2023年平面向量知識點總結(jié)精華

必修４平面向量知識點小結(jié)一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段來表達.注意:不能說向量就是有向線段,為什么?提醒:向量可以平移.舉例1已知，,則把向量按向量平移后得到的向量是＿＿＿__.結(jié)果：２.零向量：長度為0的向量叫零向量,記作：，規(guī)定:零向量的方向是任意的;3.單位向量:長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是）;４.相等向量:長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量,相等向量有傳遞性；5.平行向量(也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,記作：∥，規(guī)定：零向量和任何向量平行.注:①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等;②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念:兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性?。ㄓ捎谟校?④三點共線共線.６.相反向量:長度相等方向相反的向量叫做相反向量．的相反向量記作.舉例２如下列命題:（1)若,則.(2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同.（3）若,則是平行四邊形．(４）若是平行四邊形,則．(5）若，,則.（6）若，則.其中對的的是．結(jié)果:(4）(5)二、向量的表達方法1.幾何表達：用帶箭頭的有向線段表達，如，注意起點在前，終點在后；2．符號表達:用一個小寫的英文字母來表達,如,，等；3.坐標(biāo)表達:在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,以與軸、軸方向相同的兩個單位向量為基底,則平面內(nèi)的任歷來量可表達為,稱為向量的坐標(biāo),叫做向量的坐標(biāo)表達．結(jié)論：假如向量的起點在原點,那么向量的坐標(biāo)與向量的終點坐標(biāo)相同．三、平面向量的基本定理定理設(shè)同一平面內(nèi)的一組基底向量,是該平面內(nèi)任歷來量,則存在唯一實數(shù)對，使.（1）定理核心：；（2)從左向右看，是對向量的分解,且表達式唯一；反之,是對向量的合成.（3）向量的正交分解：當(dāng)時，就說為對向量的正交分解.舉例3（１)若，，，則.結(jié)果：.（2)下列向量組中,能作為平面內(nèi)所有向量基底的是ＢA．，Ｂ.,C.,D.，(3)已知分別是的邊,上的中線,且,,則可用向量表達為．結(jié)果：．（4）已知中，點在邊上，且，,則的值是．結(jié)果:0．四、實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下:（1)模：;(2）方向：當(dāng)時，的方向與的方向相同，當(dāng)時，的方向與的方向相反，當(dāng)時,,注意:.五、平面向量的數(shù)量積1.兩個向量的夾角：對于非零向量,，作,，則把稱為向量,的夾角.當(dāng)時,，同向；當(dāng)時，，反向；當(dāng)時,，垂直．２.平面向量的數(shù)量積:假如兩個非零向量,,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積或點積）,記作:,即．規(guī)定：零向量與任歷來量的數(shù)量積是0.注:數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量.舉例4（1）中,，,,則_____＿___.結(jié)果:．(2）已知，,,，與的夾角為,則＿_＿＿.結(jié)果：1.（３）已知,，，則＿_＿_.結(jié)果：.(4）已知是兩個非零向量,且,則與的夾角為____.結(jié)果:.3．向量在向量上的投影：,它是一個實數(shù)，但不一定大于0.舉例5已知,,且，則向量在向量上的投影為＿_＿___.結(jié)果：.4.的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積．5.向量數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)兩個非零向量，,其夾角為,則:（1)；（2)當(dāng)、同向時，，特別地，;是、同向的充要分條件；當(dāng)、反向時,，是、反向的充要分條件;當(dāng)為銳角時,，且、不同向,是為銳角的必要不充足條件;當(dāng)為鈍角時，,且、不反向；是為鈍角的必要不充足條件.(3)非零向量，夾角的計算公式:；④．舉例6（1)已知，，假如與的夾角為銳角,則的取值范圍是＿＿__＿_．結(jié)果:或且；(2）已知的面積為,且,若,則，夾角的取值范圍是__＿______.結(jié)果:；（3）已知，，且滿足（其中）.①用表達；②求的最小值,并求此時與的夾角的大小.結(jié)果:①;②最小值為，.六、向量的運算1.幾何運算（1)向量加法運算法則:①平行四邊形法則；②三角形法則.運算形式:若,，則向量叫做與的和，即;作圖:略．注:平行四邊形法則只合用于不共線的向量.(2）向量的減法運算法則：三角形法則.運算形式:若,，則,即由減向量的終點指向被減向量的終點.作圖:略.