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文檔簡介
長風(fēng)破浪會有時(shí),直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年江蘇航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請謹(jǐn)慎購買!第1卷一.綜合題(共50題)1.函數(shù)y=ax+b和y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)的圖象只可能是()A.
B.
C.
D.
答案:對于A:函數(shù)y=ax+b遞增可得a>0,0<b<1;函數(shù)y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)遞減可得0<b<1且a>0故A正確對于B:函數(shù)y=ax+b遞增可得a>0,b>1;函數(shù)y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)遞減可得0<b<1且a>0,矛盾,故B不正確對于C:函數(shù)y=ax+b遞減可得a<0,0<b<1;函數(shù)y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)遞減可得0<b<1且a>0,矛盾,故C不正確對于D:函數(shù)y=ax+b遞減可得a<0,b>1;函數(shù)y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)遞增可得b>1且a>0,矛盾,故D不正確故選A2.有一批機(jī)器,編號為1,2,3,…,112,為調(diào)查機(jī)器的質(zhì)量問題,打算抽取10臺,問此樣本若采用簡單的隨機(jī)抽樣方法將如何獲得?答案:本題可以采用抽簽法來抽取樣本,首先把該校學(xué)生都編上號001,002,112…用抽簽法做112個(gè)形狀、大小相同的號簽,然后將這些號簽放到同一個(gè)箱子里,進(jìn)行均勻攪拌,抽簽時(shí),每次從中抽一個(gè)號簽,連續(xù)抽取10次,就得到一個(gè)容量為10的樣本.3.求證:答案:證明見解析解析:證:∴4.若平面α與β的法向量分別是a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),則平面α與β的位置關(guān)系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.無法判斷答案:∵a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),∴a+b=(1-1,0+0,-2+2)=(0,0,0),即a+b=0由此可得a∥b∵a、b分別是平面α與β的法向量∴平面α與β的法向量平行,可得平面α與β互相平行.5.已知變量a,b已被賦值,要交換a、b的值,應(yīng)采用的算法是()
A.a(chǎn)=b,b=a
B.a(chǎn)=c,b=a,c=b
C.a(chǎn)=c,b=a,c=a
D.c=a,a=b,b=c答案:D6.根據(jù)一組數(shù)據(jù)判斷是否線性相關(guān)時(shí),應(yīng)選用(
)
A.散點(diǎn)圖
B.莖葉圖
C.頻率分布直方圖
D.頻率分布折線圖答案:A7.在空間直角坐標(biāo)系中,在Ox軸上的點(diǎn)P1的坐標(biāo)特點(diǎn)為
______,在Oy軸上的點(diǎn)P2的坐標(biāo)特點(diǎn)為
______,在Oz軸上的點(diǎn)P3的坐標(biāo)特點(diǎn)為
______,在xOy平面上的點(diǎn)P4的坐標(biāo)特點(diǎn)為
______,在yOz平面上的點(diǎn)P5的坐標(biāo)特點(diǎn)為
______,在xOz平面上的點(diǎn)P6的坐標(biāo)特點(diǎn)為
______.答案:由空間坐標(biāo)系的定義知;Ox軸上的點(diǎn)P1的坐標(biāo)特點(diǎn)為(x,0,0),在Oy軸上的點(diǎn)P2的坐標(biāo)特點(diǎn)為(0,y,0),在Oz軸上的點(diǎn)P3的坐標(biāo)特點(diǎn)為(0,0,z),在xOy平面上的點(diǎn)P4的坐標(biāo)特點(diǎn)為(x,y,0),在yOz平面上的點(diǎn)P5的坐標(biāo)特點(diǎn)為(0,y,z),在xOz平面上的點(diǎn)P6的坐標(biāo)特點(diǎn)為(x,0,z).故應(yīng)依次為(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z),(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z).8.隨機(jī)地向某個(gè)區(qū)域拋撒了100粒種子,在面積為10m2的地方有2粒種子發(fā)芽,假設(shè)種子的發(fā)芽率為100%,則整個(gè)撒種區(qū)域的面積大約有______m2.答案:設(shè)整個(gè)撒種區(qū)域的面積大約xm2,由于假設(shè)種子的發(fā)芽率為100%,所以在面積為10m2的地方有2粒種子發(fā)芽,意味著在面積為10m2的地方有2粒種子,從而有:100x=210,∴x=500,故為:500.9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(x,y)是橢圓x23+y2=1上的一個(gè)動點(diǎn),求S=x+y的最大值.答案:因橢圓x23+y2=1的參數(shù)方程為x=3cos?y=sin?(?為參數(shù))故可設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3cos?,sin?),其中0≤?<2π.因此S=x+y=3cos?+sin?=2(32cos?+12sin?)=2sin(?+π3)所以,當(dāng)?=π6時(shí),S取最大值2.10.設(shè)函數(shù)f(x)=(1-2a)x+b是R上的增函數(shù),則()A.a(chǎn)>12B.a(chǎn)<12C.a(chǎn)≥12D.a(chǎn)≤12答案:∵函數(shù)f(x)=(1-2a)x+b是R上的增函數(shù),∴1-2a>0,∴a<12.故選B.11.已知=1-ni,其中m,n是實(shí)數(shù),i是虛數(shù)單位,則m+ni=(
)
A.1+2i
B.1-2i
C.2+i
D.2-i答案:C12.圓(x+3)2+(y-1)2=25上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是()
A.5-
B.5+
C
D.10答案:B13.已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),D為BC邊中點(diǎn),且,那么(
)
A.
B.
C.
D.2
答案:A14.用反證法證明命題“在函數(shù)f(x)=x2+px+q中,|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至少有一個(gè)不小于”時(shí),假設(shè)正確的是()
A.假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至多有一個(gè)小于
B.假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至多有兩個(gè)小于
C.假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都不小于
D.假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于答案:D15.節(jié)假日時(shí),國人發(fā)手機(jī)短信問候親友已成為一種時(shí)尚,若小李的40名同事中,給其發(fā)短信問候的概率為1,0.8,0.5,0的人數(shù)分別是8,15,14,3(人),通常情況下,小李應(yīng)收到同事問候的信息條數(shù)為()
A.27
B.37
C.38
D.8答案:A16.如圖所示,圖中線條構(gòu)成的所有矩形中(由6個(gè)小的正方形組成),其中為正方形的概率為
______.答案:它的長有10種取法,由長與寬的對稱性,得到它的寬也有10種取法;因?yàn)?,長與寬相互獨(dú)立,所以得到長X寬的個(gè)數(shù)有:10X10=100個(gè)即總的矩形的個(gè)數(shù)有:100個(gè)長=寬的個(gè)數(shù)為:(1X1的正方形的個(gè)數(shù))+(2X2的正方形個(gè)數(shù))+(3X3的正方形個(gè)數(shù))+(4X4的正方形個(gè)數(shù))=16+9+4+1=30個(gè)即正方形的個(gè)數(shù)有:30個(gè)所以為正方形的概率是30100=0.3故為0.317.方程x2-y2=0表示的圖形是()
A.兩條相交直線
B.兩條平行直線
C.兩條重合直線
D.一個(gè)點(diǎn)答案:A18.知x、y、z均為實(shí)數(shù),
(1)若x+y+z=1,求證:++≤3;
(2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值.答案:(1)證明略(2)x2+y2+z2的最小值為解析:(1)證明
因?yàn)椋?+)2≤(12+12+12)(3x+1+3y+2+3z+3)=27.所以++≤3.
7分(2)解
因?yàn)?12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2=36,即14(x2+y2+z2)≥36,所以x2+y2+z2的最小值為.
