控制工程課件第3章時域分析法(新)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析法§3.1

典型輸入信號§3.2一階系統(tǒng)的時間響應§3.3二階系統(tǒng)的時間響應§3.4二階系統(tǒng)的性能指標§3.5誤差分析和計算§3.6穩(wěn)定性分析

本章主要內(nèi)容重點：二階系統(tǒng)的時域響應及其性能指標。難點：二階系統(tǒng)時域響應的數(shù)學表達式?！?.1典型輸入信號

在時間域進行分析時，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入信號建立分析比較的基礎。這些信號稱為控制系統(tǒng)的典型輸入信號。

時域分析的目的

在時間域，研究在一定的輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出隨時間變化的情況，以分析和研究系統(tǒng)的控制性能。優(yōu)點：直觀、簡便

一、典型輸入信號§3.1典型輸入信號二、對典型輸入信號的要求能夠反映系統(tǒng)工作在最不利的情形；形式簡單，便于解析分析；實際中可以實現(xiàn)或近似實現(xiàn)。

常用的典型輸入信號的數(shù)學表達Asint

正弦信號

1(t)，t=0單位脈沖信號

單位加速度信號

t，

t0單位速度(斜坡)信號

1(t)，t0單位階躍信號

復數(shù)域表達式

時域表達式

名

稱

§3.1典型輸入信號§3.2

一階系統(tǒng)的時間響應一階系統(tǒng)：一、一階系統(tǒng)的單位階躍響應凡是能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)。典型形式：輸入信號：輸出：極點（特征根）：1斜率=1/T0xo(t)t1T0.632A63.2%B2T86.5%3T95%4T98.2%5T99.3%99.8%6T§3.2一階系統(tǒng)的時間響應1T4T10xo(t)t63.2%98.2%☆一階系統(tǒng)單位階躍響應的特點（1）響應分為兩部分

（2）無穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)響應瞬態(tài)響應表示t時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。穩(wěn)態(tài)響應表示系統(tǒng)輸出量從初態(tài)到終態(tài)的變化過程（動態(tài)/過渡過程）

瞬態(tài)響應§3.2一階系統(tǒng)的時間響應（3）xo(0)=0，xo()=1，且無振蕩。1T4T10xo(t)t63.2%98.2%☆一階系統(tǒng)單位階躍響應的特點（4）xo(T)=1-e-1=0.632

xo(3T)=1-e-3=0.95

xo(4T)=1-e-4=0.982通常工程中當響應曲線達到并保持在穩(wěn)態(tài)值的95%～98%時，認為系統(tǒng)瞬態(tài)（動態(tài)）響應過程基本結(jié)束。從而慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時間為3T~4T。時間常數(shù)T反映了系統(tǒng)響應的快慢?！?.2一階系統(tǒng)的時間響應二、一階系統(tǒng)的單位速度響應§3.2一階系統(tǒng)的時間響應☆一階系統(tǒng)單位速度響應的特點（1）

經(jīng)過足夠長的時間(穩(wěn)態(tài)時，如：t4T)，輸出增長速率近似與輸入相同，此時輸出為：t–T，即輸出相對于輸入滯后時間T；

（2）系統(tǒng)響應誤差為：§3.2一階系統(tǒng)的時間響應三、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應0§3.2一階系統(tǒng)的時間響應☆一階系統(tǒng)單位脈沖響應的特點

瞬態(tài)響應：(1/T)e–t/T；穩(wěn)態(tài)響應：0；

xo(0)=1/T,隨時間的推移，xo(t)指數(shù)衰減；對于實際系統(tǒng)，通常應用具有較小脈沖寬

度（脈沖寬度小于0.1T）和有限幅值的脈

沖代替理想脈沖信號。

§3.2一階系統(tǒng)的時間響應一階系統(tǒng)的時間響應1.單位階躍響應2.單位速度響應3.單位脈沖響應注意觀察輸入信號及相應輸出之間的聯(lián)系！§3.2一階系統(tǒng)的時間響應線性定常系統(tǒng)時間響應的性質(zhì)

系統(tǒng)時域響應通常由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量共同組成，前者反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，后者反映系統(tǒng)的動態(tài)特性。

