新高考數學二輪復習專題講測練思想03 運用函數與方程的思想方法解題（精講精練）（原卷版）

思想03運用函數與方程的思想方法解題【命題規(guī)律】高考命題中，以知識為載體，以能力立意、思想方法為靈魂，以核心素養(yǎng)為統(tǒng)領，兼顧試題的基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性，展現(xiàn)數學的科學價值和人文價值．高考試題一是著眼于知識點新穎巧妙的組合，二是著眼于對數學思想方法、數學能力的考查．如果說數學知識是數學的內容，可用文字和符號來記錄和描述，那么數學思想方法則是數學的意識，重在領會、運用，屬于思維的范疇，用于對數學問題的認識、處理和解決．高考中常用到的數學思想主要有分類討論思想、數形結合思想、函數與方程思想、轉化與化歸思想等．【核心考點目錄】核心考點一：運用函數的思想研究問題核心考點二：運用方程的思想研究問題核心考點三：運用函數與方程的思想研究不等式問題核心考點四：運用函數與方程的思想研究其他問題【真題回歸】1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若SKIPIF1<0，則C的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線l與橢圓SKIPIF1<0在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且SKIPIF1<0，則l的方程為___________．3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出與圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都相切的一條直線的方程________________．4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程為__________．5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線SKIPIF1<0過坐標原點的兩條切線的方程為____________，____________．【方法技巧與總結】1、函數與方程是緊密相聯(lián)、可以相互轉化的．在研究方程解的存在性、方程解的個數、方程解的分布等問題時，一般利用方程的性質，對方程進行同解變形，進而構造函數，利用函數的圖象與性質求解方程問題．例如，方程SKIPIF1<0解的個數可以轉化為函數SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0軸交點的個數，也可以參變分離，轉化為水平直線與函數圖象交點的個數，也可以部分分離，轉化為斜線與函數圖象交點的個數，也可以構造兩個熟悉函數，轉化為兩個函數圖象交點的個數．2、在研究函數問題時，運用方程的思想，設出未知數，通過題目中的等量關系，建立方程（組），進而求解方程（組），或者將方程變形，構造新函數，更易于研究其圖象和性質．例如，在研究曲線的切線問題時，設出切點橫坐標SKIPIF1<0，得到切線斜率SKIPIF1<0，切線方程為SKIPIF1<0，從而將函數中的切線問題轉化為關于切點橫坐標SKIPIF1<0的方程問題．3、函數、方程、不等式三位一體，常常相互轉化．在研究不等式的解集、不等式恒成立、不等式有解、不等式的證明等問題時，最重要的思想方法就是函數與方程思想，構造適當的函數，分析、轉化不等式問題．例如，不等式SKIPIF1<0或SKIPIF1<0恒成立，可以轉化為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．也可以考慮參變分離再求函數的最值．4、函數與方程的思想貫穿高中數學的多個模塊，在數列、解析幾何、三角形、立體幾何等內容中都有廣泛的運用．函數思想體現(xiàn)的是運動與變化的觀念，通過分析問題中的數量關系，建構函數，再運用函數的圖象與性質分析．轉化問題，進而解決問題．方程思想體現(xiàn)的是“動中求靜”，尋求變化過程中保持不變的等量關系，建構方程（組），通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析，轉化問題，使問題獲得解決．【核心考點】核心考點一：運用函數的思想研究問題【典型例題】例1．（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，設函數SKIPIF1<0若關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有兩個互異的實數解，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是__________．例2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數，求實數SKIPIF1<0的取值范圍；（2）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上最小值為SKIPIF1<0，求實數SKIPIF1<0的值；（3）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上只有一個零點，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．例3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，證明：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0只有一個零點，求SKIPIF1<0的值．核心考點二：運用方程的思想研究問題【典型例題】例4．（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）請利用SKIPIF1<0的導函數推出SKIPIF1<0導函數，并求函數SKIPIF1<0的遞增區(qū)間；（2）若曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線與曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的切線平行，求SKIPIF1<0（化簡為只含SKIPIF1<0的代數式）；（3）證明：當SKIPIF1<0時，存在直線SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0既是SKIPIF1<0的一條切線，也是SKIPIF1<0的一條切線．例5．（2023春·安徽滁州·高三?？茧A段練習）已知函數SKIPIF1<0．（Ⅰ）不需證明，直接寫出SKIPIF1<0的奇偶性：（Ⅱ）討論SKIPIF1<0的單調性，并證明SKIPIF1<0有且僅有兩個零點：（Ⅲ）設SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個零點，證明曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線也是曲線SKIPIF1<0的切線．例6．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學校考一模）若直線SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0的切線，也是SKIPIF1<0的切線，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例7．（2023·全國·高三專題練習）若直線SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0的切線，也是曲線SKIPIF1<0的切線，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點三：運用函數與方程的思想研究不等式問題【典型例題】例8．（2023春·廣西·高三期末）已知函數SKIPIF1<0（1）當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的最小值；（2）若對SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求a的取值范圍．例9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例10．（2023·福建廈門·高三廈門雙十中學?？茧A段練習）已知函數SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求a的取值范圍（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點四：運用函數與方程的思想研究其他問題【典型例題】例11．（2023春·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學?？奸_學考試）已知SKIPIF1<0的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，SKIPIF1<0的面積為S，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求A和a的大?。唬?）若SKIPIF1<0為銳角三角形，求SKIPIF1<0的面積S的取值范圍．例12．（2023春·河北張家口·高三張家口市第一中學校考階段練習）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，其中一個焦點在直線SKIPIF1<0上．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）若直線SKIPIF1<0與橢圓交于SKIPIF1<0兩點，試求三角形SKIPIF1<0面積的最大值．例13．（2023春·陜西咸陽·高三陜西咸陽中學?？计谥校┮阎獢盗蠸KIPIF1<0是各項均為正數的等差數列．（1）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數列，求數列SKIPIF1<0的通項公式；（2）在（1）的條件下，數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，若對任意的SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求實數k的最小值．例14．（2023春·北京·高三?？计谥校┮阎瘮礢KIPIF1<0（1）函數SKIPIF1<0的值域是____________．（2）若關于x的方程SKIPIF1<0恰有兩個互異的實數解，則a的取值范圍是______________-．【新題速遞】一、單選題1．（2023·廣東茂名·高三統(tǒng)考）已知三棱柱SKIPIF1<0的頂點都在球O的表面上，且SKIPIF1<0，若三棱柱SKIPIF1<0的側面積為SKIPIF1<0，則球O的表面積的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學?？茧A段練習）已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0存在三個零點，則實數a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023春·河北滄州·高三階段練習）已知數列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0是單調遞減數列 B．若SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0是單調遞增數列C．SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0二、多選題4．（2023·浙江嘉興·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結論正確的是（

