南京工業(yè)大學(xué)材料力學(xué)第二章

材料力學(xué)拉伸、壓縮與剪切2023年2月5日拉壓變形拉伸（壓縮）、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲剪切變形桿件的基本變形：扭轉(zhuǎn)變形彎曲變形

軸向拉伸與壓縮的概念和實(shí)例

直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力

直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)斜截面上的應(yīng)力

材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能

材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能主要內(nèi)容拉伸和壓縮是桿件基本受力與變形形式中最簡(jiǎn)單的一種，所涉及的一些基本原理與方法比較簡(jiǎn)單，但在材料力學(xué)中卻有一定的普遍意義。承受軸向載荷的拉（壓）桿在工程中的應(yīng)用非常廣泛。一些機(jī)器和結(jié)構(gòu)中所用的各種緊固螺栓，在緊固時(shí)，要對(duì)螺栓施加預(yù)緊力，螺栓承受軸向拉力，將發(fā)生伸長(zhǎng)變形。承受軸向載荷的拉（壓）桿在工程中的應(yīng)用非常廣泛。由汽缸、活塞、連桿所組成的機(jī)構(gòu)中，不僅連接汽缸缸體和汽缸蓋的螺栓承受軸向拉力，帶動(dòng)活塞運(yùn)動(dòng)的連桿由于兩端都是鉸鏈約束，因而也是承受軸向載荷的桿件。此外，起吊重物的鋼索、橋梁桁架結(jié)構(gòu)中的桿件等，也都是承受拉伸或壓縮的桿件。

斜拉橋承受拉力的鋼纜軸向拉伸與壓縮的概念和實(shí)例

作用在桿件上的外力合力的作用線與桿件軸線重合，桿件變形是沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短。拉（壓）桿的受力簡(jiǎn)圖FF拉伸FF壓縮受力特點(diǎn)與變形特點(diǎn)：直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力截面法包括以下三個(gè)步驟：（１）截開：在需要求內(nèi)力的截面處,假想地將桿截分為兩部分；（２）代替：將兩部分中的任一部分留下,并把棄去部分對(duì)留下部分的作用代之以作用在截開面上的內(nèi)力(力或力偶)；（３）平衡：對(duì)留下的部分建立平衡方程,根據(jù)其上的已知外力來(lái)計(jì)算桿在截開面上的未知內(nèi)力。

應(yīng)該注意:截開面上的內(nèi)力對(duì)留下部分而言已屬外力了。直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力CAB直桿，A端固定，在B、C兩處作用有集中載荷F1和F2，其中F1＝5kN，F(xiàn)2＝10kN。F1F2llCABllF1F2FA試畫出：桿件的軸力圖。

例解：1.確定A處的約束力

A處雖然是固定端約束，但由于桿件只有軸向載荷作用，所以只有一個(gè)軸向的約束力FA。求得FA＝5kN由平衡方程

直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力CABF1F2llCABllF1F2FA

解：2.確定控制面

3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力用假想截面分別從控制面A、B'、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡。

在集中載荷F2、約束力FA作用處的A、C截面，以及集中載荷F1作用點(diǎn)B處的上、下兩側(cè)橫截面都是控制面。

B"B'直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力

用假想截面分別從控制面A、B'、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FNACABllF1F2FAB"B'直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力

用假想截面分別從控制面A、B'、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CBlF1F2B"FNB''

CABllF1F2FAB"B'直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力

3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力

用假想截面分別從控制面A、B'、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

FNB'ClF2B'CABllF1F2FAB"B'直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力

用假想截面分別從控制面A、B'、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

FNCClF2CABllF1F2FAB"B'直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力4.建立FN-x坐標(biāo)系，畫軸力圖

FN-x坐標(biāo)系中x坐標(biāo)軸沿著桿件的軸線方向，F(xiàn)N坐標(biāo)軸垂直于x軸。

將所求得的各控制面上的軸力標(biāo)在FN-x坐標(biāo)系中，得到a、b"、b′和c四點(diǎn)。因?yàn)樵贏、B"之間以及B′、C之間，沒(méi)有其他外力作用，故這兩段中的軸力分別與A（或B"）截面以及C（或B′）截面相同。這表明a點(diǎn)與b"點(diǎn)之間以及c點(diǎn)與b′點(diǎn)之間的軸力圖為平行于x軸的直線。于是，得到桿的軸力圖。直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力FN/kNOxCABF1F2llCABllF1F2FNAFNB''

CBlF1F2B"FNB'ClF2B'FNCClF2b"5b'10c105a直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力根據(jù)以上分析，繪制軸力圖的方法

確定約束力；

根據(jù)桿件上作用的載荷以及約束力，確定控制面，也就是軸力圖的分段點(diǎn)；

應(yīng)用截面法，用假想截面從控制面處將桿件截開，在截開的截面上，畫出未知軸力，并假設(shè)為正方向；對(duì)截開的部分桿件建立平衡方程，確定控制面上的軸力