注意到：即：系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數(shù)。系統(tǒng)對輸入信號積分的響應等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分，其積分常數(shù)由初始條件確定。這種輸入－輸出間的積分、微分性質(zhì)對任何線性定常系統(tǒng)均成立?！?.2一階系統(tǒng)的時間響應例：溫度計的傳遞函數(shù)為,現(xiàn)在用該溫度計測量一容器內(nèi)水的溫度，發(fā)現(xiàn)需要1min的時間才能指示出實際水溫的98%的數(shù)值，求此溫度計的時間常數(shù)T。如果給容器加熱，使水溫以100C/min的溫度變化，此溫度計的穩(wěn)態(tài)指示誤差是多少？解：（1）時間常數(shù)T近似解法：對于一階系統(tǒng)，當t4T時，溫度可升高實際溫度的98%，即：4T=1min（2）穩(wěn)態(tài)誤差此時，解：（1）時間常數(shù)T精確解法：（2）穩(wěn)態(tài)誤差此時，例：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：試求系統(tǒng)的的單位階躍響應和單位脈沖響應。解：（1）系統(tǒng)單位階躍輸入時，（2）當單位脈沖輸入時，§3.3二階系統(tǒng)的時間響應二階系統(tǒng)：其中：T為時間常數(shù)，也稱為無阻尼自由振蕩周期。

稱為阻尼比；n＝1/T

為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。一、二階系統(tǒng)的特征方程：極點（特征根）：（凡是能夠用二階微分方程描述的系統(tǒng)）1.欠阻尼二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）：

0<<1具有一對共軛復數(shù)極點：2.臨界阻尼二階系統(tǒng)：

＝1具有兩個相等的負實數(shù)極點：3.過阻尼二階系統(tǒng)：

>1具有兩個不相等的負實數(shù)極點：§3.3二階系統(tǒng)的時間響應4.零阻尼二階系統(tǒng)：＝0具有一對共軛虛極點：5.負阻尼二階系統(tǒng)：<0極點實部大于零，響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定?！?.3二階系統(tǒng)的時間響應1.欠阻尼（0<<1）狀態(tài)輸入信號：單位階躍1(t),其拉氏變換為：由傳遞函數(shù)的定義可得到二階系統(tǒng)的輸出為：二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應§3.3二階系統(tǒng)的時間響應式中，欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應

§3.3二階系統(tǒng)的時間響應欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線=0.2=0.4=0.6=0.85101500.20.40.60.811.21.41.61.82xo(t)t§3.3二階系統(tǒng)的時間響應欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應的特點

xo()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差；

瞬態(tài)分量為振幅等于的正弦振蕩。

振蕩幅值隨

減小而加大。其振幅衰減的快慢由和n決定。阻尼振蕩頻率為：§3.3二階系統(tǒng)的時間響應10txo(t)

特點●單調(diào)上升，無振蕩、無超調(diào)；

●

xo()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差。2.臨界阻尼（

=1）狀態(tài)具有兩個相等的負實數(shù)極點：§3.3二階系統(tǒng)的時間響應3.過阻尼（>1）狀態(tài)§3.3二階系統(tǒng)的時間響應3.過阻尼（>1）狀態(tài)

特點單調(diào)上升，無振蕩，過渡過程時間長。

xo()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差。該分量影響大當大于1.25時，可忽略?！?.3二階系統(tǒng)的時間響應4.無阻尼（=0）狀態(tài)210txo(t)特點頻率為n的等幅振蕩?！?.3二階系統(tǒng)的時間響應幾點結(jié)論1.二階系統(tǒng)的阻尼比

決定了其振蕩特性：▲

<0時，階躍響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；▲

1時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長；▲0<<1時，有振蕩，

愈小，振蕩愈嚴重，但響應愈快?！?/p>

=0時，出現(xiàn)等幅振蕩。

工程應用中，除了有些場合不允許產(chǎn)生振蕩（如指示和記錄儀表系統(tǒng)等）外，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇0.4～0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過大的振蕩。

一定時，n越大，瞬態(tài)響應分量衰減越迅速，即系統(tǒng)能夠更快達到穩(wěn)態(tài)值，響應的快速性越好?！?.3二階系統(tǒng)的時間響應§3.3二階系統(tǒng)的時間響應三、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應輸入信號：二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)：二階系統(tǒng)的輸出為：

>1：§3.3二階系統(tǒng)的時間響應0txo(t)

>1

=1

<1

=1：

0<<1：

=0：

>1：四、二階系統(tǒng)的單位速度響應

>1：

=1：

0<<1：

=0：§3.3二階系統(tǒng)的時間響應高階系統(tǒng)的時間響應

高階系統(tǒng)的單位階躍響應

考慮系統(tǒng)：參考內(nèi)容假設系統(tǒng)極點互不相同。其中，a,aj為Xo(s)在極點s=0和s=-pj處的留數(shù)；bk、ck是與Xo(s)在極點處的留數(shù)有關的常數(shù)。通過拉氏反變換，其輸出為：

