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文檔簡介
等差數(shù)列的前n項和
教學目的:1.掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路.2.會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題教學重點:等差數(shù)列n項和公式的理解、推導及應教學難點:靈活應用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關問題復習引入:等差數(shù)列的定義:等差數(shù)列的通項公式:
幾種計算公差d的方法:
①②③數(shù)列的前n項和數(shù)列中,稱為數(shù)列的前n項和,記為.“小故事”:高斯是偉大的數(shù)學家,天文學家,高斯十歲時,有一次老師出了一道題目,老師說:“現(xiàn)在給大家出道題目:1+2+…100=?”過了兩分鐘,正當大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦樂乎時,高斯站起來回答說:1+2+3+…+100=5050教師問:“你是如何算出答案的?高斯回答說:因為1+100=101;2+99=101;…50+51=101,所以101×50=5050”這個故事告訴我們:(1)作為數(shù)學王子的高斯從小就善于觀察,敢于思考,所以他能從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西(2)該故事還告訴我們求等差數(shù)列前n項和的一種很重要的思想方法,這就是下面我們要介紹的“倒序相加”法如圖,一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放120支,這個V形架上共放著多少支鉛筆?這是一堆放鉛筆的V形架,這形同前面所接觸過的堆放鋼管的示意圖,看到此圖,大家都會很快捷地找到每一層的鉛筆數(shù)與層數(shù)的關系,而且可以用一個式子來表示這種關系,利用它便可以求出每一層的鉛筆數(shù).那么,這個V形架上共放著多少支鉛筆呢?這個問題又該如何解決呢?經(jīng)過分析,我們不難看出,這是一個等差數(shù)求和問題?這個問題,它也類似于剛才我們所遇到的“小故事”問題,它可以看成是求等差數(shù)列1,2,3,…,n,…的前120項的和.在上面的求解中,我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項、末項及項數(shù)n來表示,且任意的第k項與倒數(shù)第k項的和都等于首項與末項的和,這就啟發(fā)我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項的和.如果我們可歸納出一計算式,那么上述問題便可迎刃而解.等差數(shù)列的前n項和公式:例題講解:例1:一個堆放鉛筆的V型的最下面一層放一支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放120支,這個V形架上共放著多少支鉛筆?解:由題意可知,這個V形架上共放著120層鉛筆,且自下而上各層的鉛筆成等差數(shù)列,記為,其中,根據(jù)等差數(shù)列前n項和的公式,得答:V形架上共放著7260支鉛筆。例2:等差數(shù)列-10,-6,-2,2,…前多少項的和是54?解:設題中的等差數(shù)列為,前n項。則:由等差數(shù)列前n項求和公式可得:解之得:
∴等差數(shù)列-1
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