統(tǒng)計學原理(第二章)

第二章

統(tǒng)計數(shù)據(jù)的描述描述統(tǒng)計

描述統(tǒng)計是通過圖表或數(shù)學方法，對數(shù)據(jù)資料進行整理、分析，并對數(shù)據(jù)的分布狀態(tài)、數(shù)字特征和隨機變量之間關(guān)系進行估計和描述的方法

一、數(shù)據(jù)的計量尺度定類尺度定序尺度定距尺度定比尺度

二、數(shù)據(jù)的類型數(shù)據(jù)的類型變量及類型

第一節(jié)數(shù)據(jù)的計量和類型一、數(shù)據(jù)的計量尺度1.定類尺度：又稱為類別尺度或列名尺度，它是按照事物的某種屬性對其進行平行的分類。定類尺度是最粗略、計算層次最低的計量尺度。

數(shù)據(jù)的計量和類型性別種族運動項目定類尺度只能按照事物及其現(xiàn)象的某種屬性對其進行平行的分類或分組。例如車牌號、學生的學號、運動員號碼、身份證號碼、人員性別、企業(yè)類別等等。特征：（1）只能區(qū)分事物的類別，無法比較類別間大小，定類尺度只具有“=”和“≠”運算，“=”具有傳遞性。（2）對事物的區(qū)分必須符合窮盡和互斥的要求。（3）對定類尺度數(shù)據(jù)進行分析的統(tǒng)計量主要是頻數(shù)或者頻率，或是眾數(shù)和進行列聯(lián)分析。

一、數(shù)據(jù)的計量尺度2.定序尺度：又稱為順序尺度或有序水平，是對事物之間等級差或順序差別的一種測度。由其構(gòu)成的量表一般稱為順序量表。

數(shù)據(jù)的計量和類型定序尺度不僅可以將事物分成不同的類別，還可以確定這些類別的優(yōu)劣或順序，例如軍階、職稱、工資級別、產(chǎn)品質(zhì)量等級、受教育水平等。＞＞大學生中學生小學生特征：（1）不僅能區(qū)分事物的類型，而且能夠比較各類型間的優(yōu)劣和順序，不僅可運算“=”、“≠”，而且可以運算“＞”或“＜”。但不能測量出類別之間的準確差距，不能進行加減乘除的運算。。（2）對事物的區(qū)分同樣要求窮盡和互斥。（3）對定序尺度數(shù)據(jù)進行分析的統(tǒng)計量主要是頻數(shù)和累積頻數(shù)，或者頻率和累積頻率。

－≠－一、數(shù)據(jù)的計量尺度3.定距尺度：又稱為間隔尺度或間隔水平，是對事物類別或者次序之間間距進行的一種測度，由其構(gòu)成的量表一般稱為間隔量表或間距量表。

數(shù)據(jù)的計量和類型常見的用定距尺度來測度的有考試成績、各種心理測試的得分、某個地區(qū)的溫度等。天氣預(yù)報：南京：最高溫度3℃

蘇州：最高溫度6℃特征：（1）不僅能區(qū)分事物的類別、進行排序、比較大小，而且還可以精確地計算大小的差異，可以進行加減運算，但不可以進行乘除運算。（2）沒有絕對零點，即可以以任何一個0為起點，“0”不表示“沒有”或“不存在”。

兩地最高溫度相差3℃南京最高溫度較蘇州最高溫度低3℃蘇州最高溫度是南京最高溫度的2倍一、數(shù)據(jù)的計量尺度4.定比尺度：又稱為比例尺度或是比較水平，是對事物之間比值的一種測度，它是最高層次的測量，可用于參數(shù)和非參數(shù)統(tǒng)計推斷。它是與定距尺度屬于同一層次的一種計量尺度，但其功能比定距尺度更強一些。

數(shù)據(jù)的計量和類型在日常生活中，大多數(shù)情況下使用的都是定比尺度。例如，年齡、收入、某地區(qū)每年的失業(yè)人數(shù)、罪犯人數(shù)等。3000元

工資1500元工資甲乙二人工資之差：3000-1500=1500元特征：（1）除了能夠區(qū)分類別、排序、比較大小、求出大小差異外，還可以計算兩個測度值之間的比值，不僅可以進行定距尺度所能夠進行的所有運算，而且在此基礎(chǔ)上還增加了乘、除的數(shù)學運算功能。（2）具有絕對零點，“0”表示“沒有”或“不存在”。

