響應(yīng)3.單位脈沖響應(yīng)注意觀察輸入信號(hào)及相應(yīng)輸出之間的聯(lián)系！§3.2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)線(xiàn)性定常系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性質(zhì)

系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)通常由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量共同組成，前者反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，后者反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

注意到：即：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分，其積分常數(shù)由初始條件確定。這種輸入－輸出間的積分、微分性質(zhì)對(duì)任何線(xiàn)性定常系統(tǒng)均成立?！?.2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)例：溫度計(jì)的傳遞函數(shù)為,現(xiàn)在用該溫度計(jì)測(cè)量一容器內(nèi)水的溫度，發(fā)現(xiàn)需要1min的時(shí)間才能指示出實(shí)際水溫的98%的數(shù)值，求此溫度計(jì)的時(shí)間常數(shù)T。如果給容器加熱，使水溫以100C/min的溫度變化，此溫度計(jì)的穩(wěn)態(tài)指示誤差是多少？解：（1）時(shí)間常數(shù)T近似解法：對(duì)于一階系統(tǒng)，當(dāng)t4T時(shí)，溫度可升高實(shí)際溫度的98%，即：4T=1min（2）穩(wěn)態(tài)誤差此時(shí)，解：（1）時(shí)間常數(shù)T精確解法：（2）穩(wěn)態(tài)誤差此時(shí)，例：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：試求系統(tǒng)的的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)。解：（1）系統(tǒng)單位階躍輸入時(shí)，（2）當(dāng)單位脈沖輸入時(shí)，§3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)二階系統(tǒng)：其中：T為時(shí)間常數(shù)，也稱(chēng)為無(wú)阻尼自由振蕩周期。

稱(chēng)為阻尼比；n＝1/T

為系統(tǒng)的無(wú)阻尼固有頻率。一、二階系統(tǒng)的特征方程：極點(diǎn)（特征根）：（凡是能夠用二階微分方程描述的系統(tǒng)）1.欠阻尼二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）：

0<<1具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)：2.臨界阻尼二階系統(tǒng)：

＝1具有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：3.過(guò)阻尼二階系統(tǒng)：

>1具有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：§3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)4.零阻尼二階系統(tǒng)：＝0具有一對(duì)共軛虛極點(diǎn)：5.負(fù)阻尼二階系統(tǒng)：<0極點(diǎn)實(shí)部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定?！?.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)1.欠阻尼（0<<1）狀態(tài)輸入信號(hào)：?jiǎn)挝浑A躍1(t),其拉氏變換為：由傳遞函數(shù)的定義可得到二階系統(tǒng)的輸出為：二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)§3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)式中，欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

§3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)=0.2=0.4=0.6=0.85101500.20.40.60.811.21.41.61.82xo(t)t§3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)

xo()=1，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差；

瞬態(tài)分量為振幅等于的正弦振蕩。

振蕩幅值隨

減小而加大。其振幅衰減的快慢由和n決定。阻尼振蕩頻率為：§3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)10txo(t)

特點(diǎn)●單調(diào)上升，無(wú)振蕩、無(wú)超調(diào)；

●

xo()=1，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。2.臨界阻尼（

=1）狀態(tài)具有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：§3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)3.過(guò)阻尼（>1）狀態(tài)§3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)3.過(guò)阻尼（>1）狀態(tài)

特點(diǎn)單調(diào)上升，無(wú)振蕩，過(guò)渡過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)。

xo()=1，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。該分量影響大當(dāng)大于1.25時(shí)，可忽略?！?.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)4.無(wú)阻尼（=0）狀態(tài)210txo(t)特點(diǎn)頻率為n的等幅振蕩。§3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)幾點(diǎn)結(jié)論1.二階系統(tǒng)的阻尼比

決定了其振蕩特性：▲

<0時(shí)，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；▲

1時(shí)，無(wú)振蕩、無(wú)超調(diào)，過(guò)渡過(guò)程長(zhǎng)；▲0<<1時(shí)，有振蕩，

愈小，振蕩愈嚴(yán)重，但響應(yīng)愈快?！?/p>

=0時(shí)，出現(xiàn)等幅振蕩。

工程應(yīng)用中，除了有些場(chǎng)合不允許產(chǎn)生振蕩（如指示和記錄儀表系統(tǒng)等）外，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇0.4～0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時(shí)又不至于產(chǎn)生過(guò)大的振蕩。

