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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè),,,則()A. B. C. D.2.設(shè)函數(shù),若函數(shù)有三個零點,則()A.12 B.11 C.6 D.33.設(shè),其中a,b是實數(shù),則()A.1 B.2 C. D.4.已知實數(shù)滿足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.5.下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是(1)對于命題使得,則都有;(2)已知,則(3)已知回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為(4,5),則回歸直線方程為;(4)“”是“”的充分不必要條件.A.1 B.2 C.3 D.46.中國古代用算籌來進行記數(shù),算籌的擺放形式有縱橫兩種形式(如圖所示),表示一個多位數(shù)時,像阿拉伯記數(shù)一樣,把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,其中個位、百位、方位……用縱式表示,十位、千位、十萬位……用橫式表示,則56846可用算籌表示為()A. B. C. D.7.在區(qū)間上隨機取一個數(shù),使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.8.對于正在培育的一顆種子,它可能1天后發(fā)芽,也可能2天后發(fā)芽,….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數(shù)統(tǒng)計表,則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是()發(fā)芽所需天數(shù)1234567種子數(shù)43352210A.2 B.3 C.3.5 D.49.已知是空間中兩個不同的平面,是空間中兩條不同的直線,則下列說法正確的是()A.若,且,則B.若,且,則C.若,且,則D.若,且,則10.是定義在上的增函數(shù),且滿足:的導(dǎo)函數(shù)存在,且,則下列不等式成立的是()A. B.C. D.11.函數(shù)在上單調(diào)遞減,且是偶函數(shù),若,則的取值范圍是()A.(2,+∞) B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)C.(1,2) D.(﹣∞,1)12.已知復(fù)數(shù),若,則的值為()A.1 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,且,則實數(shù)m的值是________.14.平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,己知A(3,1),B(-1,3),若點C滿足,其中α,β∈R,且α+β=1,則點C的軌跡方程為15.已知集合,,則____________.16.設(shè),若關(guān)于的方程有實數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知是拋物線:的焦點,點在上,到軸的距離比小1.(1)求的方程;(2)設(shè)直線與交于另一點,為的中點,點在軸上,.若,求直線的斜率.18.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,E,F(xiàn)分別是棱AB,PC的中點.求證:(1)EF//平面PAD;(2)平面PCE⊥平面PCD.19.(12分)某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計劃,需了解年研發(fā)資金投入量x(單位:億元)對年銷售額y(單位:億元)的影響.該公司對歷史數(shù)據(jù)進行對比分析,建立了兩個函數(shù)模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù),i=1,2,?,12,并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理,得到了右側(cè)的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814(1)設(shè)ui和yi的相關(guān)系數(shù)為r1,xi和(2)(i)根據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);(ii)若下一年銷售額y需達到90億元,預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元?附:①相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi-x②參考數(shù)據(jù):308=4×77,90≈9.4868,e20.(12分)已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標(biāo)分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=2,動點C的軌跡為曲線G.(1)求曲線G的方程;(2)設(shè)直線l與曲線G交于M,N兩點,點D在曲線G上,是坐標(biāo)原點,判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.21.(12分)已知(1)若,且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的范圍;(2)若函數(shù)有兩個極值點,且存在滿足,令函數(shù),試判斷零點的個數(shù)并證明.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)直線l與圓C交于A,B兩點,點P(2,1),求|PA|?|PB|的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
先利用換底公式將對數(shù)都化為以2為底,利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【詳解】,,,因此,故選:A.【點睛】本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.2.B【解析】