14分19.用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()
A.8
B.24
C.48
D.120答案:C20.(選做題)已知矩陣.122x.的一個(gè)特征值為3,求另一個(gè)特征值及其對應(yīng)的一個(gè)特征向量.答案:矩陣M的特征多項(xiàng)式為.λ-1-2-2λ-x.=(λ-1)(λ-x)-4…(1分)因?yàn)棣?=3方程f(λ)=0的一根,所以x=1…(3分)由(λ-1)(λ-1)-4=0得λ2=-1,…(5分)設(shè)λ2=-1對應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=xy,則-2x-2y=0-2x-2y=0得x=-y…(8分)令x=1則y=-1,所以矩陣M的另一個(gè)特征值為-1,對應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=1-1…(10分)21.已知過點(diǎn)A(-2,m)和B(m,4)的直線與直線2x+y-1=0平行,則m的值為()
A.0
B.-8
C.2
D.10答案:B22.設(shè)i為虛數(shù)單位,若=b+i(a,b∈R),則a,b的值為()
A.a(chǎn)=0,b=1
B.a(chǎn)=1,b=0
C.a(chǎn)=1,b=1
D.a(chǎn)=,b=-1答案:B23.(Ⅰ)已知z∈C,且|z|-i=.z+2+3i(i為虛數(shù)單位),求復(fù)數(shù)z2+i的虛部.
(Ⅱ)已知z1=a+2i,z2=3-4i(i為虛數(shù)單位),且z1z2為純虛數(shù),求實(shí)數(shù)a的值.答案:(Ⅰ)設(shè)z=x+yi,代入方程|z|-i=.z+2+3i,得出x2+y2-i=x-yi+2+3i=(x+2)+(3-y)i,故有x2+y2=x+23-y=-1,解得x=3y=4,∴z=3+4i,復(fù)數(shù)z2+i=3+4i2+i=2+i,虛部為1(Ⅱ)z1z2=a+2i3-4i=3a-8+(4a+6)i25,且z1z2為純虛數(shù)則3a-8=0,且4a+6≠0,解得a=8324.如圖,AB,AC分別是⊙O的切線和割線,且∠C=45°,∠BDA=60°,CD=6,則切線AB的長是______.答案:過點(diǎn)A作AM⊥BD與點(diǎn)M.∵AB為圓O的切線∴∠ABD=∠C=45°∵∠BDA=60°∴∠BAD=75°,∠DAM=30°,∠BAM=45°設(shè)AB=x,則AM=22x,在直角△AMD中,AD=63x由切割線定理得:AB2=AD?ACx2=63x(63x+6)解得:x1=6,x2=0(舍去)故AB=6.故是:6.25.數(shù)學(xué)歸納法證明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”時(shí),第一步驗(yàn)證的表達(dá)式為______.答案:根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟,首先要驗(yàn)證證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立;結(jié)合本題,要驗(yàn)證n=1時(shí),2n+1≥n2+n+2的成立;即21+1≥12+1+2成立;故為:21+1≥12+1+2(22≥4或4≥4也算對).26.關(guān)于生活中的圓錐曲線,有下面幾個(gè)結(jié)論:
(1)標(biāo)準(zhǔn)田徑運(yùn)動場的內(nèi)道是一個(gè)橢圓;
(2)接受衛(wèi)星轉(zhuǎn)播的電視信號的天線設(shè)備,其軸截面與天線設(shè)備的交線是拋物線;
(3)大型熱電廠的冷卻通風(fēng)塔,其軸截面與通風(fēng)塔的交線是雙曲線;
(4)地球圍繞太陽運(yùn)行的軌跡可以近似地看成一個(gè)橢圓.
其中正確命題的序號是______(把你認(rèn)為正確命題的序號都填上).答案:(1)標(biāo)準(zhǔn)田徑運(yùn)動場的內(nèi)道是有直道和彎道部分是半圓組成,不是橢圓.故錯(cuò)誤(2)接受衛(wèi)星轉(zhuǎn)播的電視信號的天線設(shè)備,其軸截面與天線設(shè)備的交線是拋物線.故正確.(3)大型熱電廠的冷卻通風(fēng)塔,其軸截面與通風(fēng)塔的交線是雙曲線.故正確.(4)地球圍繞太陽運(yùn)行的軌跡可以近似地看成一個(gè)橢圓.故正確.故為:(2)(3)(4)27.設(shè)橢圓=1(a>b>0)的離心率為,右焦點(diǎn)為F(c,0),方程ax2+bx-c=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2,則點(diǎn)P(x1,x2)()
A.必在圓x2+y2=2內(nèi)
B.必在圓x2+y2=2上
C.必在圓x2+y2=2外
D.以上三種情形都有可能答案:A28.Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高,該圖中只有x個(gè)三角形與△ABC相似,則x的值為()A.1B.2C.3D.4答案:∵∠ACB=90°,CD⊥AB∴△ABC∽△ACD△ACD∽CBD△ABC∽CBD所以有三對相似三角形,該圖中只有2個(gè)三角形與△ABC相似.故選B.29.如果方程x2+(m-1)x+m2-2=0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于1,另一個(gè)大于1,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()
A.
B.(-2,0)
C.(-2,1)
D.(0,1)答案:C30.從一批含有13只正品,2只次品的產(chǎn)品中,不放回地抽取3次,每次抽取1只,設(shè)抽得次品數(shù)為X,則E(5X+1)=______.答案:由題意,X的取值為0,1,2,則P(X=0)=1315×1214×1113=2235;P(X=1)=215×1314×1213+1315×214×1213+1315×1214×213=1235P(X=2)=1315×214×113+215×1314×113+215×114×1313=135所以期望E(X)=0×2235+1×1235+2×135=1435,所以E(5X+1)=1435×5+1=3故為3.31.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a,CB=b,CC1=c,則A1B=()A.a(chǎn)+b-cB.a(chǎn)-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c答案:A1B=A1A+AB=-CC1+CB-CA=-c+b-a故選D.32.已知平面α的法向量是(2,3,-1),平面β的法向量是(4,λ,-2),若α∥β,則λ的值是()
A.-
B.-6
C.6
D.答案:C33.如圖,正六邊形ABCDEF中,=()
A.
B.
C.
D.
答案:D34.已知點(diǎn)A(-3,0),B(3,0),動點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之差的絕對值為2,點(diǎn)C的軌跡與直線
y=x-2交于D、E兩點(diǎn),求線段DE的中點(diǎn)坐標(biāo)及其弦長DE.答案:∵|CB|-|CA|=2<23=|AB|,∴點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線,2a=2,2c=23,∴a=1,c=3,∴b=2,∴點(diǎn)C的軌跡方程為x2-y22=1.把直線
y=x-2代入x2-y22=1化簡可得x2+4x-6=0,△=16-4(-6)=40>0,設(shè)D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1
)、(x2,y2),∴x1+x2=-4,x1?x2=-6.∴線段DE的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(-2,4),DE=1+1?|x1-x2|=2?(x1
+x2)2-4x1
?x2
=216-4(-6)=45.35.已知向量a與向量b的夾角為120°,若向量c=a+b,且a⊥c,則|a||b|的值為______.答案:由題意可知,∵a⊥c,∴a?c=a?(a+b)=a2+a?b=0即|a|2+|a||b|cos120°=0,故|a|2=12|a||b|,故|a||b|=12.故為:1236.給定點(diǎn)A(x0,y0),圓C:x2+y2=r2及直線l:x0x+y0y=r2,給出以下三個(gè)命題:
①當(dāng)點(diǎn)A在圓C上時(shí),直線l與圓C相切;
②當(dāng)點(diǎn)A在圓C內(nèi)時(shí),直線l與圓C相離;
③當(dāng)點(diǎn)A在圓C外時(shí),直線l與圓C相交.