二人工資之比：3000÷1500=2（倍）

四種計量尺度的比較：

在統(tǒng)計分析中，一般要求測量的層次越高越好。二、數(shù)據(jù)的類型1.數(shù)據(jù)的類型和分析方法

統(tǒng)計數(shù)據(jù)是采用某種計量尺度對數(shù)據(jù)進行計量的結(jié)果，采用不同的計量尺度會得到不同類型的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。根據(jù)以上四種計量尺度的結(jié)果可以將統(tǒng)計數(shù)據(jù)分成三種類型：

定類數(shù)據(jù)、定序數(shù)據(jù)、數(shù)值型數(shù)據(jù)

前兩者可以統(tǒng)稱為定性數(shù)據(jù)或品質(zhì)數(shù)據(jù)；后者成為定量數(shù)據(jù)或數(shù)量數(shù)據(jù)。

數(shù)據(jù)的計量和類型提問：以男女代號分別為0、1，那么這樣的數(shù)據(jù)到底是什么數(shù)據(jù)？

數(shù)據(jù)的計量和類型區(qū)別的法則是能不能做加減法二、數(shù)據(jù)的類型2.變量及其類型變量：是說明現(xiàn)象某種特征的概念。變量最基本的特點是在同一總體的不同單位上可取不同的數(shù)值，以及同一總體相同單位在不同時間上可取不同的數(shù)值，即變量的變異性，或差異性特征。變量的類型：定類變量、定序變量、數(shù)值型變量（離散變量、連續(xù)變量）

數(shù)據(jù)的計量和類型一、品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述二、數(shù)據(jù)的類型品質(zhì)數(shù)據(jù)的圖示三、品質(zhì)數(shù)據(jù)的分布特征描述

第二節(jié)品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述一、品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述1.頻數(shù)：是落在某一特定類別（或組）中的數(shù)據(jù)的個數(shù)。把各個類別及其相應(yīng)的頻數(shù)全部列出來則形成頻數(shù)分布。

頻率：把各組的頻數(shù)與全部頻數(shù)之和求得的比值，稱之為頻率。

品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述一、品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述2.比例：是一個總體（或樣本）中各個部分的數(shù)據(jù)與全部數(shù)據(jù)之比，通常用于反映總體（或樣本）的構(gòu)成。

品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述一、品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述3.百分比或百分數(shù)：是將比例乘以100%得到的數(shù)值。是將對比的技術(shù)劃為100而計算得到的，它表示每100個分母中擁有多少個分子。

品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述一、品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述4.比率：是總體中不同類別數(shù)值之間的比值。它可以是一個總體（或樣本）中個不同部分的數(shù)量對比?？梢砸?作為基數(shù)，也可以以100為基數(shù)。

品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述一、品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述5.累計頻數(shù)：是將各類別的頻數(shù)逐級累加得到的頻數(shù)。有向上累積和向下累積兩種方式。

品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述家庭人口頻數(shù)頻率向上累積向下累積頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率172.75%72.75%255100%23814.90%4517.65%24897.25%310541.18%15058.83%21082.3545421.18%20480.00%10541.17%53112.16%23592.16%5120%6207.84%255100%207.84%合計255100%—100%—二、品質(zhì)數(shù)據(jù)的圖示1.條形圖：是用寬度相同的條形的高度或長短來表示數(shù)據(jù)變動的圖形，橫置的稱為帶形圖，縱置的稱為柱形圖（直方圖）。

品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述柱形圖（直方圖）二、品質(zhì)數(shù)據(jù)的圖示2.餅圖：又稱圓圖，是以圓的整體面積代表被研究現(xiàn)象的總體，按各構(gòu)成部分占總體比重的大小把面積分割成若干扇形，用以表示現(xiàn)象的部分對總體的比例關(guān)系統(tǒng)計圖，主要表示結(jié)構(gòu)性問題。

品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述餅圖二、品質(zhì)數(shù)據(jù)的圖示3.折線圖：折線圖是用直線段將各數(shù)據(jù)點連接起來而組成的圖形，以折線方式顯示數(shù)據(jù)的變化趨勢。折線圖可以顯示隨時間（根據(jù)常用比例設(shè)置）而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢。

品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述折線圖品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述三、品質(zhì)數(shù)據(jù)的分布特征描述1.集中趨勢值①眾數(shù)：該變量出現(xiàn)次數(shù)最多的取值，記為Mo。例:對報名參加全國奧林匹克數(shù)學競賽的47名學生的出生省份進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果見下表：出生省份人數(shù)遼寧1北京7湖北10江蘇8浙江5安徽2上海8廣東6合計47②中位數(shù)：是一組數(shù)據(jù)排序后處于中間位置上的變量值，記為Me。

