新人教 八年級(jí)下數(shù)學(xué) 《數(shù)學(xué)思想的歸納和應(yīng)用》

數(shù)學(xué)思想方法的歸納及應(yīng)用龍南中學(xué)

廖莉林xyM型N型需要原料A布料：1.1米B布料：0.4米A布料：0.6米B布料：0.9米每套獲利50元45元2、求函數(shù)y=3x–2和y=2x+3圖像與y軸所圍成的面積。3-2C（5，13）DABxy1、已知一次函數(shù)y=3x–5與y=2x+7的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（12、31），的解是

則方程組｛y=3x–5y=2x+7函數(shù)思想數(shù)形結(jié)合練一練

例1、已知某一次函數(shù)自變量X的值范圍0≤X≤10,函數(shù)y的取值范圍10≤y≤30,求此函數(shù)解析式解：分析當(dāng)X=0時(shí)，y=?而當(dāng)X=10時(shí)，y=?分類討論①

∵當(dāng)K＞0時(shí)，y隨x的增大而增大,即（0，）、（10，）兩點(diǎn)的座標(biāo)在函數(shù)圖像上設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+bb=1010k+b=30∴得方程組b=30k=-2解得∴一次函數(shù)解析式為：y=2x+10②∵當(dāng)K＜0時(shí)，y隨x的增大而減小,即（0，）、（10，）兩點(diǎn)的座標(biāo)在函數(shù)圖像上30b=3010k+b=10∴得方程組∴一次函數(shù)解析式為：y=-2x+30b=10k=2解得301010

例1、已知某一次函數(shù)自變量X的值范圍0≤X≤10,函數(shù)y的取值范圍10≤y≤30,求此函數(shù)解析式解：分析數(shù)形結(jié)合(1)設(shè)一次函數(shù)解析式為y1=k1x+10Oxy101030(2)設(shè)一次函數(shù)解析式為y2=k2x+30∵點(diǎn)A（10，30）在直線y1=k1x+10上AB∴10k1+10=30得k1=2∴一次函數(shù)解析式為y1=2x+10∵點(diǎn)A（10，10）在直線y2=k2x+30上∴10k2+30=10得k2=-2∴一次函數(shù)解析式為y2=-2x+10例2：已知雅美服裝廠現(xiàn)在公司共有A種布料70m，B種布料52m，計(jì)劃生產(chǎn)M、N兩種型號(hào)時(shí)裝共80套。已知做一套M型號(hào)的時(shí)裝需用A布料1.1米，B種布料0.4米，可獲利50元；做一套N型號(hào)的時(shí)裝需用A布料0.6米，B種布料0.9米，可獲利45元，設(shè)生產(chǎn)M型號(hào)的時(shí)裝套數(shù)為x，用這批布料生產(chǎn)兩種型號(hào)的時(shí)裝所獲得的利潤(rùn)為y元。⑴求總利潤(rùn)y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍；⑵當(dāng)計(jì)劃生產(chǎn)M型號(hào)的時(shí)裝多少套時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？M型號(hào)時(shí)裝(米／套）N型號(hào)時(shí)裝(米／套）需要原料A布料：B布料：A布料：B布料：每套獲利分析1.10.60.40.950元45元M型N型需要原料A布料：1.1米B布料：0.4米A布料：0.6米B布料：0.9米每套獲利50元45元分析A(70)B(52)總利潤(rùn)（元）MN需要原料（米）

50x45(80-x)x80-

x解：（1）即y=5x+3600y=

50x+45(80-x)⑴求總利潤(rùn)y與生產(chǎn)M型號(hào)x套的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍；分析A(70)B(52)總利潤(rùn)（元）MN需要原料

1.1x0.4x50x0.6(80–x)0.9(80–x)45(80-x)1.1x+0.6(80–x)0.4x+0.9(80–x)x80-

x解：（1）即y=5x+3600y=50x+45(80-x)總共生產(chǎn)80套：0≤x≤80∵共有A種布料70m，B種布料52m。1.1x+0.6(80-x)≤700.4x+0.9(80-x)≤520.5x+48≤7072-0.5x≤52即解得40≤x≤44∴∴y=5x+3600(40≤x≤44)⑵當(dāng)計(jì)劃生產(chǎn)M型號(hào)的時(shí)裝多少套時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？分析A(70)B(52)總利潤(rùn)（元）MN需要原料