其中正確的命題個(gè)數(shù)是()
A.0
B.1
C.2
D.3答案:D37.已知A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),則下列說法中正確的是()A.A,B,C三點(diǎn)可以構(gòu)成直角三角形B.A,B,C三點(diǎn)可以構(gòu)成銳角三角形C.A,B,C三點(diǎn)可以構(gòu)成鈍角三角形D.A,B,C三點(diǎn)不能構(gòu)成任何三角形答案:∵|AB|=2,|BC|=3,|AC|=1,∴|BC|2=|AC|2+|AB|2,∴A,B,C三點(diǎn)可以構(gòu)成直角三角形,故選A.38.正態(tài)曲線下、橫軸上,從均值到+∞的面積為______答案:由正態(tài)曲線的對稱性特點(diǎn)知,曲線與x軸之間的面積為1,所以從均數(shù)到的面積為整個(gè)面積的一半,即50%.填:0.5.39.設(shè)P,Q為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn),且AP=mAB+nAC
(m,n>0)AQ=pAB+qAC
(p,q>0),則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為______.答案:設(shè)P到邊AB的距離為h1,Q到邊AB的距離為h2,則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為h1h2,設(shè)AB邊上的單位法向量為e,AB?e=0,則h1=|AP?e|=|(mAB+nAC)?e|=|m?AB?e+nAC?e|=|nAC?e|,同理可得h2=|qAC?e|,∴h1h2=|nq|=nq,故為n:q.40.質(zhì)地均勻的正四面體玩具的4個(gè)面上分別刻著數(shù)字1,2,3,4,將4個(gè)這樣的玩具同時(shí)拋擲于桌面上.
(1)求與桌面接觸的4個(gè)面上的4個(gè)數(shù)的乘積不能被4整除的概率;
(2)設(shè)ξ為與桌面接觸的4個(gè)面上數(shù)字中偶數(shù)的個(gè)數(shù),求ξ的分歧布列及期望Eξ.答案:(1)不能被4整除的有兩種情形;①4個(gè)數(shù)均為奇數(shù),概率為P1=(12)4=116②4個(gè)數(shù)中有3個(gè)奇數(shù),另一個(gè)為2,概率為P2=C34(12)3?14=18這兩種情況是互斥的,故所求的概率為P=116+18=316(2)ξ為與桌面接觸的4個(gè)面上數(shù)字中偶數(shù)的個(gè)數(shù),由題意知ξ的可能取值是0,1,2,3,4,根據(jù)符合二項(xiàng)分布,得到P(ξ=k)=Ck4(12)4(k=0,1,2,3,4),ξ的分布列為∵ξ服從二項(xiàng)分布B(4,12),∴Eξ=4×12=2.41.已知P為x24+y29=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓的左右焦點(diǎn),則PF2+PF1=______.答案:∵x24+y29=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓的左右焦點(diǎn),∴根據(jù)橢圓的定義,可得|PF2|+|PF1|=2×2=4故為:442.有四個(gè)游戲盤,將它們水平放穩(wěn)后,在上面扔一顆玻璃小球,若小球落在陰影部分,則可中獎,小明要想增加中獎機(jī)會,應(yīng)選擇的游戲盤的序號______
答案:(1)游戲盤的中獎概率為
38,(2)游戲盤的中獎概率為
14,(3)游戲盤的中獎概率為
26=13,(4)游戲盤的中獎概率為
13,(1)游戲盤的中獎概率最大.故為:(1).43.“a=0”是“復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)為純虛數(shù)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:依題意,復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)為純虛數(shù),?a=0且b≠0,∴“a=0”是“復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)為純虛數(shù)”的必要不充分條件,故選B.44.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-,0),F2(,0),P是此雙曲線上的一點(diǎn),且PF1⊥PF2,|PF1|?|PF2|=2,則該雙曲線的方程是()
A.
B.
C.
D.答案:C45.如圖,在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,下底ABCD是邊長為2的正方形,上底A1B1C1D1是邊長為1的正方形,側(cè)棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(Ⅰ)求證:B1B∥平面D1AC;
(Ⅱ)求二面角B1-AD1-C的余弦值.答案:以D為原點(diǎn),以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖,則有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).…(3分)(Ⅰ)證明:設(shè)AC∩BD=E,連接D1、E,則有E(1,1,0),D1E=B1B=(1,1,-2),所以B1B∥D1E,∵BB?平面D1AC,D1E?平面D1AC,∴B1B∥平面D1AC;…(6分)(II)D1B1=(1,1,0),D1A=(2,0,-2),設(shè)n=(x,y,z)為平面AB1D1的法向量,n?B1D1=x+y=0,n?D1A=2x-2z=0.于是令x=1,則y=-1,z=1.則n=(1,-1,1)…(8分)同理可以求得平面D1AC的一個(gè)法向量m=(1,1,1),…(10分)cos<m,n>=m?n|m||n|=13.∴二面角B1-AD1-C的余弦值為13.…(12分)46.若點(diǎn)P(-1,3)在圓x2+y2=m2上,則實(shí)數(shù)m=______.答案:∵點(diǎn)P(-1,3)在圓x2+y2=m2上,∴點(diǎn)P坐標(biāo)代入,得(-1)2+(3)2=m2,即m2=4,解之得m=±2.故為:±247.甲射擊運(yùn)動員擊中目標(biāo)為事件A,乙射擊運(yùn)動員擊中目標(biāo)為事件B,則事件A,B為()
A.互斥事件
B.獨(dú)立事件
C.對立事件
D.不相互獨(dú)立事件答案:B48.某公司為慶祝元旦舉辦了一個(gè)抽獎活動,現(xiàn)場準(zhǔn)備的抽獎箱里放置了分別標(biāo)有數(shù)字1000、800﹑600、0的四個(gè)球(球的大小相同).參與者隨機(jī)從抽獎箱里摸取一球(取后即放回),公司即贈送與此球上所標(biāo)數(shù)字等額的獎金(元),并規(guī)定摸到標(biāo)有數(shù)字0的球時(shí)可以再摸一次﹐但是所得獎金減半(若再摸到標(biāo)有數(shù)字0的球就沒有第三次摸球機(jī)會),求一個(gè)參與抽獎活動的人可得獎金的期望值是多少元.答案:設(shè)ξ表示摸球后所得的獎金數(shù),由于參與者摸取的球上標(biāo)有數(shù)字1000,800,600,0,當(dāng)摸到球上標(biāo)有數(shù)字0時(shí),可以再摸一次,但獎金數(shù)減半,即分別為500,400,300,0.則ξ的所有可能取值為1000,800,600,500,400,300,0.依題意得P(ξ=1000)=P(ξ=800)=P(ξ=600)=14,P(ξ=500)=P(ξ=400)=P(ξ=300)=P(ξ=0)=116,則ξ的分布列為∴所求期望值為Eξ=14(1000+800+600)+116(500+400+300+0)=675元.49.如圖是一個(gè)正三棱柱體的三視圖,該柱體的體積等于()A.3B.23C.2D.33答案:根據(jù)長對正,寬相等,高平齊,可得底面正三角形高為3,三棱柱高為1所以正三角形邊長為3sin60°=2,所以V=12×2×3×1=3,故選A.50.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a、b、c三個(gè)向量共面,則實(shí)數(shù)λ等于
A.
B.
C.
