高中數(shù)學(xué) 合情推理與演繹證明二十一 新人教A選修12

人教A版高中數(shù)學(xué)選修1－2多思、創(chuàng)新、融合.合情推理沒(méi)有大膽的猜想，就作不出偉大的發(fā)現(xiàn)

－－牛頓.哥德巴赫猜想哥德巴赫（1690-1764），德國(guó)人，1742年6月7日寫(xiě)信給大數(shù)學(xué)家歐拉，提出一個(gè)猜想：每一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和（或每一個(gè)大于或等于6的偶數(shù)都可表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)的和）。同年6月30日歐拉回信表示他雖不能證明此猜想，但他相信這是完全正確的。這就是著名的哥德巴赫猜想（Goldbach‘sConjecture）“1+1＝2”.費(fèi)馬猜想﹝Fermat‘sconjecture﹞又稱費(fèi)馬大定理或費(fèi)馬問(wèn)題，是數(shù)論中最著名的世界難題之一。1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在巴歇校訂的希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的《算術(shù)》第II卷第8命題旁邊寫(xiě)道：“將一個(gè)立方數(shù)分為兩個(gè)立方數(shù)，一個(gè)四次冪分為兩個(gè)四次冪，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分為兩個(gè)同次的冪，這是不可能的。關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫(xiě)不下?！辟M(fèi)馬去世后，人們找不到這個(gè)猜想的證明，由此激發(fā)起許多數(shù)學(xué)家的興趣。歐拉、勒讓德、高斯、阿貝爾、狄利克雷、柯西等大數(shù)學(xué)家都試證過(guò)，但誰(shuí)也沒(méi)有得到普遍的證法。300多年以來(lái)，無(wú)數(shù)優(yōu)秀學(xué)者為證明這個(gè)猜想，付出了巨大精力，同時(shí)亦產(chǎn)生出不少重要的數(shù)學(xué)概念及分支。若用不定方程來(lái)表示，費(fèi)馬大定理即：當(dāng)n>2時(shí)，不定方程xn+yn=zn沒(méi)有xyz≠0的整數(shù)解。為了證明這個(gè)結(jié)果，只需證明方程x4+y4=z4，(x,y)=1和方程xp+yp=zp，(x,y)=(x,z)=(y,z)=1﹝p是一個(gè)奇素?cái)?shù)﹞均無(wú)xyz≠0的整數(shù)解.法國(guó)數(shù)學(xué)家Fermat在17世紀(jì)提出的數(shù)論領(lǐng)域猜想，之后的300多年中，人們既證明不了，又否定不了。1993年，英國(guó)數(shù)學(xué)家AndrewWiles攻破了費(fèi)馬猜想1852年英國(guó)倫敦大學(xué)教授狄·摩根的學(xué)生古特里向他提了一個(gè)問(wèn)題：在一切平面圖形上，是否總可以用四種顏色著色，就可以使每?jī)蓚€(gè)相鄰部分的顏色都不相同呢？假如說(shuō)，必要的顏色最大數(shù)是4，那又該如何證明呢？——這就是四色問(wèn)題的起源在100多年后的1976年被美國(guó)伊利諾大學(xué)的阿佩爾和哈肯二人在電子計(jì)算機(jī)的輔助下證明了四色定理.8世紀(jì)在哥尼斯堡城(今俄羅斯加里寧格勒)的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個(gè)島和河岸連結(jié)，如圖1所示。城中的居民經(jīng)常沿河過(guò)橋散步，于是提出了一個(gè)問(wèn)題：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過(guò)一次，最后仍回到起始地點(diǎn)。這就是七橋問(wèn)題，一個(gè)著名的圖論問(wèn)題.所有這些問(wèn)題，都與我們的數(shù)學(xué)存在聯(lián)系，它們的推理過(guò)程，都是從某些特征出發(fā)，推出該類(lèi)事務(wù)的全部對(duì)象都具有的特征推理，或者利用個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理成為：歸納推理(歸納)。部分整體個(gè)別一般.（1）所有的昆蟲(chóng)都是6條腿，竹節(jié)蟲(chóng)是昆蟲(chóng)，小前提所以竹節(jié)蟲(chóng)一定是6條腿（2）凡是長(zhǎng)羽毛的動(dòng)物都是鳥(niǎo)，企鵝是長(zhǎng)有羽毛的動(dòng)物，所以企鵝是鳥(niǎo)（3）凡是容易導(dǎo)電的物體都是導(dǎo)體，棉線不容易導(dǎo)電，所以棉線不是導(dǎo)體其實(shí)在數(shù)列中我們經(jīng)常用到歸納推理的方法歸納通項(xiàng)公式.例1.觀察下圖發(fā)現(xiàn)：1+3＝221+3+5＝321+3+5+7＝421+3+5+7+9＝52你能得出什么結(jié)論？1234567猜想：前n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和等于n的平方，即：1+3+5+7+...+(2n-1)=n2.練習(xí)1.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，且求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.當(dāng)然，歸納推理得出的結(jié)論，我們還需要對(duì)它們進(jìn)行嚴(yán)格定義上的證明，它為我們的研究提供了一種方向除了歸納，人們?cè)趧?chuàng)造活動(dòng)中，類(lèi)比思想也是一種很重要的思想.有生物嗎?.這種有兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征，由其中的已知對(duì)象特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理方法叫做類(lèi)比推理(類(lèi)比)Donotneglectanalogies，theymayleadtodiscovery.Analogy

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ofdiscovery－－－Polya“格物究理，非要究盡天下之物，但于一事上究盡，其他可以類(lèi)推”－－程頤“我珍惜類(lèi)比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師”－－開(kāi)普勒.例2.利用實(shí)數(shù)的加法和乘法的運(yùn)算性質(zhì)，列出它們的相似的運(yùn)算性質(zhì)。加法乘法計(jì)算實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)性質(zhì)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)ab=ba(ab)c=a(bc)解a+x=0=>x=-aax=1=>x=1/a(a≠0)單位元a+0=aa·1=a...ACBabcSS22＝S12+S22+S32a2=b2+c2.具體問(wèn)題觀察、聯(lián)想、比較、分析歸納、類(lèi)比猜想合情推理(plausiblereasoning).2.請(qǐng)你數(shù)一下上表中每一個(gè)多面體具有的頂點(diǎn)數(shù)（V）、棱數(shù)（E）、和面數(shù)（F），并把結(jié)果記入下表中，你會(huì)有驚奇的發(fā)現(xiàn)什么？.1.合情推理是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，科學(xué)發(fā)現(xiàn)的先導(dǎo)。促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，也促進(jìn)數(shù)學(xué)方法的研究，數(shù)學(xué)史上一些著名的發(fā)現(xiàn)，如歐拉公式的發(fā)現(xiàn)就得益于合情推理?？梢?jiàn)合情推理對(duì)數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展，起