高階系統(tǒng)的單位階躍響應由一階和二階系統(tǒng)的響應函數(shù)疊加而成。為了在工程上處理方便，某些高階系統(tǒng)通過合理簡化，可以用低階系統(tǒng)近似。（1）由于系統(tǒng)極點的負實部離虛軸越遠，則該極點對應的項在瞬態(tài)響應中衰減得越快，反之則越慢，離虛軸越近的極點稱為主導極點。離虛軸遠的極點（5倍）可忽略。（2）偶極子可對消。§3.4二階系統(tǒng)的性能指標

一、控制系統(tǒng)的時域性能指標

控制系統(tǒng)的性能指標是評價系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)的定量指標，是定量分析的基礎。

系統(tǒng)的時域性能指標通常通過系統(tǒng)的單位階躍響應進行定義。常見的性能指標有：〇上升時間tr〇峰值時間tp〇調(diào)整時間ts〇最大超調(diào)量Mp〇振蕩次數(shù)N

1.上升時間tr

響應曲線從零時刻出發(fā)首次到達穩(wěn)態(tài)值所需時間。二、欠阻尼二階系統(tǒng)的時域性能指標的計算

根據(jù)上升時間的定義有：欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應為：對無超調(diào)系統(tǒng)，上升時間一般定義為響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。§3.4二階系統(tǒng)的性能指標顯然，一定時，n越大，tr越??；

n一定時，

越大，tr

越大。tx0(t)tr1§3.4二階系統(tǒng)的性能指標2.峰值時間tp響應曲線從零上升到第一個峰值所需時間?！?.4二階系統(tǒng)的性能指標2.峰值時間tp可見，峰值時間等于有阻尼振蕩周期的一半。一定，n越大，tp越小；n一定，越大，tp

越大。§3.4二階系統(tǒng)的性能指標3.最大超調(diào)量

Mp定義：響應曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差?！?.4二階系統(tǒng)的性能指標3.

最大超調(diào)量Mp顯然，Mp僅與阻尼比有關。最大超調(diào)量直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。越大，Mp越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好，當=0.4~0.8時，可以求得相應的Mp

=25.4%~1.5%。通常用百分數(shù)表示:§3.4二階系統(tǒng)的性能指標00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100二階系統(tǒng)Mp—

圖§3.4二階系統(tǒng)的性能指標4.調(diào)整時間ts對于欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應的包絡線為一對對稱于響應穩(wěn)態(tài)分量1的指數(shù)曲線：響應曲線到達并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的2%或5%）內(nèi)所需的時間。單位階躍響應：

當包絡線進入允許誤差范圍之內(nèi)時，階躍響應曲線必然也處于允許誤差范圍內(nèi)?！?.4二階系統(tǒng)的性能指標當一定時，n越大，ts越小，系統(tǒng)響應越快。當0<<0.7時，可得：由上式求得的ts包通常偏保守。因此利用：§3.4二階系統(tǒng)的性能指標t5.振蕩次數(shù)

N

N僅與有關。與Mp一樣直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。越大，N越小，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。x0(t)ts±⊿%響應曲線到達并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的2%或5%）內(nèi)所需的時間。實測時，可按響應曲線穿越穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半計數(shù)?！?.4二階系統(tǒng)的性能指標

二階系統(tǒng)的動態(tài)性能由n和決定。結(jié)論

通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來確定。一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調(diào)整n以獲得合適的瞬態(tài)響應時間。

一定，n越大，系統(tǒng)響應快速性越好，

tr、tp、ts越小。

增加可以降低振蕩，減小超調(diào)量Mp和振蕩次數(shù)N，但系統(tǒng)快速性降低，tr、tp、ts增加；

tr、tp、ts反映系統(tǒng)響應快速性Mp、N

反映系統(tǒng)響應平穩(wěn)性§3.4二階系統(tǒng)的性能指標一、控制系統(tǒng)的偏差與誤差考慮圖示反饋控制系統(tǒng)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)

偏差信號(s)(s)=Xi(s)－B(s)＝Xi(s)－H(s)Xo(s)偏差信號(s)定義為系統(tǒng)輸入Xi(s)與系統(tǒng)主反饋信號B(s)之差，即：§3.5誤差分析和計算

誤差信號E(s)