一定時(shí)，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速，即系統(tǒng)能夠更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)的快速性越好。§3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)§3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)三、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)輸入信號(hào)：二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)：二階系統(tǒng)的輸出為：

>1：§3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)0txo(t)

>1

=1

<1

=1：

0<<1：

=0：

>1：四、二階系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)

>1：

=1：

0<<1：

=0：§3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)

高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

考慮系統(tǒng)：參考內(nèi)容假設(shè)系統(tǒng)極點(diǎn)互不相同。其中，a,aj為Xo(s)在極點(diǎn)s=0和s=-pj處的留數(shù)；bk、ck是與Xo(s)在極點(diǎn)處的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。通過(guò)拉氏反變換，其輸出為：

高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由一階和二階系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)疊加而成。為了在工程上處理方便，某些高階系統(tǒng)通過(guò)合理簡(jiǎn)化，可以用低階系統(tǒng)近似。（1）由于系統(tǒng)極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部離虛軸越遠(yuǎn)，則該極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)在瞬態(tài)響應(yīng)中衰減得越快，反之則越慢，離虛軸越近的極點(diǎn)稱(chēng)為主導(dǎo)極點(diǎn)。離虛軸遠(yuǎn)的極點(diǎn)（5倍）可忽略。（2）偶極子可對(duì)消?！?.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)

一、控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)

控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)是評(píng)價(jià)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)的定量指標(biāo)，是定量分析的基礎(chǔ)。

系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)通常通過(guò)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)進(jìn)行定義。常見(jiàn)的性能指標(biāo)有：〇上升時(shí)間tr〇峰值時(shí)間tp〇調(diào)整時(shí)間ts〇最大超調(diào)量Mp〇振蕩次數(shù)N

1.上升時(shí)間tr

響應(yīng)曲線(xiàn)從零時(shí)刻出發(fā)首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間。二、欠阻尼二階系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)的計(jì)算

根據(jù)上升時(shí)間的定義有：欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：對(duì)無(wú)超調(diào)系統(tǒng)，上升時(shí)間一般定義為響應(yīng)曲線(xiàn)從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間?！?.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)顯然，一定時(shí)，n越大，tr越?。?/p>

n一定時(shí)，

越大，tr

越大。tx0(t)tr1§3.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)2.峰值時(shí)間tp響應(yīng)曲線(xiàn)從零上升到第一個(gè)峰值所需時(shí)間?！?.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)2.峰值時(shí)間tp可見(jiàn)，峰值時(shí)間等于有阻尼振蕩周期的一半。一定，n越大，tp越??；n一定，越大，tp

越大?！?.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)3.最大超調(diào)量

Mp定義：響應(yīng)曲線(xiàn)的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。§3.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)3.

最大超調(diào)量Mp顯然，Mp僅與阻尼比有關(guān)。最大超調(diào)量直接說(shuō)明了系統(tǒng)的阻尼特性。越大，Mp越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好，當(dāng)=0.4~0.8時(shí)，可以求得相應(yīng)的Mp

=25.4%~1.5%。通常用百分?jǐn)?shù)表示:§3.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100二階系統(tǒng)Mp—

圖§3.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)4.調(diào)整時(shí)間ts對(duì)于欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線(xiàn)為一對(duì)對(duì)稱(chēng)于響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量1的指數(shù)曲線(xiàn)：響應(yīng)曲線(xiàn)到達(dá)并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的2%或5%）內(nèi)所需的時(shí)間。單位階躍響應(yīng)：

當(dāng)包絡(luò)線(xiàn)進(jìn)入允許誤差范圍之內(nèi)時(shí)，階躍響應(yīng)曲線(xiàn)必然也處于允許誤差范圍內(nèi)?！?.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)當(dāng)一定時(shí)，n越大，ts越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。當(dāng)0<<0.7時(shí)，可得：由上式求得的ts包通常偏保守。因此利用：§3.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)t5.振蕩次數(shù)