D.答案:D第2卷一.綜合題(共50題)1.參數(shù)方程x=cosαy=1+sinα(α為參數(shù))化成普通方程為
______.答案:∵x=cosαy=1+sinα(α為參數(shù))∴x2+(y-1)2=cos2α+sin2α=1.即:參數(shù)方程x=cosαy=1+sinα(α為參數(shù))化成普通方程為:x2+(y-1)2=1.故為:x2+(y-1)2=1.2.數(shù)學(xué)歸納法證明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”時(shí),第一步驗(yàn)證的表達(dá)式為______.答案:根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟,首先要驗(yàn)證證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立;結(jié)合本題,要驗(yàn)證n=1時(shí),2n+1≥n2+n+2的成立;即21+1≥12+1+2成立;故為:21+1≥12+1+2(22≥4或4≥4也算對).3.(理)某單位有8名員工,其中有5名員工曾經(jīng)參加過一種或幾種技能培訓(xùn),另外3名員工沒有參加過任何技能培訓(xùn),現(xiàn)要從8名員工中任選3人參加一種新的技能培訓(xùn);
(I)求恰好選到1名曾經(jīng)參加過技能培訓(xùn)的員工的概率;
(Ⅱ)這次培訓(xùn)結(jié)束后,仍然沒有參加過任何技能培訓(xùn)的員工人數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.答案:(I)由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率,∵試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從8人中選3個(gè),共有C83=56種結(jié)果,滿足條件的事件是恰好選到1名曾經(jīng)參加過技能培訓(xùn)的員工,共有C51C32=15∴恰好選到1名已參加過其他技能培訓(xùn)的員工的概率P=1556(II)隨機(jī)變量X可能取的值是:0,1,2,3.P(X=0)=156P(X=1)=1556P(X=2)=1528P(X=3)=C35C38=528∴隨機(jī)變量X的分布列是X0123P15615561528528∴X的數(shù)學(xué)期望是1×1556+2×
1528+3×528=1584.質(zhì)地均勻的正四面體玩具的4個(gè)面上分別刻著數(shù)字1,2,3,4,將4個(gè)這樣的玩具同時(shí)拋擲于桌面上.
(1)求與桌面接觸的4個(gè)面上的4個(gè)數(shù)的乘積不能被4整除的概率;
(2)設(shè)ξ為與桌面接觸的4個(gè)面上數(shù)字中偶數(shù)的個(gè)數(shù),求ξ的分歧布列及期望Eξ.答案:(1)不能被4整除的有兩種情形;①4個(gè)數(shù)均為奇數(shù),概率為P1=(12)4=116②4個(gè)數(shù)中有3個(gè)奇數(shù),另一個(gè)為2,概率為P2=C34(12)3?14=18這兩種情況是互斥的,故所求的概率為P=116+18=316(2)ξ為與桌面接觸的4個(gè)面上數(shù)字中偶數(shù)的個(gè)數(shù),由題意知ξ的可能取值是0,1,2,3,4,根據(jù)符合二項(xiàng)分布,得到P(ξ=k)=Ck4(12)4(k=0,1,2,3,4),ξ的分布列為∵ξ服從二項(xiàng)分布B(4,12),∴Eξ=4×12=2.5.若向量、、滿足++=,=3,=1,=4,則等于(
)
A.-11
B.-12
C.-13
D.-14答案:C6.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AB的中點(diǎn).
(1)求異面直線BD1與CE所成角的余弦值;
(2)求二面角A1-EC-A的余弦值.答案:以D為原點(diǎn),DC為y軸,DA為x軸,DD1為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,…(1分)則A1(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),E(1,12,0),…(2分)(1)BD1=(-1,-1,1),CE=(1,-12,0)…(1分)cos<BD1,CE>=-1515,…(1分)所以所求角的余弦值為1515…(1分)(2)D1D⊥平面AEC,所以D1D為平面AEC的法向量,D1D=(0,0,1)…(1分)設(shè)平面A1EC法向量為n=(x,y,z),又A1E=(0,12,-1),A1C=(-1,1,-1),n?A1E=0n?A1C=0即12y-z=0-x+y-z=0,取n=(1,2,1),…(3分)所以cos<DD1,n>=66…(2分)7.滿足f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0)且f(3)=2的函數(shù)可以是f(x)=______.答案:若函數(shù)為對數(shù)函數(shù),不妨令f(x)=logax則f(xy)=loga(xy)=logax+logay=f(x)+f(y)滿足條件又∵f(3)=2∴l(xiāng)oga3=2解得a=3故f(x)=log3x故為:log3x8.鐵路托運(yùn)行李,從甲地到乙地,按規(guī)定每張客票托運(yùn)行李不超過50kg時(shí),每千克0.2元,超過50kg時(shí),超過部分按每千克0.25元計(jì)算,畫出計(jì)算行李價(jià)格的算法框圖.答案:程序框圖:9.為了讓學(xué)生更多地了解“數(shù)學(xué)史”知識,某中學(xué)高二年級舉辦了一次“追尋先哲的足跡,傾聽數(shù)學(xué)的聲音”的數(shù)學(xué)史知識競賽活動,共有800名學(xué)生參加了這次競賽.為了解本次競賽的成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù),滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).請你根據(jù)下面的頻率分布表,解答下列問題:
序號
(i)分組
(分?jǐn)?shù))本組中間值
(Gi)頻數(shù)
(人數(shù))頻率
(Fi)1(60,70)65①0.122[70,80)7520②3[80,90)85③0.244[90,100]95④⑤合
計(jì)501(1)填充頻率分布表中的空格(在解答中直接寫出對應(yīng)空格序號的答案);
(2)為鼓勵更多的學(xué)生了解“數(shù)學(xué)史”知識,成績不低于85分的同學(xué)能獲獎,請估計(jì)在參賽的800名學(xué)生中大概有多少同學(xué)獲獎?
(3)請根據(jù)頻率分布表估計(jì)該校高二年級參賽的800名同學(xué)的平均成績.答案:(1)①為6,②為0.4,③為12,④為12⑤為0.24.(5分)(2)(12×0.24+0.24)×800=288,即在參加的800名學(xué)生中大概有288名同學(xué)獲獎.(9分)(3)65×0.12+75×0.4+85×0.24+95×0.24=81(4)估計(jì)平均成績?yōu)?1分.(12分)10.在區(qū)間[-1,1]上任取兩個(gè)數(shù)s和t,則關(guān)于x的方程x2+sx+t=0的兩根都是正數(shù)的概率是[
]A.
B.
C.
D.答案:A11.方程2x2+ky2=1表示的曲線是長軸在y軸的橢圓,則實(shí)數(shù)k的范圍是()A.(0,+∞)B.(2,+∞)C.(0,2)D.(2,0)答案:橢圓方程化為x212+y21k=1.焦點(diǎn)在y軸上,則1k>12,即k<2.又k>0,∴0<k<2.故選C.12.在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中,下列說法正確的是()
①若K2的觀測值滿足K2≥6.635,我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系,那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺病;
②從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有99%的把握認(rèn)為吸煙與患病有關(guān)系時(shí),我們說某人吸煙,那么他有99%的可能患有肺?。?/p>
③從統(tǒng)計(jì)量中得知有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系,是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤.