Me50%50%中位數(shù)n為奇數(shù)n為偶數(shù)例2.2在某城市中隨機抽取9個家庭，調(diào)查得到每個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)如下（單位：元）。要求計算人均月收入的中位數(shù)。7507801080850960200012501630解：將上面的數(shù)據(jù)按從小到大排列，如下：78085096010801250150016302000③四分位數(shù)：是一組數(shù)據(jù)排序后處于25%和75%位置上的變量值，記為QL和QU。

QLQMQU25%25%25%25%下四分位數(shù)(QL)位置=N+14上四分位數(shù)(QU)位置=3(N+1)4

(7個數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù):2321 3032 282526排序:21232526283032位置:1 23 4567N+1QL=237+1QL位置=4=4=2QU位置=3(N+1)43(7+1)4==6QU=30

(6個數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù):

232130 282526排序:212325262830位置:12 34 56QL=21+0.75(23-21)=22.5QL位置=N+14=6+14=1.75QU位置=3(N+1)43(6+1)4==5.25QU=28+0.25(30-28)

=28.5三、品質(zhì)數(shù)據(jù)的分布特征描述2.離散程度測度值①異眾比率：非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比例，計算公式為：其中，表示第i組的頻數(shù)，表示眾數(shù)組的頻數(shù)例2.1對報名參加全國奧林匹克數(shù)學競賽的47名學生的出生省份進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果見下表：出生省份人數(shù)遼寧1北京7湖北10江蘇8浙江5安徽2上海8廣東6合計47異眾比率為：三、品質(zhì)數(shù)據(jù)的分布特征描述2.離散程度測度值②極差，是變量觀測值中最大值與最小值只差，計算公式為：③四分位差：也稱為內(nèi)距或四分間距，是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)的差值計算公式為：一、數(shù)值數(shù)據(jù)的分組二、數(shù)值數(shù)據(jù)的圖示三、數(shù)值數(shù)據(jù)的分布特征

第三節(jié)數(shù)值數(shù)據(jù)的描述一、數(shù)值數(shù)據(jù)的分組

數(shù)值數(shù)據(jù)的描述為什么要進行數(shù)據(jù)的分組？品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述107108108110112112113114115117117117118118118119120120121122122122122123123123123124124124125125126126126127127128128129130131133133134134135139139139某電腦公司50名銷售代表某季度電腦銷售量按從小到大排序如下表：

數(shù)據(jù)過多，掩蓋數(shù)據(jù)特征，進行單變量分組得到下表：

50名銷售代表的某季度電腦銷售量分組表

銷售量頻數(shù)銷售量頻數(shù)銷售量頻數(shù)107111911282108212021291110112111301112212241311113112341332114112431342115112521351117312621371118312731392在數(shù)據(jù)較多的情況下，單變量分組會使數(shù)據(jù)較多，仍舊不利于觀察數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律。

因此我們采用組距分組一、數(shù)值數(shù)據(jù)的分組組距分組：是將全部變量依次劃分為若干小區(qū)間，并將這一區(qū)間的變量值作為一組的分組方法。在組距分組中，一個組的最小值成為下限，最大值成為上限

數(shù)值數(shù)據(jù)的描述數(shù)值數(shù)據(jù)的描述按電腦銷售量分組（個）頻數(shù)（人）頻率（%）105～11036110～115510115～120816120～1251428125～1301020130～135612135～14048合計5010050名銷售代表的某季度電腦銷售量分組表

一、數(shù)值數(shù)據(jù)的分組組距分組的步驟：第一步：確定組數(shù)組數(shù)不宜太多也不宜太少，一般5≤K≤15Sturges提出的經(jīng)驗公式確定組數(shù)：

如：K=1+lg50/lg2=7

數(shù)值數(shù)據(jù)的描述一、數(shù)值數(shù)據(jù)的分組第二步：確定各組的組距組距：是一個組的上限和下限差，可根據(jù)全部數(shù)據(jù)的最大值和最小值確定。

組距=（最大值－最小值）÷組數(shù)如：（139－107）÷7=4.6

因此組距可以取到5

數(shù)值數(shù)據(jù)的描述一、數(shù)值數(shù)據(jù)的分組第三步：根據(jù)分組整理成頻數(shù)分布表

數(shù)值數(shù)據(jù)的描述按電腦銷售量分組（個）頻數(shù)（人）頻率（%）105～11036110～115510115～120816120～1251428125～1301020130～135612135～14048合計5010050名銷售代表的某季度電腦銷售量分組表

①全距與組距②等距與異距③組限與組中值④開口組與閉口組⑤連續(xù)組距分組和不連續(xù)組距分組重疊組限“上限不在內(nèi)”原則關(guān)于組距式分組的幾個問題例：學生按成績分組（分）