N

N僅與有關(guān)。與Mp一樣直接說(shuō)明了系統(tǒng)的阻尼特性。越大，N越小，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。x0(t)ts±⊿%響應(yīng)曲線(xiàn)到達(dá)并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的2%或5%）內(nèi)所需的時(shí)間。實(shí)測(cè)時(shí)，可按響應(yīng)曲線(xiàn)穿越穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半計(jì)數(shù)?！?.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)

二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能由n和決定。結(jié)論

通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來(lái)確定。一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調(diào)整n以獲得合適的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間。

一定，n越大，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好，

tr、tp、ts越小。

增加可以降低振蕩，減小超調(diào)量Mp和振蕩次數(shù)N，但系統(tǒng)快速性降低，tr、tp、ts增加；

tr、tp、ts反映系統(tǒng)響應(yīng)快速性Mp、N

反映系統(tǒng)響應(yīng)平穩(wěn)性§3.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)一、控制系統(tǒng)的偏差與誤差考慮圖示反饋控制系統(tǒng)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)

偏差信號(hào)(s)(s)=Xi(s)－B(s)＝Xi(s)－H(s)Xo(s)偏差信號(hào)(s)定義為系統(tǒng)輸入Xi(s)與系統(tǒng)主反饋信號(hào)B(s)之差，即：§3.5誤差分析和計(jì)算

誤差信號(hào)E(s)

誤差信號(hào)E(s)定義為系統(tǒng)期望輸出Xor(s)與系統(tǒng)實(shí)際輸出Xo(s)之差，即：E(s)=Xor(s)－Xo(s)

控制系統(tǒng)的期望輸出Xor(s)為偏差信號(hào)(s)＝0時(shí)的實(shí)際輸出值，即此時(shí)控制系統(tǒng)無(wú)控制作用，實(shí)際輸出等于期望輸出：

Xo(s)＝Xor(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)§3.5誤差分析與計(jì)算

偏差信號(hào)(s)與誤差信號(hào)E(s)的關(guān)系Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)H(s)§3.5誤差分析與計(jì)算二、穩(wěn)態(tài)誤差及其計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)的期望輸出與實(shí)際輸出在穩(wěn)定狀態(tài)（t）下的差值，即誤差信號(hào)e(t)的穩(wěn)態(tài)分量：

當(dāng)sE(s)的極點(diǎn)均位于s平面左半平面（包括坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)，根據(jù)拉氏變換的終值定理，有：§3.5誤差分析與計(jì)算

顯然，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差決定于輸入Xi(s)和開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)，即決定于輸入信號(hào)的性質(zhì)及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。偏差傳遞函數(shù)

G(s)H(s)—G(s)H(s)—1§3.5誤差分析與計(jì)算例1某系統(tǒng)方框圖如圖所示，當(dāng)系統(tǒng)輸入的控制信號(hào)為：

求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

§3.5誤差分析與計(jì)算三、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)1.穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的概念（1）穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)單位階躍輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。令：對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，§3.5誤差分析與計(jì)算（2）穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)單位速度輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。其中，對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，易知：§3.5誤差分析與計(jì)算（3）穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)單位加速度輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)。其中，結(jié)論：當(dāng)輸入信號(hào)形式一定后，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。

對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，易知：§3.5誤差分析與計(jì)算2.系統(tǒng)類(lèi)型將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)寫(xiě)成如下形式：

根據(jù)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的多少來(lái)定義系統(tǒng)的類(lèi)型，當(dāng)r=0,1,2,…時(shí)，系統(tǒng)分別稱(chēng)為0型、I型、Ⅱ型、……系統(tǒng)。0型系統(tǒng)：I型系統(tǒng)：Ⅱ型系統(tǒng)：§3.5誤差分析與計(jì)算3.