A.①
B.①③
C.③
D.②答案:C13.我們稱正整數(shù)n為“好數(shù)”,如果n的二進(jìn)制表示中1的個(gè)數(shù)多于0的個(gè)數(shù).如6=(110):為好數(shù),1984=(11111000000);不為好數(shù),則:
(1)二進(jìn)制表示中恰有5位數(shù)碼的好數(shù)共有______個(gè);
(2)不超過2012的好數(shù)共有______個(gè).答案:(1)二進(jìn)制表示中恰有5位數(shù)碼的二進(jìn)制數(shù)分別為:10000,10001,10010,10011,10100,10101,10110,10111,11000,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111,共十六個(gè)數(shù),再結(jié)合好數(shù)的定義,得到其中好數(shù)有11個(gè);(2)整數(shù)2012的二進(jìn)制數(shù)為:11111011100,它是一個(gè)十一位的二進(jìn)制數(shù).其中一位的二進(jìn)制數(shù)是:1,共有C11個(gè);其中二位的二進(jìn)制數(shù)是:11,共有C22個(gè);
其中三位的二進(jìn)制數(shù)是:101,110,111,共有C12+C22個(gè);
其中四位的二進(jìn)制數(shù)是:1011,1101,1110,1111,共有C23+C33個(gè);
其中五位的二進(jìn)制數(shù)是:10011,10101,10110,11001,11010,11100,10111,11011,11101,11110,11111,共有C24+C34+C44個(gè);
以此類推,其中十位的二進(jìn)制數(shù)是:共有C49+C59+C69+C79+C89+C99個(gè);其中十一位的小于2012二進(jìn)制數(shù)是:共有24+4個(gè);一共不超過2012的好數(shù)共有1164個(gè).故1065個(gè)14.如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,AB為直徑,若PA⊥AB,PO過AC的中點(diǎn)M,求證:PC是⊙O的切線.答案:證明:連接OC,∵PA⊥AB,∴∠PA0=90°.(1分)∵PO過AC的中點(diǎn)M,OA=OC,∴PO平分∠AOC.∴∠AOP=∠COP.(3分)∴在△PAO與△PCO中有OA=OC,∠AOP=∠COP,PO=PO.∴△PAO≌△PCO.(6分)∴∠PCO=∠PA0=90°.即PC是⊙O的切線.(7分)15.在圖中,M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點(diǎn),若從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N,沿怎么樣的路線路程最短?答案:沿圓柱體的母線MN將圓柱的側(cè)面剪開輔平,得出圓柱的側(cè)面展開圖,從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N點(diǎn),實(shí)際上是從側(cè)面展開圖的長方形的一個(gè)頂點(diǎn)M到達(dá)不相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)N.而兩點(diǎn)間以線段的長度最短.所以最短路線就是側(cè)面展開圖中長方形的一條對角線.如圖所示.16.把函數(shù)y=ex的圖像按向量=(2,3)平移,得到y(tǒng)=f(x)的圖像,則f(x)=(
)
A.ex+2+3
B.ex+2-3
C.ex-2+3
D.ex-2-3答案:C17.用“輾轉(zhuǎn)相除法”求得和的最大公約數(shù)是(
)A.B.C.D.答案:D解析:是和的最大公約數(shù),也就是和的最大公約數(shù)18.已知平面向量=(3,1),=(x,3),且⊥,則實(shí)數(shù)x的值為()
A.9
B.1
C.-1
D.-9答案:C19.設(shè)過點(diǎn)A(p,0)(p>0)的直線l交拋物線y2=2px(p>0)于B、C兩點(diǎn),
(1)設(shè)直線l的傾斜角為α,寫出直線l的參數(shù)方程;
(2)設(shè)P是BC的中點(diǎn),當(dāng)α變化時(shí),求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程,并化為普通方程.答案:(1)l的參數(shù)方程為x=p+tcosαy=tsinα(t為參數(shù))其中α≠0(2)將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程中有:t2sin2α-2ptcosα-2p2=0設(shè)B、C兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為t1,t2,其中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)P所對應(yīng)的參數(shù)為t1+t22,由t1+t2=2pcosαsin2αt1t2=-2p2sin2α,當(dāng)α≠90°時(shí),應(yīng)有x=p+t1+t22cosα=p+ptan2αy=t1+t22sinα=ptanα(α為參數(shù))消去參數(shù)得:y2=px-p2當(dāng)α=90°時(shí),P與A重合,這時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(p,0),也是方程的解綜上,P點(diǎn)的軌跡方程為y2=px-p220.已知x、y的取值如下表:x0134y2.24.34.86.7從散點(diǎn)圖分析,y與x線性相關(guān),且回歸方程為y=0.95x+a,則a=______.答案:點(diǎn)(.x,.y)在回歸直線上,計(jì)算得.x=2,.y=4.5;代入得a=2.6;故為2.6.21.電子手表廠生產(chǎn)某批電子手表正品率為,次品率為,現(xiàn)對該批電子手表進(jìn)行測試,設(shè)第X次首次測到正品,則P(1≤X≤2013)等于()
A.1-()2012
B.1-()2013
C.1-()2012
D.1-()2013答案:B22.
如圖梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的斜二側(cè)直觀圖,若A1D1∥O′y′A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=1,則四邊形ABCD的面積是()
A.10
B.5
C.2
D.10
答案:B23.已知三角形ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A(2,3),AB邊上的高所在的直線方程為x-2y+3=0,角B的平分線所在的直線方程為x+y-4=0,求此三角形三邊所在的直線方程.答案:由題意可得AB邊的斜率為-2,由點(diǎn)斜式求得AB邊所在的直線方程為y-3=-2(x-2),即2x+y-7=0.由2x+y-7=0x+y-4=0
求得x=3y=1,故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1).設(shè)點(diǎn)A關(guān)于角B的平分線所在的直線方程為x+y-4=0的對稱點(diǎn)為M(a,b),則M在BC邊所在的直線上.則由b-3a-2=-1a+22+b+32-4=0
求得a=1b=2,故點(diǎn)M(1,2),由兩點(diǎn)式求得BC的方程為y-12-1=x-31-3,即x+2y-5=0.再由x-2y+3=0x+2y-5=0求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,52),由此可得得AC的方程為x=2.24.F1,F(xiàn)2是橢圓x2a2+y2b2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),從F1引∠F1PF2的外角平分線的垂線,交F2P的延長線于M,則點(diǎn)M的軌跡是______.答案:設(shè)從F1引∠F1PF2的外角平分線的垂線,垂足為R∵△PF1M中,PR⊥F1M且PR是∠F1PM的平分線∴|MP|=|F1P|,可得|PF1|+|PF2|=|PM|+|PF2|=|MF2|根據(jù)橢圓的定義,可得|PF1|+|PF2|=2a,∴|MF2|=2a,即動點(diǎn)M到點(diǎn)F2的距離為定值2a,因此,點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F2為圓心,半徑為2a的圓.故為:以點(diǎn)F2為圓心,半徑為2a的圓.25.求證:若圓內(nèi)接四邊形的兩條對角線互相垂直,則從對角線交點(diǎn)到一邊中點(diǎn)的線段長等于圓心到該邊對邊的距離.答案:以兩條對角線的交點(diǎn)為原點(diǎn)O、對角線所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系,(如圖所示)
設(shè)A(-a,0),B(0,-b),C(c,0),D(0,d),則CD的中點(diǎn)E(c2,d2),AB的中點(diǎn)H(-a2,-b2).又圓心G到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,故圓心G的橫坐標(biāo)等于AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo),等于c-a2,圓心G的縱坐標(biāo)等于BD中點(diǎn)的縱坐標(biāo),等于d-b2.即圓心G(c-a2,d-b2),∴|OE|2=c2+d24,|GH|2=(c-a2+a2)2+(d-b2+b2)2=c2+d24,∴|OE|=|GH|,故要證的結(jié)論成立.26.P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA+3PB+7PC=0,則△PAC與△ABC面積的比為______.答案:(如圖)分別延長