（1）50—6060—70

70—8080—9090—100（2）60以下

60—6970—7980—89

90以上組距=80-70=10上限：80下限：70開口組閉口組組中值組中值組中值重疊組限值70歸于70—80組不連續(xù)組距式分組連續(xù)組距式分組

50—6060—8080—9090—100異距分組最典型的例子：對人口年齡分組0～6歲嬰幼兒組7～17歲少年兒童組18～59歲中青年組60歲以上老年組

二、數(shù)值數(shù)據(jù)的圖示1.直方圖：用矩形的寬度和高度來表示頻數(shù)分布的圖形。

數(shù)值數(shù)據(jù)的描述等距分組不等距分組數(shù)值數(shù)據(jù)的描述等距分組

如果是異距分組，則各組次數(shù)的數(shù)值受組距不同的影響。在研究各組次數(shù)的實際分布時，要消除組距不同的影響，要按次數(shù)密度來看實際的次數(shù)分布情況。例如：按照次數(shù)密度作的直方圖如下：二、數(shù)值數(shù)據(jù)的圖示2.折線圖：在直方圖的基礎(chǔ)上，把直方圖頂部的中點用直線連接起來形成的。

二、數(shù)值數(shù)據(jù)的圖示3.盒形圖：又稱箱線圖，構(gòu)成如下：

數(shù)值數(shù)據(jù)的描述中位數(shù)4681012QUQLX最大值X最小值最小值107最大值139中位數(shù)123下四分位數(shù)117.75上四分位數(shù)12810511011512012513013514050名工人日加工零件數(shù)的箱線圖二、數(shù)值數(shù)據(jù)的圖示4.莖葉圖：由頻數(shù)、莖和葉構(gòu)成，莖表示數(shù)值的整數(shù)部分，葉表示數(shù)值的小數(shù)部分。

數(shù)值數(shù)據(jù)的描述樹莖樹葉7880223477788890012222333344466777889013344579910111213數(shù)據(jù)個數(shù)3132410莖葉圖類似橫置的直方圖莖葉圖單位：萬個某車間工人月加工零件數(shù)的莖葉圖三、數(shù)值數(shù)據(jù)的分布特征描述1.集中趨勢測度值均值：均值是反映數(shù)據(jù)分布集中趨勢十分重要的數(shù)據(jù)，代表總體單位某一標志值的一般水平。例如：某市中學生每周平均上網(wǎng)時間為2.8小時。某農(nóng)貿(mào)市場2月份牛肉的平均價格為16元/千克。某地區(qū)“十五”期間經(jīng)濟平均增長率為9.6%

數(shù)值數(shù)據(jù)的描述常用的幾種平均數(shù)概念 計算公式 特點 優(yōu)點：①容易理解，便于計算②靈敏度高③穩(wěn)定性好④和

缺點：

①易受極值影響1.算術(shù)平均數(shù)（）標志總量與總體單位總數(shù)的比值 簡單：加權(quán)：算術(shù)平均數(shù)的計算簡單算術(shù)平均數(shù):

總體平均數(shù)

樣本平均數(shù)簡單均值

(算例)原始數(shù)據(jù): 10 5 9 13 6 8簡單均值

(算例)簡單均值

(算例)原始數(shù)據(jù): 10 5 9 13 6 8算術(shù)平均數(shù)的計算

加權(quán)算術(shù)平均數(shù):是對每個數(shù)據(jù)都根據(jù)其在全組中的重要程度賦予一定權(quán)重后得到的算術(shù)平均數(shù)。

計算公式:

（1）未分組數(shù)據(jù)

其中，

Fi表示權(quán)重。

例：根據(jù)某公司四個品牌數(shù)碼相機的銷售資料計算平均利潤率。

四個品牌數(shù)碼相機的利潤率和銷售額資料所以，四個品牌數(shù)碼相機的平均銷售利潤率為：

因為：

⑵分組的加權(quán)平均數(shù)其中，

Xi表示各組的變量值（組距式數(shù)列的組中值）；Fi表示各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)（即權(quán)數(shù)）。表2-1某車間50名工人日加工零件均值計算表按零件數(shù)分組組中值（Xi）頻數(shù)（Fi）XiFi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合計—506160.0例：根據(jù)表2-1中的數(shù)據(jù)，計算50名工人日加工零件數(shù)的均值常用的幾種平均數(shù)概念 計算公式 特點 優(yōu)點：①靈敏度高②在某種不能計算的條件下，可以代替

缺點：①不易理解②易受極值影響