誤差信號E(s)定義為系統(tǒng)期望輸出Xor(s)與系統(tǒng)實際輸出Xo(s)之差，即：E(s)=Xor(s)－Xo(s)

控制系統(tǒng)的期望輸出Xor(s)為偏差信號(s)＝0時的實際輸出值，即此時控制系統(tǒng)無控制作用，實際輸出等于期望輸出：

Xo(s)＝Xor(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)§3.5誤差分析與計算

偏差信號(s)與誤差信號E(s)的關系Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)H(s)§3.5誤差分析與計算二、穩(wěn)態(tài)誤差及其計算穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)的期望輸出與實際輸出在穩(wěn)定狀態(tài)（t）下的差值，即誤差信號e(t)的穩(wěn)態(tài)分量：

當sE(s)的極點均位于s平面左半平面（包括坐標原點）時，根據(jù)拉氏變換的終值定理，有：§3.5誤差分析與計算

顯然，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差決定于輸入Xi(s)和開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)，即決定于輸入信號的性質(zhì)及系統(tǒng)的結(jié)構和參數(shù)。偏差傳遞函數(shù)

G(s)H(s)—G(s)H(s)—1§3.5誤差分析與計算例1某系統(tǒng)方框圖如圖所示，當系統(tǒng)輸入的控制信號為：

求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

§3.5誤差分析與計算三、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)1.穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的概念（1）穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)單位階躍輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)稱為穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。令：對于單位反饋系統(tǒng)，§3.5誤差分析與計算（2）穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)單位速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差稱為穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。其中，對于單位反饋系統(tǒng)，易知：§3.5誤差分析與計算（3）穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)單位加速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差稱為穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)。其中，結(jié)論：當輸入信號形式一定后，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。

對于單位反饋系統(tǒng)，易知：§3.5誤差分析與計算2.系統(tǒng)類型將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下形式：

根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的多少來定義系統(tǒng)的類型，當r=0,1,2,…時，系統(tǒng)分別稱為0型、I型、Ⅱ型、……系統(tǒng)。0型系統(tǒng)：I型系統(tǒng)：Ⅱ型系統(tǒng)：§3.5誤差分析與計算3.

不同類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差(1)0型系統(tǒng)單位負反饋0型系統(tǒng)只能跟蹤階躍信號，且有穩(wěn)態(tài)誤差。§3.5誤差分析與計算(2)I型系統(tǒng)單位負反饋I型系統(tǒng)準確地能跟蹤階躍信號，也能跟蹤速度信號，但有穩(wěn)態(tài)誤差。不能跟蹤加速度信號。§3.5誤差分析與計算(3)Ⅱ型系統(tǒng)單位負反饋Ⅱ型系統(tǒng)準確地能跟蹤階躍信號、速度信號，也能跟蹤加速度信號，但有穩(wěn)態(tài)誤差?！?.5誤差分析與計算表1、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差00K2II型00K1I型00K00型單位加速度輸入單位速度輸入單位階躍輸入KaKvKp穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)類型注意k0、k1、k2為系統(tǒng)的開環(huán)增益?！?.5誤差分析與計算幾點結(jié)論不同類型的輸入信號作用于同一控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差不同；相同的輸入信號作用于不同類型的控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差也不同。

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與其開環(huán)增益有關，開環(huán)增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小。在階躍輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為定值，常稱為有差系統(tǒng)；I型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，常稱為一階無差系統(tǒng)；在速度輸入作用下，II型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，常稱為二階無差系統(tǒng)?！?.5誤差分析與計算習慣上，稱輸出量為“位置”，輸出量的變化率為“速度”。在此位置和速度是廣義的概念。盡管將階躍輸入、速度輸入及加速度輸入下系統(tǒng)的誤差分別稱之為位置誤差、速度誤差和加速度誤差，但對速度誤差、加速度誤差而言并不是指輸出與輸入的速度、加速度不同，而是指輸出與輸入之間存在一確定的穩(wěn)態(tài)位置偏差。系統(tǒng)在多個信號共同作用下總的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）等于多個信號單獨作用下的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）之和。如果輸入量非單位量時，其穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）按比例增加。如：總的穩(wěn)態(tài)偏差：§3.5誤差分析與計算(a)(b)解：如果系統(tǒng)的輸入是階躍函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)三種輸入的組合，即：可根據(jù)線性疊加原理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：(1)系統(tǒng)(a)的開環(huán)傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表達式為：§3.5誤差分析與計算(2)系統(tǒng)(b)的開環(huán)傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表達式為：§3.5誤差分析與計算§3.5誤差分析與計算表1、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差00K2II型00K1I型00K00型單位加速度輸入單位速度輸入單位階躍輸入KaKvKp穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)類型注意k0、k1、k2為系統(tǒng)的開環(huán)增益?！?.5誤差分析與計算四、擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)總誤差擾動輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)1.控制輸入作用下，系統(tǒng)的誤差：2.擾動輸入作用下，系統(tǒng)的誤差：3.系統(tǒng)的總誤差：§3.5誤差分析與計算1.穩(wěn)定性定義一、穩(wěn)定性的概念自動控制系統(tǒng)在實際運行中，總會受到外界或內(nèi)部擾動（例如負載的變化、電壓的波動、參數(shù)的變化等），系統(tǒng)就會偏離原有的平衡工作狀態(tài)，其輸出量也會偏離原穩(wěn)態(tài)值。