PB、PC
至
B1、C1,使
PB1=3PB,PC1=7PC,則由已知可得:PA+PB1+PC1=0,故點(diǎn)P是三角形
AB1C1
的重心,設(shè)三角形
AB1C1
的面積為
3S,則S△APC1=S△APB1=S△PB1C1=S,而S△APC=17S△APC1=S7,S△ABP=13S△APB1=S3,S△PBC=13×17S△PB1C1=S21,所以△PAC與△ABC面積的比為:S7S7+S3+S21=311,故為:31127.一口袋內(nèi)裝有5個(gè)黃球,3個(gè)紅球,現(xiàn)從袋中往外取球,每次取出一個(gè),取出后記下球的顏色,然后放回,直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止,停止時(shí)取球的次數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量,則P(ξ=12)=______.(填算式)答案:若ξ=12,則取12次停止,第12次取出的是紅球,前11次中有9次是紅球,∴P(ξ=12)=C119(38)9×(58)2×38=C911(38)10(58)2
故為C911(38)10(58)228.如果圓x2+y2+Gx+Ey+F=0與x軸相切于原點(diǎn),那么()A.F=0,G≠0,E≠0B.E=0,F(xiàn)=0,G≠0C.G=0,F(xiàn)=0,E≠0D.G=0,E=0,F(xiàn)≠0答案:圓與x軸相切于原點(diǎn),則圓心在y軸上,G=0,圓心的縱坐標(biāo)的絕對值等于半徑,F(xiàn)=0,E≠0.故選C.29.如圖所示,判斷正整數(shù)x是奇數(shù)還是偶數(shù),(1)處應(yīng)填______.答案:根據(jù)程序的功能是判斷正整數(shù)x是奇數(shù)還是偶數(shù),結(jié)合數(shù)的奇偶性的定義,我們可得當(dāng)滿足條件是x是奇數(shù),不滿足條件時(shí)x為偶數(shù)故(1)中應(yīng)填寫r=1故為:r=130.設(shè)某種動物由出生算起活到10歲的概率為0.9,活到15歲的概率為0.6.現(xiàn)有一個(gè)10歲的這種動物,它能活到15歲的概率是______.答案:設(shè)活過10歲后能活到15歲的概率是P,由題意知0.9×P=0.6,解得P=23即一個(gè)10歲的這種動物,它能活到15歲的概率是23故為:23.31.對某種花卉的開放花期追蹤調(diào)查,調(diào)查情況如表:
花期(天)11~1314~1617~1920~22個(gè)數(shù)20403010則這種卉的平均花期為______天.答案:由表格知,花期平均為12天的有20個(gè),花期平均為15天的有40個(gè),花期平均為18天的有30個(gè),花期平均為21天的有10個(gè),∴這種花卉的評價(jià)花期是12×20+15×40+18×30+21×10100=16,故為:1632.若a>b>0,則,,,從大到小是_____答案:>>>解析:,又ab>0,;即。故有:>>>33.利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法計(jì)算y=x2與y=4所圍成的區(qū)域Ω的面積時(shí),可以先運(yùn)行以下算法步驟:
第一步:利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)在[0,1]區(qū)間內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)a,b;
第二步:對隨機(jī)數(shù)a,b實(shí)施變換:答案:根據(jù)題意可得,點(diǎn)落在y=x2與y=4所圍成的區(qū)域Ω的點(diǎn)的概率是100-34100=66100,矩形的面積為4×4=16,陰影部分的面積為S,則有S16=66100,∴S=10.56.故為:10.56.34.在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,則△ABC外接圓半徑r=a2+b22.運(yùn)用類比方法,若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長度分別為a,b,c,則其外接球的半徑R=______.答案:直角三角形外接圓半徑為斜邊長的一半,由類比推理可知若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長度分別為a,b,c,將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體,其外接球的半徑R為長方體對角線長的一半.故為a2+b2+c22故為:a2+b2+c2235.如圖所示,I為△ABC的內(nèi)心,求證:△BIC的外心O與A、B、C四點(diǎn)共圓.答案:證明:連接OB、BI、OC,由O是外心知∠IOC=2∠IBC.由I是內(nèi)心知∠ABC=2∠IBC.從而∠IOC=∠ABC.同理∠IOB=∠ACB.而∠A+∠ABC+∠ACB=180°,故∠BOC+∠A=180°,于是O、B、A、C四點(diǎn)共圓.36.設(shè)O是正△ABC的中心,則向量AO,BO.CO是()
A.相等向量
B.模相等的向量
C.共線向量
D.共起點(diǎn)的向量答案:B37.在△ABC中,已知A(2,3),B(8,-4),點(diǎn)G(2,-1)在中線AD上,且|AG|=2|GD|,則C的坐標(biāo)為______.答案:設(shè)C(x,y),則D(8+x2,-4+y2),再由AG=2GD,得(0,-4)=2(4+x2,-2+y2),∴4+x=0,-2+y=-4,即C(-4,-2)故為:(-4,-2).38.設(shè)z∈C,|z|≤2,則點(diǎn)Z表示的圖形是()A.直線x=2的左半平面B.半徑為2的圓面C.直線x=2的右半平面D.半徑為2的圓答案:由題意z∈C,|z|≤2,由得數(shù)的幾何意義知,點(diǎn)Z表示的圖形是半徑為2的圓面,故選B39.擬定從甲地到乙地通話m分鐘的電話費(fèi)由f(m)=1.06(0.50×[m]+1)給出,其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整數(shù)(例如[3]=3,[3.7]=4,[3.1]=4),則從甲地到乙地通話時(shí)間為5.5分鐘的話費(fèi)為()A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77C答案:由[m]是大于或等于m的最小整數(shù)可得[5.5]=6.所以f(5.5)=1.06×(0.50×[5.5]+1)=1.06×4=4.24.故選:C.40.如圖,AB,AC分別是⊙O的切線和割線,且∠C=45°,∠BDA=60°,CD=6,則切線AB的長是______.答案:過點(diǎn)A作AM⊥BD與點(diǎn)M.∵AB為圓O的切線∴∠ABD=∠C=45°∵∠BDA=60°∴∠BAD=75°,∠DAM=30°,∠BAM=45°設(shè)AB=x,則AM=22x,在直角△AMD中,AD=63x由切割線定理得:AB2=AD?ACx2=63x(63x+6)解得:x1=6,x2=0(舍去)故AB=6.故是:6.41.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果對于任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
f(x1)+f(x2)2=C成立(其中C為常數(shù)),則稱函數(shù)y=f(x)在D上的均值為C,現(xiàn)在給出下列4個(gè)函數(shù):①y=x3②y=4sinx③y=lgx④y=2x,則在其定義域上的均值為
2的所有函數(shù)是下面的()A.①②B.③④C.①③④D.①③答案:由題意可得,均值為2,則f(x1)+f(x2)2=2即f(x1)+f(x2)=4①:y=x3在定義域R上單調(diào)遞增,對應(yīng)任意的x1,則存在唯一x2滿足x13+x23=4①正確②:y=4sinx,滿足4sinx1+4sinx2=4,令x1=π2,則根據(jù)三角函數(shù)的周期性可得,滿足sinx2=0的x2無窮多個(gè),②錯(cuò)誤③y=lgx在(0,+∞)單調(diào)遞增,對應(yīng)任意的x1>0,則滿足lgx1+lgx2=4的x2唯一存在③正確④y=2x滿足2x1+2x2=4,令x1=3時(shí)x2不存在④錯(cuò)誤故選D.42.平面向量a與b的夾角為60°,a=(2,0),|b|=1
則|a+2b|=______.答案:∵平面向量a與b的夾角為60°,a=(2,0),|b|=1
∴|a+2b|=(a+2b)2=a2+4×a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=23.故為:23.43.一組數(shù)據(jù)12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50的中位數(shù)是()
A.31
B.36
C.35
D.34答案:B44.在某電視歌曲大獎賽中,最有六位選手爭奪一個(gè)特別獎,觀眾A,B,C,D猜測如下:A說:獲獎的不是1號就是2號;A說:獲獎的不可能是3號;C說:4號、5號、6號都不可能獲獎;D說:獲獎的是4號、5號、6號中的一個(gè).比賽結(jié)果表明,四個(gè)人中恰好有一個(gè)人猜對,則猜對者一定是觀眾
獲特別獎的是
號選手.答案:C,3.解析:推理如下:因?yàn)橹挥幸蝗瞬聦?,而C與D互相否定,故C、D中一人猜對。假設(shè)D對,則推出B也對,與題設(shè)矛盾,故D猜錯(cuò),所以猜對者一定是C;于是B一定猜錯(cuò),故獲獎?wù)呤?號選手(此時(shí)A錯(cuò)).45.某次乒乓球比賽的決賽在甲乙兩名選手之間舉行,比賽采用五局三勝制,按以往比賽經(jīng)驗(yàn),甲勝乙的概率為23.