畫出函數(shù)的圖象,利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點個數(shù),然后轉(zhuǎn)化求解,即可得出結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,令,由圖可得關(guān)于的方程的解有兩個或三個(時有三個,時有兩個),所以關(guān)于的方程只能有一個根(若有兩個根,則關(guān)于的方程有四個或五個根),由,可得的值分別為,則故選B.【點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力,屬于??碱}型.3.D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,即,所以則故選:D【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計算,考驗計算,屬基礎(chǔ)題.4.B【解析】
作出約束條件的可行域,在可行域內(nèi)求的最小值即為的最小值,作,平移直線即可求解.【詳解】作出實數(shù)滿足不等式組的可行域,如圖(陰影部分)令,則,作出,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過點時,截距最小,故,即的最小值為.故選:B【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題,解題的關(guān)鍵是作出可行域、理解目標(biāo)函數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】
由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,即可判定是正確的;(2)中,根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì),即可判定是正確的;(3)中,由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程,即可判定是正確;(4)中,基本不等式和充要條件的判定方法,即可判定.【詳解】由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,可知命題使得,則都有,是錯誤的;(2)中,已知,正態(tài)分布曲線的性質(zhì),可知其對稱軸的方程為,所以是正確的;(3)中,回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為(4,5),由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程,可得回歸直線方程為是正確;(4)中,當(dāng)時,可得成立,當(dāng)時,只需滿足,所以“”是“”成立的充分不必要條件.【點睛】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用,其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性質(zhì),以及基本不等式的應(yīng)用等知識點的應(yīng)用,逐項判定是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】
根據(jù)題意表示出各位上的數(shù)字所對應(yīng)的算籌即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意可得,各個數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,個位,百位,萬位用縱式表示;十位,千位,十萬位用橫式表示,用算籌表示應(yīng)為:縱5橫6縱8橫4縱6,從題目中所給出的信息找出對應(yīng)算籌表示為中的.故選:.【點睛】本題主要考查學(xué)生的合情推理與演繹推理,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
根據(jù)直線與圓相交,可求出k的取值范圍,根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因為圓心,半徑,直線與圓相交,所以,解得所以相交的概率,故選C.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,幾何概型,屬于中檔題.8.C【解析】
根據(jù)表中數(shù)據(jù),即可容易求得中位數(shù).【詳解】由圖表可知,種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為,故選:C.【點睛】本題考查中位數(shù)的計算,屬基礎(chǔ)題.9.D【解析】
利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對選項做出判斷,舉出反例排除.【詳解】解:對于,當(dāng),且,則與的位置關(guān)系不定,故錯;對于,當(dāng)時,不能判定,故錯;對于,若,且,則與的位置關(guān)系不定,故錯;對于,由可得,又,則故正確.故選:.【點睛】本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型,以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷.10.D【解析】
根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得,構(gòu)建新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得為上的增函數(shù),從而可得正確的選項.【詳解】因為是定義在上的增函數(shù),故.又有意義,故,故,所以.令,則,故在上為增函數(shù),所以即,整理得到.故選:D.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,一般地,數(shù)的大小比較,可根據(jù)數(shù)的特點和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù),本題屬于中檔題.11.B【解析】
根據(jù)題意分析的圖像關(guān)于直線對稱,即可得到的單調(diào)區(qū)間,利用對稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍。【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)滿足是偶函數(shù),則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則在上遞增,所以要使,則有,變形可得,解可得:或,即的取值范圍為;故選:B.【點睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì),以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,有一定綜合性,屬于中檔題。12.D【解析】由復(fù)數(shù)模的定義可得:,求解關(guān)于實數(shù)的方程可得:.本題選擇D選項.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】