穩(wěn)定性就是指系統(tǒng)在擾動消失后，能否在有限的時間內(nèi)以足夠的精度由擾動產(chǎn)生的偏差狀態(tài)恢復到原來的平衡狀態(tài)或達到一個新的平衡狀態(tài)的能力?！?.6穩(wěn)定性分析

例如：小球系統(tǒng)如圖a)、b)、c)（2）當擾動消失后，隨著時間的推移，系統(tǒng)偏離工作狀態(tài)越來越遠，不能夠恢復到平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

不穩(wěn)定系統(tǒng)無法正常工作，是不可取的系統(tǒng)。（1）當擾動消失后，隨著時間的推移，系統(tǒng)能夠以足夠的精度恢復到原來的平衡狀態(tài)或達到一個新的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)?！?.6穩(wěn)定性分析（3）臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。處于臨界穩(wěn)定或接近臨界穩(wěn)定狀態(tài)的穩(wěn)定系統(tǒng)，由于分析時依賴的模型通常是簡化或線性化的，或者由于實際系統(tǒng)參數(shù)的時變特性等因素的影響，在實際中可能成為不穩(wěn)定的系統(tǒng)，因此，系統(tǒng)必須具備一定的穩(wěn)定裕量，以保證其在實際工作時處于穩(wěn)定狀態(tài)。

經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定?！?.6穩(wěn)定性分析二、系統(tǒng)穩(wěn)定的條件

設線性系統(tǒng)具有一個平衡點。對該平衡點，當：xi(t)=0時，系統(tǒng)的輸出信號x0(t)=0。當干擾信號n(t)作用于系統(tǒng)時，其輸出信號將偏離工作點。如果取干擾信號消失瞬間為t=0，因此，系統(tǒng)的輸出x0(t)即為控制系統(tǒng)在初始偏差影響下的過渡過程。若系統(tǒng)穩(wěn)定，則輸出信號x0(t)就會隨著時間的推移，x0(t)→0，即：系統(tǒng)恢復到原來平衡工作點；若系統(tǒng)不穩(wěn)定，則輸出信號x0(t)≠0，系統(tǒng)不能恢復到原來平衡點。穩(wěn)定性可由實驗確定，也可用描述系統(tǒng)的數(shù)學模型——如微分方程或傳遞函數(shù)進行分析?！?.6穩(wěn)定性分析

思路

根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義，可用脈沖信號作為干擾輸入信號，考察系統(tǒng)的脈沖響應。顯然，系統(tǒng)的響應決定于系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點——系統(tǒng)穩(wěn)定性決定于系統(tǒng)的固有特性?！?.6穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定的條件

考慮系統(tǒng)其特征方程為：1.對于特征方程的單實根-pi

，相應瞬態(tài)輸出為：§3.6穩(wěn)定性分析當-pi<0時，該輸出分量指數(shù)單調(diào)衰減。當-pi>0時，該輸出分量指數(shù)單調(diào)遞增。當-pi=0時，該輸出分量為常數(shù)。1.對于特征方程的單實根-pi

，當-<0時，該分量為指數(shù)衰減的振蕩過程。當->0時，該分量為指數(shù)發(fā)散的振蕩過程。當-=0時，該分量為等幅振蕩。2.對于特征方程有復根，相應瞬態(tài)輸出為：§3.6穩(wěn)定性分析3.對于r