(1)求比賽三局甲獲勝的概率;
(2)求甲獲勝的概率;
(3)設(shè)甲比賽的次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.答案:記甲n局獲勝的概率為Pn,n=3,4,5,(1)比賽三局甲獲勝的概率是:P3=C33(23)3=827;(2)比賽四局甲獲勝的概率是:P4=C23(23)3
(13)=827;比賽五局甲獲勝的概率是:P5=C24(13)2(23)3=1681;甲獲勝的概率是:P3+P4+P5=6481.(3)記乙n局獲勝的概率為Pn′,n=3,4,5.P3′=C33(13)3=127,P4′=C23(13)3
(23)=227;P5′=C24(13)3(23)2=881;故甲比賽次數(shù)的分布列為:X345P(X)P3+P3′P4+P4′P5+P5′所以甲比賽次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是:EX=3(127+827)+4(827+227)+5(1681+881
)=10727.46.實(shí)數(shù)變量m,n滿足m2+n2=1,則坐標(biāo)(m+n,mn)表示的點(diǎn)的軌跡是()
A.拋物線
B.橢圓
C.雙曲線的一支
D.拋物線的一部分答案:A47.根據(jù)《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定:車輛駕駛員血液酒精濃度在20~80mg/100mL(不含80)之間,屬于酒后駕車;血液酒精濃度在80mg/100mL(含80)以上時(shí),屬醉酒駕車.據(jù)有關(guān)報(bào)道,2009年8月15日至8
月28日,某地區(qū)查處酒后駕車和醉酒駕車共500人,如圖是對這500人血液中酒精含量進(jìn)行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖,則屬于醉酒駕車的人數(shù)約為()A.25B.50C.75D.100答案:∵血液酒精濃度在80mg/100ml(含80)以上時(shí),屬醉酒駕車,通過頻率分步直方圖知道屬于醉駕的頻率是(0.005+0.01)×10=0.15,∵樣本容量是500,∴醉駕的人數(shù)有500×0.15=75故選C.48.有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品,其中次品率是20%,對這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查,每次抽出一件,如果抽出次品則抽查終止,否則繼續(xù)抽查,直到抽出次品,但抽查次數(shù)最多不超過9次,那么抽查次數(shù)為9次的概率為(
)
A.0.89
B.0.88×0.2
C.0.88
D.0.28×0.8答案:C49.若f(x)=x2,則對任意實(shí)數(shù)x1,x2,下列不等式總成立的是(
)
A.f()≤
B.f()<
C.f()≥
D.f()>答案:A50.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,2)
D.(2,0)答案:B第3卷一.綜合題(共50題)1.下列各圖形不是函數(shù)的圖象的是()A.
B.
C.
D.
答案:由函數(shù)的概念,B中有的x,存在兩個(gè)y與x對應(yīng),不符合函數(shù)的定義,而ACD均符合.故選B2.
若向量,滿足||=||=2,與的夾角為60°,則|+|=()
A.
B.2
C.4
D.12答案:B3.已知拋物線C的參數(shù)方程為x=8t2y=8t(t為參數(shù)),設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,A為垂足,如果直線AF的斜率為-3,那么|PF|=______.答案:把拋物線C的參數(shù)方程x=8t2y=8t(t為參數(shù)),消去參數(shù)化為普通方程為y2=8x.故焦點(diǎn)F(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2,再由直線FA的斜率是-3,可得直線FA的傾斜角為120°,設(shè)準(zhǔn)線和x軸的交點(diǎn)為M,則∠AFM=60°,且MF=p=4,∴∠PAF=180°-120°=60°.∴AM=MF?tan60°=43,故點(diǎn)A(0,43),把y=43代入拋物線求得x=6,∴點(diǎn)P(6,43),故|PF|=(6-2)2+(43-0)2=8,故為8.4.i是虛數(shù)單位,a,b∈R,若ia+bi=1+i,則a+b=______.答案:∵ia+bi=1+i,a,b∈R,∴i(a-bi)(a+bi)(a-bi)=1+i,∴b+aia2+b2=1+i,化為b+ai=(a2+b2)+(a2+b2)i,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可得b=a2+b2a=a2+b2,a2+b2≠0解得a=b=12.∴a+b=1.故為1.5.從1,2,3,4,5中不放回地依次取2個(gè)數(shù),事件A=“第一次取到的是奇數(shù)”,B=“第二次取到的是奇數(shù)”,則P(B|A)=()
A.
B.
C.
D.答案:D6.設(shè)xi,yi
(i=1,2,…,n)是實(shí)數(shù),且x1≥x2≥…≥xn,y1≥y2≥…≥yn,而z1,z2,…,zn是y1,y2,…,yn的一個(gè)排列.求證:n
i-1(xi-yi)2≥n
i-1(xi-zi)2.答案:證明:要證ni-1(xi-yi)2≥ni-1(xi-zi)2,只需證
ni=1
yi2-2ni=1
xi?yi≥ni=1
zi2-2ni=1
xi?zi,由于ni=1
yi2=ni=1
zi2,故只需證ni=1
xi?zi≤ni=1
xi?yi
①.而①的左邊為亂序和,右邊為順序和,根據(jù)排序不等式可得①成立,故要證的不等式成立.7.直角△PIB中,∠PBO=90°,以O(shè)為圓心、OB為半徑作圓弧交OP于A點(diǎn).若弧AB等分△POB的面積,且∠AOB=α弧度,則(
)
A.tanα=α
B.tan=2α
C.sinα=2cosα
D.2sin=cosα答案:B8.函數(shù)f(x)為偶函數(shù),其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn),則該函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為()A.4B.2C.1D.0答案:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù),所以函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.又其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn),所以四個(gè)交點(diǎn)關(guān)于y軸對稱,不妨設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,x2,x3,x4,則根據(jù)對稱性可知x1+x2+x3+x4=0.故選D.9.△ABC中,∠A外角的平分線與此三角形外接圓相交于P,求證:BP=CP.
答案:證明:∠CBP=∠CAP=∠PAD又∠1=∠2由∠CAD=∠ACB+∠CBA=∠ACB+∠CBP+∠2=∠ACB+∠1+∠CBP=∠BCP+∠CBP∴∠BCP=∠CBP,∴BP=CP.10.直線y=33x繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后,所得直線與圓(x-2)2+y2=3的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是______.答案:∵直線y=33x的斜率為33,∴此直線的傾斜角為30°,∴此直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后傾斜角為60°,∴此直線旋轉(zhuǎn)后的方程為y=3x,由圓(x-2)2+y2=3,得到圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑r=3,∵圓心到直線y=3x的距離d=232=3=r,∴該直線與圓相切,則直線與圓(x-2)2+y2=3的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.故為:111.已知A(-1,2),B(2,-2),則直線AB的斜率是()
A.
B.
C.
D.答案:A12.已知函數(shù)f(x)=ax2+(a+3)x+2在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.答案:∵f(x)=ax2+(a+3)x+2,∴f′(x)=2ax+a+3,∵函數(shù)f(x)=ax2+x+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),∴f′(x)=2ax+a+3≥0在區(qū)間[1,+∞)恒成立.∴a≥02a×1+a+3≥0,解得a≥0,故為:a≥0.13.若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的反函數(shù),且y=f(x)的圖象過點(diǎn)(2,1),則f(x)=______.答案:因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的反函數(shù),且y=f(x)的圖象過點(diǎn)(2,1),所以函數(shù)y=ax經(jīng)過(1,2),所以a=2,所以函數(shù)y=f(x)=log2x.故為:log2x.14.若P=+,Q=+(a≥0),則P,Q的大小關(guān)系是()
A.P>Q
B.P=Q
C.P<Q
D.由a的取值確定答案:C15.設(shè)集合A={1,3},集合B={1,2,4,5},則集合A∪B=()A.{1,3,1,2,4,5}B.{1}C.{1,2,3,4,5}D.{2,3,4,5}答案:∵集合A={1,3},集合B={1,2,4,5},∴集合A∪B={1,2,3,4,5}.故選C.16.方程組的解集為()
A.{2,1}
B.{1,2}
C.{(2,1)}
D.(2,1)答案:C17.直線l1過點(diǎn)P(0,-1),且傾斜角為α=30°.