1.1x0.4x50x0.6(80–x)0.9(80–x)45(80-x)1.1x+0.6(80–x)0.4x+0.9(80–x)x80-

x解：（2）∵40≤x≤44且X為正整數(shù)∴X=40、41、42、43、44∴①當(dāng)X=40時(shí)，y=3800元②當(dāng)X=41時(shí)，y=3805元③當(dāng)X=42時(shí)，y=3810元④當(dāng)x=43時(shí)，y=3815元⑤當(dāng)x=44時(shí)，y=3820元∴當(dāng)生產(chǎn)44套M型號(hào)時(shí)，N型時(shí)裝36套時(shí)獲得最大利潤(rùn)3820元∵一次函數(shù)y=5X+3600中K=5＞0,y隨X的增大而增大利用一次函數(shù)的增減性解決最值問題解決此類問題時(shí)，應(yīng)先正確建立函數(shù)模型，確定自變量的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大（小）值⑵當(dāng)計(jì)劃生產(chǎn)M型號(hào)的時(shí)裝多少套時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？同步練習(xí)：自2010年6月1日起，某省開始實(shí)施家電以舊換新政策，政府對(duì)以舊換新家電給予補(bǔ)貼，具體補(bǔ)貼方式如下表：補(bǔ)貼額度新家電銷售價(jià)格的10﹪說明：①電視補(bǔ)貼的金額最多不超過400元／臺(tái)；②冰箱補(bǔ)貼的金額最多不超過300元／臺(tái)③洗衣機(jī)補(bǔ)貼的金額最多不超過250元／臺(tái)進(jìn)價(jià)（元／臺(tái)）售價(jià)（元／臺(tái)）電視39004300冰箱20002400洗衣機(jī)15001800為此，某商場(chǎng)家電部準(zhǔn)備購進(jìn)電視、冰箱、洗衣機(jī)共100臺(tái)。這批貨的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表補(bǔ)貼額度新家電銷售價(jià)格的10﹪說明：①電視補(bǔ)貼的金額最多不超過400元／臺(tái)；②冰箱補(bǔ)貼的金額最多不超過300元／臺(tái)③洗衣機(jī)補(bǔ)貼的金額最多不超過250元／臺(tái)進(jìn)價(jià)（元／臺(tái)）售價(jià)（元／臺(tái)）電視39004300冰箱20002400洗衣機(jī)15001800（1）請(qǐng)分別求出y

與x之的函數(shù)解析式.（2）若商場(chǎng)決定購進(jìn)每種家電不少于30臺(tái)，則有幾種進(jìn)貨方案？怎樣安排進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)？此時(shí)政府需要支付補(bǔ)貼多少錢？解：（1）y

=400x+1800×10﹪x+2400×10﹪（100-2x）即y

=100x+24000W=

400x+300x+400(100-2x)即W

=-100x+40000若購進(jìn)的電視和洗衣機(jī)數(shù)量相同，均為x臺(tái)，這100臺(tái)家電政府補(bǔ)貼為y元,商場(chǎng)所獲利潤(rùn)為W元（利潤(rùn)=售價(jià)—進(jìn)價(jià)）補(bǔ)貼額度新家電銷售價(jià)格的10﹪說明：①電視補(bǔ)貼的金額最多不超過400元／臺(tái)；②冰箱補(bǔ)貼的金額最多不超過300元／臺(tái)③洗衣機(jī)補(bǔ)貼的金額最多不超過250元／進(jìn)價(jià)（元／臺(tái)）售價(jià)（元／臺(tái)）電視39004300冰箱20002400洗衣機(jī)15001800（2）根據(jù)題意，得｛x≥30100–2x≥30解得30≤x≤35∵x為整數(shù)，∴x=30，31，32，33，34，35，因此有6種進(jìn)貨方案若購進(jìn)的電視和洗衣機(jī)數(shù)量相同，均為x臺(tái)，這100臺(tái)家電政府補(bǔ)貼為y元,商場(chǎng)所獲利潤(rùn)為W元（利潤(rùn)=售價(jià)—進(jìn)價(jià)）（1）請(qǐng)分別求出y

與x之的函數(shù)解析式.（2）若商場(chǎng)決定購進(jìn)每種家電不少于30臺(tái)，則有幾種進(jìn)貨方案？怎樣安排進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)？此時(shí)政府需要支付補(bǔ)貼多少錢？（2）若商場(chǎng)決定購進(jìn)每種家電不少于30臺(tái)，則有幾種進(jìn)貨方案？怎樣安排進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)？此時(shí)政府需要支付補(bǔ)貼多少錢？（2）根據(jù)題意，得｛x≥30100–2x≥30解得30≤x≤35∵x為整數(shù)，∴x=30，31，32，33，34，35，因此有6種進(jìn)貨方案解：（1）y

=100x+24000W

=-100x+40000∵對(duì)于一次函數(shù)W

=-100x+40000中k=-100＜0,W隨x的增大而減小且30≤x≤35，∴當(dāng)x取最小值30時(shí)，W有最大值即當(dāng)商場(chǎng)購進(jìn)電視、洗衣機(jī)各30臺(tái)，冰箱40臺(tái)時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，此時(shí)政府需要補(bǔ)貼54000元利用一次函數(shù)的增減性解決最值問題解決方案設(shè)計(jì)問題時(shí)，靈活運(yùn)用函數(shù)思想、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想有助于實(shí)際解決問題3.方程思想方程方法是指對(duì)所求數(shù)學(xué)問題通過列方程（組）使問題得解的方法.在函數(shù)及其圖象中，方程方法的應(yīng)用主要體現(xiàn)在運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式中.3.函數(shù)思想函數(shù)方法就是應(yīng)用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來分析問題中的數(shù)量關(guān)系，抽象升華為函數(shù)的模型，進(jìn)而解決有關(guān)問題的方法，函數(shù)的實(shí)質(zhì)是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，靈活運(yùn)用函數(shù)方法可以解決許多數(shù)學(xué)問題.1.分類討論思想分類討論思想是在對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行分類地過程中尋求答案的一種思想方法。分類即不能重復(fù)，也不能遺漏，最后要做到全面總結(jié)。函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想小結(jié)2.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合法是指將數(shù)與形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究、解決問題的一種思想方法.數(shù)形結(jié)合法在解決與函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，能起到事半功倍的作用.