不同類(lèi)型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差(1)0型系統(tǒng)單位負(fù)反饋0型系統(tǒng)只能跟蹤階躍信號(hào)，且有穩(wěn)態(tài)誤差?！?.5誤差分析與計(jì)算(2)I型系統(tǒng)單位負(fù)反饋I型系統(tǒng)準(zhǔn)確地能跟蹤階躍信號(hào)，也能跟蹤速度信號(hào)，但有穩(wěn)態(tài)誤差。不能跟蹤加速度信號(hào)?！?.5誤差分析與計(jì)算(3)Ⅱ型系統(tǒng)單位負(fù)反饋Ⅱ型系統(tǒng)準(zhǔn)確地能跟蹤階躍信號(hào)、速度信號(hào)，也能跟蹤加速度信號(hào)，但有穩(wěn)態(tài)誤差?！?.5誤差分析與計(jì)算表1、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差00K2II型00K1I型00K00型單位加速度輸入單位速度輸入單位階躍輸入KaKvKp穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)類(lèi)型注意k0、k1、k2為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益?！?.5誤差分析與計(jì)算幾點(diǎn)結(jié)論不同類(lèi)型的輸入信號(hào)作用于同一控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差不同；相同的輸入信號(hào)作用于不同類(lèi)型的控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差也不同。

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與其開(kāi)環(huán)增益有關(guān)，開(kāi)環(huán)增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小。在階躍輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為定值，常稱(chēng)為有差系統(tǒng)；I型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，常稱(chēng)為一階無(wú)差系統(tǒng)；在速度輸入作用下，II型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，常稱(chēng)為二階無(wú)差系統(tǒng)?！?.5誤差分析與計(jì)算習(xí)慣上，稱(chēng)輸出量為“位置”，輸出量的變化率為“速度”。在此位置和速度是廣義的概念。盡管將階躍輸入、速度輸入及加速度輸入下系統(tǒng)的誤差分別稱(chēng)之為位置誤差、速度誤差和加速度誤差，但對(duì)速度誤差、加速度誤差而言并不是指輸出與輸入的速度、加速度不同，而是指輸出與輸入之間存在一確定的穩(wěn)態(tài)位置偏差。系統(tǒng)在多個(gè)信號(hào)共同作用下總的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）等于多個(gè)信號(hào)單獨(dú)作用下的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）之和。如果輸入量非單位量時(shí)，其穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）按比例增加。如：總的穩(wěn)態(tài)偏差：§3.5誤差分析與計(jì)算(a)(b)解：如果系統(tǒng)的輸入是階躍函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)三種輸入的組合，即：可根據(jù)線(xiàn)性疊加原理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：(1)系統(tǒng)(a)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)表達(dá)式為：§3.5誤差分析與計(jì)算(2)系統(tǒng)(b)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)表達(dá)式為：§3.5誤差分析與計(jì)算§3.5誤差分析與計(jì)算表1、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差00K2II型00K1I型00K00型單位加速度輸入單位速度輸入單位階躍輸入KaKvKp穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)類(lèi)型注意k0、k1、k2為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益?！?.5誤差分析與計(jì)算四、擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)總誤差擾動(dòng)輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)1.控制輸入作用下，系統(tǒng)的誤差：2.擾動(dòng)輸入作用下，系統(tǒng)的誤差：3.系統(tǒng)的總誤差：§3.5誤差分析與計(jì)算1.穩(wěn)定性定義一、穩(wěn)定性的概念自動(dòng)控制系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中，總會(huì)受到外界或內(nèi)部擾動(dòng)（例如負(fù)載的變化、電壓的波動(dòng)、參數(shù)的變化等），系統(tǒng)就會(huì)偏離原有的平衡工作狀態(tài)，其輸出量也會(huì)偏離原穩(wěn)態(tài)值。

穩(wěn)定性就是指系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，能否在有限的時(shí)間內(nèi)以足夠的精度由擾動(dòng)產(chǎn)生的偏差狀態(tài)恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)或達(dá)到一個(gè)新的平衡狀態(tài)的能力?！?.6穩(wěn)定性分析

例如：小球系統(tǒng)如圖a)、b)、c)（2）當(dāng)擾動(dòng)消失后，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)偏離工作狀態(tài)越來(lái)越遠(yuǎn)，不能夠恢復(fù)到平衡狀態(tài)，則稱(chēng)系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