根據(jù)即可得出,從而求出m的值.【詳解】解:∵;∴;∴m=1.故答案為:1.【點睛】本題考查向量垂直的充要條件,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算.14.【解析】
根據(jù)向量共線定理得A,B,C三點共線,再根據(jù)點斜式得結(jié)果【詳解】因為,且α+β=1,所以A,B,C三點共線,因此點C的軌跡為直線AB:【點睛】本題考查向量共線定理以及直線點斜式方程,考查基本分析求解能力,屬中檔題.15.【解析】
由于,,則.16.【解析】
先求出,從而得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).即可得的最大值為,令,得函數(shù)取得最小值,由有實數(shù)解,,進而得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解:,當(dāng)時,;當(dāng)時,;函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).所以的最大值為,令,所以當(dāng)時,函數(shù)取得最小值,又因為方程有實數(shù)解,那么,即,所以實數(shù)的取值范圍是:.故答案為:【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問題,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)由拋物線定義可知,解得,故拋物線的方程為;(2)設(shè)直線:,聯(lián)立,利用韋達定理算出的中點,又,所以直線的方程為,求出,利用求解即可.【詳解】(1)設(shè)的準(zhǔn)線為,過作于,則由拋物線定義,得,因為到的距離比到軸的距離大1,所以,解得,所以的方程為(2)由題意,設(shè)直線方程為,由消去,得,設(shè),,則,所以,又因為為的中點,點的坐標(biāo)為,直線的方程為,令,得,點的坐標(biāo)為,所以,解得,所以直線的斜率為.【點睛】本題主要考查拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的運算求解能力.涉及拋物線的弦的中點,斜率問題時,可采用韋達定理或“點差法”求解.18.(1)見解析;(2)見解析【解析】
(1)取的中點構(gòu)造平行四邊形,得到,從而證出平面;(2)先證平面,再利用面面垂直的判定定理得到平面平面.【詳解】證明:(1)如圖,取的中點,連接,,是棱的中點,底面是矩形,,且,又,分別是棱,的中點,,且,,且,四邊形為平行四邊形,,又平面,平面,平面;(2),點是棱的中點,,又,,平面,平面,,底面是矩形,,平面,平面,且,平面,又平面,,,,又平面,平面,且,平面,又平面,平面平面.【點睛】本題主要考查線面平行的判定,面面垂直的判定,首選判定定理,是中檔題.19.(1)模型y=eλx+t的擬合程度更好;(2)(i)v=0.02x+3.84【解析】
(1)由相關(guān)系數(shù)求出兩個系數(shù),比較大小可得;(2)(i)先建立U額R0關(guān)于x的線性回歸方程,從而得出y(ii)把y=90代入(i)中的回歸方程可得x值.【詳解】本小題主要考查回歸分析等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、抽象概括能力及應(yīng)用意識,考查統(tǒng)計與概率思想、分類與整合思想,考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性.解:(1)r1r2則r1<r(2)(i)先建立U額R0由y=eλx+t,得lny=t+λx由于λ=i=1t=所以U額R0關(guān)于x所以lny=0.02x+3.84(ii)下一年銷售額y需達到90億元,即y=90,代入y=e0.02x+3.84又e4.4998≈90,所以所以x≈4.4998-3.84所以預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量約是32.99億元【點睛】本小題主要考查拋物線的定義、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、導(dǎo)數(shù)幾何意義等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等,考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性20.(1).(2)四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【解析】
(1)根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)證得,由此判斷出點的軌跡為橢圓,并由此求得曲線的方程.(2)將直線的斜率分成不存在或存在兩種情況,求出平行四邊形的面積,兩種情況下四邊形的面積都為,由此證得四邊形的面積為定值.【詳解】(1)因為圓E為△ABC的內(nèi)切圓,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|所以點C的軌跡為以點A和點B為焦點的橢圓(點不在軸上),所以c,a=2,b,所以曲線G的方程為,(2)因為,故四邊形為平行四邊形.當(dāng)直線l的斜率不存在時,則四邊形為為菱形,故直線MN的方程為x=﹣1或x=1,此時可求得四邊形OMDN的面積為.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l方程是y=kx+m,代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|點O到直線MN的距離d,由,得xD,yD,∵點D在曲線C上,所以將D點坐標(biāo)代入橢圓方程得1+2k2=2m2,由題意四邊形OMDN為平行四邊形,∴OMDN的面積為S,由1+2k2=2m2得S,故四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【點睛】本小題主要考查用定義法求軌跡方程,考查橢圓中四邊形面積的計算,考查橢圓中的定值問題,考查運算求解能力,屬于中檔題.21.(1)(2)函數(shù)有兩個
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