）A．對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<05．（2023春·福建泉州·高三福建省永春第一中學?？茧A段練習）已知圓SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，則（

）A．直線SKIPIF1<0恒過定點SKIPIF1<0B．當SKIPIF1<0時，圓SKIPIF1<0上恰有三個點到直線SKIPIF1<0的距離等于1C．直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有一個交點D．若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0恰有三條公切線，則SKIPIF1<06．（2023春·山東日照·高三統(tǒng)考）下列命題中是真命題的有（

）A．SKIPIF1<0有四個實數解B．設a、b、c是實數，若二次方程SKIPIF1<0無實根，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則函數SKIPIF1<0的最小值為27．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學校?？茧A段練習）已知等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0取到最大值時，SKIPIF1<0 D．設SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的最小項為SKIPIF1<08．（2023春·福建泉州·高三泉州五中校考）數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0B．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0C．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0時，數列SKIPIF1<0單調遞增，數列SKIPIF1<0單調遞減三、填空題9．（2023春·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學校考階段練習）若函數SKIPIF1<0在定義域SKIPIF1<0內存在非零實數SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則稱函數SKIPIF1<0為“壹函數”，則下列函數是“壹函數”的是______．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．10．（2023春·四川成都·高一校聯(lián)考）已知函數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數a的取值范圍為_________．四、解答題11．（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考階段練習）已知函數SKIPIF1<0，且函數SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0．（1）求實數a的值；（2）若關于x的不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求實數m的取值范圍；（3）若關于x的方程SKIPIF1<0有三個不同的實數根，求實數k的取值范圍．12．（2023春·上海浦東新·高一華師大二附中校考）已知函數SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0．（1）若不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，求m的值；（2）在（1）的條件下，若SKIPIF1<0恒成立，求實數k的取值范圍；（3）若關于x的不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，求實數c的值．13．（2023春·江蘇南通·高三階段練習）已知函數SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（1）當c＝b時，解關于x的不等式SKIPIF1<0＞1；（2）若SKIPIF1<0的值域為[1，SKIPIF1<0），關于x的不等式SKIPIF1<0的解集為（m，m＋4），求實數a的值；（3）若對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，函數SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的最大值為1，求SKIPIF1<0的取值范圍．14．（2023春·河北邯鄲·高三?？迹┮阎獟佄锞€SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，拋物線SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0的橫坐標為1，且SKIPIF1<0．（1）求拋物線SKIPIF1<0的方程；（2）過焦點SKIPIF1<0作兩條相互垂直的直線（斜率均存在），分別與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0?SKIPIF1<0和SKIPIF1<0?SKIPIF1<0四點，求四邊形SKIPIF1<0面積的最小值．15．（2023春