不穩(wěn)定系統(tǒng)無(wú)法正常工作，是不可取的系統(tǒng)。（1）當(dāng)擾動(dòng)消失后，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)能夠以足夠的精度恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)或達(dá)到一個(gè)新的平衡狀態(tài)，則稱(chēng)系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。§3.6穩(wěn)定性分析（3）臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。處于臨界穩(wěn)定或接近臨界穩(wěn)定狀態(tài)的穩(wěn)定系統(tǒng)，由于分析時(shí)依賴(lài)的模型通常是簡(jiǎn)化或線(xiàn)性化的，或者由于實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)的時(shí)變特性等因素的影響，在實(shí)際中可能成為不穩(wěn)定的系統(tǒng)，因此，系統(tǒng)必須具備一定的穩(wěn)定裕量，以保證其在實(shí)際工作時(shí)處于穩(wěn)定狀態(tài)。

經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定?！?.6穩(wěn)定性分析二、系統(tǒng)穩(wěn)定的條件

設(shè)線(xiàn)性系統(tǒng)具有一個(gè)平衡點(diǎn)。對(duì)該平衡點(diǎn)，當(dāng)：xi(t)=0時(shí)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)x0(t)=0。當(dāng)干擾信號(hào)n(t)作用于系統(tǒng)時(shí)，其輸出信號(hào)將偏離工作點(diǎn)。如果取干擾信號(hào)消失瞬間為t=0，因此，系統(tǒng)的輸出x0(t)即為控制系統(tǒng)在初始偏差影響下的過(guò)渡過(guò)程。若系統(tǒng)穩(wěn)定，則輸出信號(hào)x0(t)就會(huì)隨著時(shí)間的推移，x0(t)→0，即：系統(tǒng)恢復(fù)到原來(lái)平衡工作點(diǎn)；若系統(tǒng)不穩(wěn)定，則輸出信號(hào)x0(t)≠0，系統(tǒng)不能恢復(fù)到原來(lái)平衡點(diǎn)。穩(wěn)定性可由實(shí)驗(yàn)確定，也可用描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——如微分方程或傳遞函數(shù)進(jìn)行分析。§3.6穩(wěn)定性分析

思路

根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義，可用脈沖信號(hào)作為干擾輸入信號(hào)，考察系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。顯然，系統(tǒng)的響應(yīng)決定于系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)——系統(tǒng)穩(wěn)定性決定于系統(tǒng)的固有特性?！?.6穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定的條件

考慮系統(tǒng)其特征方程為：1.對(duì)于特征方程的單實(shí)根-pi

，相應(yīng)瞬態(tài)輸出為：§3.6穩(wěn)定性分析當(dāng)-pi<0時(shí)，該輸出分量指數(shù)單調(diào)衰減。當(dāng)-pi>0時(shí)，該輸出分量指數(shù)單調(diào)遞增。當(dāng)-pi=0時(shí)，該輸出分量為常數(shù)。1.對(duì)于特征方程的單實(shí)根-pi

，當(dāng)-<0時(shí)，該分量為指數(shù)衰減的振蕩過(guò)程。當(dāng)->0時(shí)，該分量為指數(shù)發(fā)散的振蕩過(guò)程。當(dāng)-=0時(shí)，該分量為等幅振蕩。2.對(duì)于特征方程有復(fù)根，相應(yīng)瞬態(tài)輸出為：§3.6穩(wěn)定性分析3.對(duì)于r

重實(shí)根-pr，相應(yīng)的時(shí)域分量為：當(dāng)

-pr<0時(shí)，該輸出分量指數(shù)單調(diào)衰減。當(dāng)-pr>

0時(shí)，該輸出分量指數(shù)單調(diào)遞增。當(dāng)-pr=0時(shí)，該輸出分量多項(xiàng)式遞增。綜上所述，不論系統(tǒng)特征方程的特征根為何種形式，線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：所有特征根均為負(fù)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)數(shù)部分；即：所有特征根均在復(fù)數(shù)平面——[s]平面的左半平面。穩(wěn)定性與零點(diǎn)無(wú)關(guān)?！?.6穩(wěn)定性分析三、勞斯（Routh）穩(wěn)定性判據(jù)1.系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)的特征方程為：顯然，要判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，如果根據(jù)上述定義及分析方法，則需把系統(tǒng)的特征方程的根求解出來(lái)，再根據(jù)根的情況來(lái)進(jìn)行判斷。如果不直接求解特征方程，就能判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，那么在工程上就有現(xiàn)實(shí)意義。為此形成了一系列穩(wěn)定性判據(jù)，其中最重要的是（1884年）勞斯(Routh)判據(jù)?！?.6穩(wěn)定性分析由根與系數(shù)的關(guān)系可知：若使全部特征根-pi均具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)必須滿(mǎn)足以下條件：需指出的是：若特征方程不滿(mǎn)足上述條件，系統(tǒng)一定不穩(wěn)定;若特征方程滿(mǎn)足上述條件時(shí)，系統(tǒng)仍然可能是不穩(wěn)定的，即：滿(mǎn)足上述條件是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件?！?.6穩(wěn)定性分析2.系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件——?jiǎng)谒狗€(wěn)定判據(jù)