注：減向量與被減向量的起點相同．舉例７（1）化簡：①；②;③．結(jié)果:①；②;③;（2)若正方形的邊長為1，,，,則．結(jié)果:;（3)若是所在平面內(nèi)一點，且滿足，則的形狀為.結(jié)果:直角三角形;(４）若為的邊的中點，所在平面內(nèi)有一點,滿足，設(shè),則的值為.結(jié)果:2；(5）若點是的外心,且,則的內(nèi)角為.結(jié)果:.2.坐標(biāo)運算：設(shè),，則(１)向量的加減法運算：，.舉例８(1）已知點，,，若,則當(dāng)＿_＿_時,點在第一、三象限的角平分線上．結(jié)果：;（2)已知，，且，,則．結(jié)果:或；（3)已知作用在點的三個力，，,則合力的終點坐標(biāo)是.結(jié)果：.(2)實數(shù)與向量的積：.(3）若，,則，即一個向量的坐標(biāo)等于表達這個向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo).舉例9設(shè),，且,，則的坐標(biāo)分別是＿＿__＿____＿.結(jié)果：.（4)平面向量數(shù)量積：.舉例10已知向量,，.（１）若,求向量、的夾角;（2)若，函數(shù)的最大值為,求的值.結(jié)果:(1）；（2）或.（5)向量的模:.舉例１1已知均為單位向量，它們的夾角為,那么=.結(jié)果:．（６）兩點間的距離:若，,則．舉例12如圖,在平面斜坐標(biāo)系中,,平面上任一點關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的:若，其中分別為與軸、軸同方向的單位向量,則點斜坐標(biāo)為．(1)若點的斜坐標(biāo)為,求到的距離;(２)求認為圓心,1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程.結(jié)果:(1)２；（2).七、向量的運算律1．互換律：，，；２.結(jié)合律：,,;3.分派律：,，.舉例1３給出下列命題:①；②;③；④若,則或;⑤若則；⑥；⑦;⑧；⑨.其中對的的是.結(jié)果:①⑥⑨.說明：（1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別:對于一個向量等式,可以移項,兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù),兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量,即兩邊不能約去一個向量，牢記兩向量不能相除(相約)；(2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么?八、向量平行(共線）的充要條件．舉例１４（1）若向量，,當(dāng)__＿_＿時,與共線且方向相同.結(jié)果:2.(2）已知，，，,且,則.結(jié)果:４.(３）設(shè),，，則_____時，共線.結(jié)果:或11.九、向量垂直的充要條件.特別地．舉例15(1)已知,，若，則.結(jié)果：；(2)以原點和為兩個頂點作等腰直角三角形,,則點的坐標(biāo)是.結(jié)果:(1，3)或(3,-1)）;（3)已知向量，且,則的坐標(biāo)是.結(jié)果：或.十、線段的定比分點1.定義：設(shè)點是直線上異于、的任意一點,若存在一個實數(shù),使，則實數(shù)叫做點分有向線段所成的比，點叫做有向線段的以定比為的定比分點.2．的符號與分點的位置之間的關(guān)系(１)內(nèi)分線段,即點在線段上；（２)外分線段時，①點在線段的延長線上，②點在線段的反向延長線上.注：若點分有向線段所成的比為，則點分有向線段所成的比為.舉例１6若點分所成的比為，則分所成的比為．結(jié)果：.3.線段的定比分點坐標(biāo)公式:設(shè)，，點分有向線段所成的比為，則定比分點坐標(biāo)公式為.特別地，當(dāng)時，就得到線段的中點坐標(biāo)公式說明:(1)在使用定比分點的坐標(biāo)公式時，應(yīng)明確,、的意義,即分別為分點，起點,終點的坐標(biāo)．(２)在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件,靈活地擬定起點，分點和終點,并根據(jù)這些點擬定相應(yīng)的定比.舉例1７（１）若，，且,則點的坐標(biāo)為.結(jié)果:;(2）已知,，直線與線段交于,且,則.結(jié)果：２或.十一、平移公式假如點按向量平移至，則;曲線按向量平移得曲線．說明：(1）函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系?(2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了啊！舉例1８（１）按向量把平移到，則按向量把點平移到點＿_＿＿＿_.結(jié)果:;(2)函數(shù)的圖象按向量平移后,所得函數(shù)的解析式是，則＿＿＿___＿＿.結(jié)果:.十二、向量中一些常用的結(jié)論１.一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量,要注意運用;2.模的性質(zhì):.（1）右邊等號成立條件:同向或中有;(2)左邊等號成立條件:反向或中有；(3）當(dāng)不共線.3.三角形重心公式在中,若,，,則其重心的坐標(biāo)為.舉例19若的三邊的中點分別為、、，則的重心的坐標(biāo)為