(I)求直線l1的參數(shù)方程;
(II)若直線l1和直線l2:x+y-2=0交于點(diǎn)Q,求|PQ|.答案:(Ⅰ)直線l1的參數(shù)方程為x=cos30°ty=-1+sin30°t即x=32ty=-1+12t(t為參數(shù))
(Ⅱ)將上式代入x+y-2=0,得32t-1+12t-2=0解得t=3(3-1)根據(jù)t的幾何意義得出|PQ|=|t|=3(3-1)18.已知|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為300,則|a+b|等于()A.13B.15C.17D.19答案:∵|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為300,∴a?b=|a||b|cos30°=2×3×32=3則|a+b|=a2+2a?b+b2=13故選A19.用隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽樣有以下幾個(gè)步驟:①將總體中的個(gè)體編號;②獲取樣本號碼;③選定開始的數(shù)字,這些步驟的先后順序應(yīng)為()A.①②③B.③②①C.①③②D.③①②答案:∵隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽樣,包含這樣的步驟,①將總體中的個(gè)體編號;②選定開始的數(shù)字,按照一定的方向讀數(shù);③獲取樣本號碼,∴把題目條件中所給的三項(xiàng)排序?yàn)椋孩佗邰?,故選C.20.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a
CB=b
CC1=c
則A1B=()A.a(chǎn)+b-cB.a(chǎn)-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c答案:A1B=A1A+AB=-CC1+CB-CA=-a+b-c故選D.21.(理)某單位有8名員工,其中有5名員工曾經(jīng)參加過一種或幾種技能培訓(xùn),另外3名員工沒有參加過任何技能培訓(xùn),現(xiàn)要從8名員工中任選3人參加一種新的技能培訓(xùn);
(I)求恰好選到1名曾經(jīng)參加過技能培訓(xùn)的員工的概率;
(Ⅱ)這次培訓(xùn)結(jié)束后,仍然沒有參加過任何技能培訓(xùn)的員工人數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.答案:(I)由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率,∵試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從8人中選3個(gè),共有C83=56種結(jié)果,滿足條件的事件是恰好選到1名曾經(jīng)參加過技能培訓(xùn)的員工,共有C51C32=15∴恰好選到1名已參加過其他技能培訓(xùn)的員工的概率P=1556(II)隨機(jī)變量X可能取的值是:0,1,2,3.P(X=0)=156P(X=1)=1556P(X=2)=1528P(X=3)=C35C38=528∴隨機(jī)變量X的分布列是X0123P15615561528528∴X的數(shù)學(xué)期望是1×1556+2×
1528+3×528=15822.若f(x)=ax(a>0且a≠1)的反函數(shù)g(x)滿足:g()<0,則函數(shù)f(x)的圖象向左平移一個(gè)單位后的圖象大致是下圖中的()
A.
B.
C.
D.
答案:B23.下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是()
①y=sin
x(x∈R
)是三角函數(shù);②三角函數(shù)是周期函數(shù);
③y=sin
x(x∈R
)是周期函數(shù).
A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③②①答案:B24.已知兩直線的方程分別為l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它們在坐標(biāo)系中的位置如圖所示()
A.b>0,d<0,a<c
B.b>0,d<0,a>c
C.b<0,d>0,a<c
D.b<0,d>0,a>c
答案:D25.若點(diǎn)P(-1,3)在圓x2+y2=m2上,則實(shí)數(shù)m=______.答案:∵點(diǎn)P(-1,3)在圓x2+y2=m2上,∴點(diǎn)P坐標(biāo)代入,得(-1)2+(3)2=m2,即m2=4,解之得m=±2.故為:±226.在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí),下面哪個(gè)敘述是正確的()
A.預(yù)報(bào)變量x軸上,解釋變量y軸上
B.解釋變量x軸上,預(yù)報(bào)變量y軸上
C.可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量x軸上
D.可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量y軸上答案:B27.如圖,△ABC中,D,E,F(xiàn)分別是邊BC,AB,CA的中點(diǎn),在以A、B、C、D、E、F為端點(diǎn)的有向線段中所表示的向量中,
(1)與向量FE共線的有
______.
(2)與向量DF的模相等的有
______.
(3)與向量ED相等的有
______.答案:(1)∵EF是△ABC的中位線,∴EF∥BC且EF=12BC,則與向量FE共線的向量是BC、BD、DC、CB、DB、CD;(2))∵DF是△ABC的中位線,∴DF∥AC且DF=12AC,則與向量DF的模相等的有CE,EA,EC,AF;(3)∵DE是△ABC的中位線,∴DE∥AB且DE=12AB,則與向量ED相等的有AF,F(xiàn)B.28.
在△ABC中,點(diǎn)D在線段BC的延長線上,且BC=3CD,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C、D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,則x的取值范圍是()
A.
B.
C.
D.答案:D29.已知f(x)=,a≠b,
求證:|f(a)-f(b)|<|a-b|.答案:證明略解析:方法一
∵f(a)=,f(b)=,∴原不等式化為|-|<|a-b|.∵|-|≥0,|a-b|≥0,∴要證|-|<|a-b|成立,只需證(-)2<(a-b)2.即證1+a2+1+b2-2<a2-2ab+b2,即證2+a2+b2-2<a2-2ab+b2.只需證2+2ab<2,即證1+ab<.當(dāng)1+ab<0時(shí),∵>0,∴不等式1+ab<成立.從而原不等式成立.當(dāng)1+ab≥0時(shí),要證1+ab<,只需證(1+ab)2<()2,即證1+2ab+a2b2<1+a2+b2+a2b2,即證2ab<a2+b2.∵a≠b,∴不等式2ab<a2+b2成立.∴原不等式成立.方法二
∵|f(a)-f(b)|=|-|==,又∵|a+b|≤|a|+|b|=+<+,∴<1.∵a≠b,∴|a-b|>0.∴|f(a)-f(b)|<|a-b|.30.長方體的長、寬、高之比是1:2:3,對角線長是214,則長方體的體積是
______.答案:長方體的長、寬、高之比是1:2:3,所以長方體的長、寬、高是x:2x:3x,對角線長是214,所以,x2+(2x)2+(3x)2=(214)2,x=2,長方體的長、寬、高是2,4,6;長方體的體積是:2×4×6=48故為:4831.已知橢圓的短軸長等于2,長軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn)間的距離等于5,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.答案:由題意可得2b=2a2+b2=(5)2,解得b=1a=2.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24+y2=1或y24+x2=1.故為x24+y2=1或y24+x2=1.32.已知△ABC和點(diǎn)M滿足.若存在實(shí)數(shù)使得成立,則m=()
A.2
B.3
C.4
D.5答案:B33.已知正方形ABCD的邊長為1,=,=,=,則的模等于(
)
A.0
B.2+
C.
D.2答案:D34.有一農(nóng)場種植一種水稻在同一塊稻田中連續(xù)8年的年平均產(chǎn)量如下:(單位:kg)
450
430
460
440
450
440
470
460;
則其方差為()
A.120
B.80
C.15
D.150答案:D35.已知直線y=kx+1與橢圓x25+y2m=1恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.m≥1B.m≥1,或0<m<1C.0<m<5,且m≠1D.m≥1,且m≠5答案:由于直線y=kx+1恒過點(diǎn)M(0,1)要使直線y=kx+1與橢圓x25+y2m=1恒有公共點(diǎn),則只要M(0,1)在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上從而有m>0m≠505+1m≤1,解可得m≥1且m≠5故選D.36.若不共線的平面向量,,兩兩所成角相等,且||=1,||=1,||=3,則|++|等于(
)
A.2
B.5
C.2或5
D.或答案:A37.5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動小組,每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組,則不同的報(bào)名方法共有()
A.10種
B.20種
C.2
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