其中，ai>0(i=0,1,2,…,n)，且特征方程也不缺項(xiàng)，即滿(mǎn)足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。

考慮系統(tǒng)的特征方程：

勞斯穩(wěn)定判據(jù)：勞斯陣列中第一列所有元素的符號(hào)均為正號(hào)。如果第一列中各數(shù)a0、a1、b1、c1、……的符號(hào)相同，則表示系統(tǒng)具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)等于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號(hào)不同，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。

§3.6穩(wěn)定性分析勞斯陣列:sn

a0 a2 a4 a6 …sn-1

a1 a3 a5 a7 …sn-2

b1 b2 b3 b4 …sn-3

c1

c2

c3

c4 …sn-4

d1

d2

d3

d4 …s2

e1

e2s1

f1s0

g1勞斯陣列第1列元素如果第一列中各數(shù)a0、a1、b1、c1、…的符號(hào)相同，則表示系統(tǒng)具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)等于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號(hào)不同，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。

§3.6穩(wěn)定性分析sn

a0 a2 a4 a6 …sn-1

a1 a3 a5 a7 …sn-2

b1 b2 b3 b4 …sn-3

c1

c2

c3

c4 …sn-4

d1

d2

d3

d4 …s2

e1

e2s1

f1s0

g1………………每一行計(jì)算到元素到0為止?！?.6穩(wěn)定性分析試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由方程系數(shù)可知，ai>0，滿(mǎn)足穩(wěn)定的必要條件。列出勞斯陣列

例設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程為：由由勞斯陣列的第一列可看出：第一列元素的符號(hào)不全為正，且從+1→-2→+3，改變符號(hào)兩次，說(shuō)明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部的根，控制系統(tǒng)不穩(wěn)定?！?.6穩(wěn)定性分析（1）二階系統(tǒng)3.低階系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件§3.6穩(wěn)定性分析（2）三階系統(tǒng)§3.6穩(wěn)定性分析例：已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)能穩(wěn)定工作時(shí)開(kāi)環(huán)增益K的取值范圍。解：控制系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，故閉環(huán)傳遞函數(shù)為：§3.6穩(wěn)定性分析4.勞斯陣列的特殊情況勞斯陣列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各項(xiàng)不等于零或不全為零。處理方法：用一個(gè)很小的正數(shù)

代替該行第一列的零，并據(jù)此計(jì)算出陣列中的其余各項(xiàng)。然后令

0，按前述方法進(jìn)行判別。

如果零(

)上、下兩項(xiàng)的符號(hào)相同，則系統(tǒng)存在一對(duì)虛根，處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果零(

)上下兩項(xiàng)的符號(hào)不同，則表明有一個(gè)符號(hào)變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定?！?.6穩(wěn)定性分析設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程為：例1：試判別穩(wěn)定性。由于第一列中各元素的符號(hào)不全為正，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。P117，3—15，4）解：列勞斯陣列§3.6穩(wěn)定性分析１１０２２0設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程為：例2：試判別穩(wěn)定性。系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。由于第一列中各元素除外均為正，故沒(méi)有正實(shí)部根，s1行為零，說(shuō)明有虛根存在?！?.6穩(wěn)定性分析勞斯陣列表某一行全為零勞斯陣列出現(xiàn)全零行，表明系統(tǒng)在s平面有對(duì)稱(chēng)分布的根，即存在大小相等符號(hào)相反的實(shí)根和（或）一對(duì)共軛虛根和（或）對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的兩對(duì)共軛復(fù)根；或存在更多這種大