重實根-pr，相應的時域分量為：當

-pr<0時，該輸出分量指數(shù)單調(diào)衰減。當-pr>

0時，該輸出分量指數(shù)單調(diào)遞增。當-pr=0時，該輸出分量多項式遞增。綜上所述，不論系統(tǒng)特征方程的特征根為何種形式，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：所有特征根均為負數(shù)或具有負的實數(shù)部分；即：所有特征根均在復數(shù)平面——[s]平面的左半平面。穩(wěn)定性與零點無關。§3.6穩(wěn)定性分析三、勞斯（Routh）穩(wěn)定性判據(jù)1.系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)的特征方程為：顯然，要判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，如果根據(jù)上述定義及分析方法，則需把系統(tǒng)的特征方程的根求解出來，再根據(jù)根的情況來進行判斷。如果不直接求解特征方程，就能判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，那么在工程上就有現(xiàn)實意義。為此形成了一系列穩(wěn)定性判據(jù)，其中最重要的是（1884年）勞斯(Routh)判據(jù)?！?.6穩(wěn)定性分析由根與系數(shù)的關系可知：若使全部特征根-pi均具有負實部，系統(tǒng)必須滿足以下條件：需指出的是：若特征方程不滿足上述條件，系統(tǒng)一定不穩(wěn)定;若特征方程滿足上述條件時，系統(tǒng)仍然可能是不穩(wěn)定的，即：滿足上述條件是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件?！?.6穩(wěn)定性分析2.系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件——勞斯穩(wěn)定判據(jù)

其中，ai>0(i=0,1,2,…,n)，且特征方程也不缺項，即滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。

考慮系統(tǒng)的特征方程：

勞斯穩(wěn)定判據(jù)：勞斯陣列中第一列所有元素的符號均為正號。如果第一列中各數(shù)a0、a1、b1、c1、……的符號相同，則表示系統(tǒng)具有正實部特征根的個數(shù)等于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號不同，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實部特征根的個數(shù)。

§3.6穩(wěn)定性分析勞斯陣列:sn

a0 a2 a4 a6 …sn-1

a1 a3 a5 a7 …sn-2

b1 b2 b3 b4 …sn-3

c1

c2

c3

c4 …sn-4

d1

d2

d3

d4 …s2

e1

e2s1

f1s0

g1勞斯陣列第1列元素如果第一列中各數(shù)a0、a1、b1、c1、…的符號相同，則表示系統(tǒng)具有正實部特征根的個數(shù)等于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號不同，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實部特征根的個數(shù)。

§3.6穩(wěn)定性分析sn

a0 a2 a4 a6 …sn-1

a1 a3 a5 a7 …sn-2

b1 b2 b3 b4 …sn-3

c1

c2

c3

c4 …sn-4

d1

d2

d3

d4 …s2

e1

e2s1

f1s0

g1………………每一行計算到元素到0為止?！?.6穩(wěn)定性分析試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由方程系數(shù)可知，ai>0，滿足穩(wěn)定的必要條件。列出勞斯陣列

例設控制系統(tǒng)的特征方程為：由由勞斯陣列的第一列可看出：第一列元素的符號不全為正，且從+1→-2→+3，改變符號兩次，說明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個正實部的根，控制系統(tǒng)不穩(wěn)定?！?.6穩(wěn)定性分析（1）二階系統(tǒng)3.低階系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件§3.6穩(wěn)定性分析（2）三階系統(tǒng)§3.6穩(wěn)定性分析例：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)能穩(wěn)定工作時開環(huán)增益K的取值范圍。解：控制系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，故閉環(huán)傳遞函數(shù)為：§3.6穩(wěn)定性分析4.勞斯陣列的特殊情況勞斯陣列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各項不等于零或不全為零。處理方法：用一個很小的正數(shù)

代替該行第一列的零，并據(jù)此計算出陣列中的其余各項。然后令

0，按前述方法進行判別。

如果零(

)上、下兩項的符號相同，則系統(tǒng)存在一對虛根，處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果零(

)上下兩項的符號不同，則表明有一個符號變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定?！?.6穩(wěn)定性分析設控制系統(tǒng)的特征方程為：例1：試判別穩(wěn)定性。由于第一列中各元素的符號不全為正，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。P117，3—15，4）解：列勞斯陣列§3.6穩(wěn)定性分析１１０２２0設控制系統(tǒng)的特征方程為：例2：試判別穩(wěn)定性。系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。由于第一列中各元素除外均為正，故沒有正實部根，s1行為零，說明有虛根存在?！?.6穩(wěn)定性分析勞斯陣列表某一行全為零勞斯陣列出現(xiàn)全零行，表明系統(tǒng)在s平面有對稱分布的根，即存在大小相等符號相反的實根和（或）一對共軛虛根和（或）對稱于實軸的兩對共軛復根；或存在更多這種大