建立FN－x坐標(biāo)系，將所求得的軸力值標(biāo)在坐標(biāo)系中，畫出軸力圖。

直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力

必須指出，靜力學(xué)中的力(或力偶)的可移性原理,在用截面法求內(nèi)力的過(guò)程中是有限制的。

一般地說(shuō),在采用截面法之前不要使用力的可移性原理，以免引起錯(cuò)誤。而在采用截面法之后，研究留下部分的外力平衡，則純粹屬于靜力學(xué)的范疇，可隨意使用力的可移性原理。

同理,將桿上的荷載用一個(gè)靜力等效的相當(dāng)力系來(lái)代替,在求內(nèi)力的過(guò)程中也有所限制。直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;試畫出圖示桿件的軸力圖。11例：FN1F1解：1、計(jì)算各段的軸力。F1F3F2F4ABCD2233FN3F4FN2F1F2AB段BC段CD段2、繪制軸力圖。直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力桿件的強(qiáng)度不僅與軸力有關(guān)，還與橫截面面積有關(guān)。必須用應(yīng)力來(lái)比較和判斷桿件的強(qiáng)度。

在拉（壓）桿的橫截面上，與軸力FN對(duì)應(yīng)的應(yīng)力是正應(yīng)力。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，橫截面上到處都存在著內(nèi)力。于是得靜力關(guān)系：直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力

平面假設(shè)—變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍垂直于軸線。橫向線ab、cd仍為直線，且仍垂直于桿軸線，只是分別平行移至a’b’、c’d’。觀察變形：

直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力從平面假設(shè)可以判斷：（1）所有縱向纖維伸長(zhǎng)相等（2）因材料均勻，故各纖維受力相等（3）內(nèi)力均勻分布，各點(diǎn)正應(yīng)力相等，為常量

直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力該式為橫截面上的正應(yīng)力σ計(jì)算公式。正應(yīng)力σ和軸力FN同號(hào)。即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。圣維南原理直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力圖示結(jié)構(gòu)，試求桿件AB、CB的應(yīng)力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為15×15的方截面桿。FABC解：1、計(jì)算各桿件的軸力。（設(shè)斜桿為1桿，水平桿為2桿）用截面法取節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象45°12FBF45°直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力2、計(jì)算各桿件的應(yīng)力。FABC45°12FBF45°直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)斜截面上的應(yīng)力實(shí)驗(yàn)表明：拉（壓）桿的破壞并不總是沿橫截面發(fā)生，有時(shí)卻是沿斜截面發(fā)生的。

材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能力學(xué)性能：在外力作用下材料在變形和破壞方面所表現(xiàn)出的力學(xué)特性。一試件和實(shí)驗(yàn)條件常溫、靜載材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能二低碳鋼的拉伸材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能明顯的四個(gè)階段1、彈性階段ob比例極限彈性極限2、屈服階段bc（失去抵抗變形的能力）屈服極限3、強(qiáng)化階段ce（恢復(fù)抵抗變形的能力）強(qiáng)度極限4、局部徑縮階段ef胡克定律E—彈性模量（GN/m2）材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能兩個(gè)塑性指標(biāo):斷后伸長(zhǎng)率斷面收縮率為塑性材料為脆性材料低碳鋼的為塑性材料材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能三卸載定律及冷作硬化1、彈性范圍內(nèi)卸載、再加載2、過(guò)彈性范圍卸載、再加載材料在卸載過(guò)程中應(yīng)力和應(yīng)變是線性關(guān)系，這就是卸載定律。材料的比例極限增高，延伸率降低，稱之為冷作硬化或加工硬化。材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能四其它材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)對(duì)于沒(méi)有明顯屈服階段的塑性材料，用名義屈服極限σp0.2來(lái)表示。材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能對(duì)于脆性材料（鑄鐵），拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線為微彎的曲線，沒(méi)有屈服和徑縮現(xiàn)象，試件突然拉斷。斷后伸長(zhǎng)率約為0.5%。為典型的脆性材料。

σbt—拉伸強(qiáng)度極限（約為140MPa）。它是衡量脆性材料（鑄鐵）拉伸的唯一強(qiáng)度指標(biāo)。材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能一試件和實(shí)驗(yàn)條件常溫、靜載材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能二塑性材料（低碳鋼）的壓縮拉伸與壓縮在屈服階段以前完全相同。屈服極限比例極限彈性極限E---彈性摸量材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能三脆性材料（鑄鐵）的壓縮脆性材料的抗拉與抗壓性質(zhì)不完全相同壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限遠(yuǎn)大于拉伸時(shí)的強(qiáng)度極限失效、安全系數(shù)和強(qiáng)度計(jì)算一、安全因數(shù)和許用應(yīng)力工作應(yīng)力極限應(yīng)力塑性材料脆性材料塑性材料的許用應(yīng)力脆性材料的許用應(yīng)力

n—安全因數(shù)—許用應(yīng)力失效、安全系數(shù)和強(qiáng)度計(jì)算二、強(qiáng)度條件根據(jù)強(qiáng)度條件，可以解決三類強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題1、強(qiáng)度校核：2、設(shè)計(jì)截面：3、確定許可載荷：失效、安全系數(shù)和強(qiáng)度計(jì)算例:油缸蓋與缸體采用6個(gè)螺栓連接。已知油缸內(nèi)徑D=350mm，油壓p=1MPa。螺栓許用應(yīng)力[σ]=40MPa，求螺栓的內(nèi)徑。每個(gè)螺栓承受軸力為總壓力的1/6解：油缸蓋受到的力根據(jù)強(qiáng)度條件即螺栓的軸力為得即螺栓的直徑為失效、安全系數(shù)和強(qiáng)度計(jì)算例:

AC為50×50×5的等邊角鋼，AB為10號(hào)槽鋼，〔σ〕=120MPa。確定許可載荷F。解：1、計(jì)算軸力（設(shè)斜桿為1桿，水平桿為2桿）用截面法取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象2、根據(jù)斜桿的強(qiáng)度，求許可載荷AFα查表得斜桿AC的面積為A1=2×4.8cm2失效、安全系數(shù)和強(qiáng)度計(jì)算3、根據(jù)水平桿的強(qiáng)度，求許可載荷AFα查表得水平桿AB的面積為A2=2×12.74cm24、許可載荷桿件軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形一縱向變形二橫向變形鋼材的E約為200GPa，μ約為0.25—0.33EA為抗拉剛度泊松比橫向應(yīng)變

{桿件軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形對(duì)于變截面桿件（如階梯桿），或軸力變化。則桿件軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形

例：AB長(zhǎng)2m,面積為200mm2。AC面積為250mm2。E=200GPa。F=10kN。試求節(jié)點(diǎn)A的位移。解：1、計(jì)算軸力。（設(shè)斜桿為1桿，水平桿為2桿）取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象2、根據(jù)胡克定律計(jì)算桿的變形。AF300斜桿伸長(zhǎng)水平桿縮短桿件軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形3、節(jié)點(diǎn)A的位移（以切代?。〢F300軸向拉伸或壓縮的應(yīng)變能在范圍內(nèi),有應(yīng)變能（）：固體在外力作用下，因變形而儲(chǔ)存的能量稱為應(yīng)變能。1lD拉伸、壓縮的超靜定問(wèn)題約束反力（軸力）可由靜力平衡方程求得靜定結(jié)構(gòu)：拉伸、壓縮的超靜定問(wèn)題約束反力不能由平衡方程求得超靜定結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度均得到提高超靜定度（次）數(shù)：約束反力多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)獨(dú)立平衡方程數(shù)：平面任意力系：

3個(gè)平衡方程平面匯交力系：

2個(gè)平衡方程拉伸、壓縮的超靜定問(wèn)題1、列出獨(dú)立的平衡方程超靜定結(jié)構(gòu)的求解方法：2、變形幾何關(guān)系3、物理關(guān)系4、補(bǔ)充方程5、求解方程組，得圖示結(jié)構(gòu)，1、2桿抗拉剛度為E1A1

，3桿抗拉剛度為E3A3，在外力F作用下，求三桿軸力？拉伸、壓縮的超靜定問(wèn)題在圖示結(jié)構(gòu)中，設(shè)橫梁AB的變形可以省略，1，2兩桿的橫截面面積相等，材料相同。試求1，2兩桿的內(nèi)力。1、列出獨(dú)立的平衡方程解：2、變形幾何關(guān)系3、物理關(guān)系4、補(bǔ)充方程5、求解方程組得溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力一、溫度應(yīng)力已知：材料的線脹系數(shù)溫度變化（升高）1、桿件的溫度變形（伸長(zhǎng)）2、桿端作用產(chǎn)生的縮短3、變形條件4、求解未知力即溫度應(yīng)力為溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力二、裝配應(yīng)力已知：加工誤差為求：各桿內(nèi)力。1、列平衡方程2、變形協(xié)調(diào)條件3、將物理關(guān)系代入解得因應(yīng)力集中的概念常見的油孔、溝槽等均有構(gòu)件尺寸突變，突變處將產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。即理論應(yīng)力集中因數(shù)1、形狀尺寸的影響：2、材料的影響：應(yīng)力集中對(duì)塑性材料的影響不大；應(yīng)力集中對(duì)脆性材料的影響嚴(yán)重，應(yīng)特別注意。尺寸變化越急劇、角越尖、孔越小，應(yīng)力集中的程度越嚴(yán)重。剪切和擠壓的應(yīng)用計(jì)算一.剪切的實(shí)用計(jì)算鉚釘連接剪床剪鋼板FF剪切和擠壓的應(yīng)用計(jì)算銷軸連接剪切受力特點(diǎn)：作用在構(gòu)件兩側(cè)面上的外力合力大小相等、方向相反且作用線很近。變形特點(diǎn)：位于兩力之間的截面發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。剪切和擠壓的應(yīng)用計(jì)算FFFnnFFsnFnFsnnF｛｛｝｝FsFsnnFmm剪切和擠壓的應(yīng)用計(jì)算假設(shè)切應(yīng)力在剪切面（m-m截面）上是均勻分布的,得實(shí)用切應(yīng)力計(jì)算公式：切應(yīng)力強(qiáng)度條件：許用切應(yīng)力，常由實(shí)驗(yàn)方法確定塑性材料：脆性材料：剪切和擠壓