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文檔簡介
長風破浪會有時,直掛云帆濟滄海。住在富人區(qū)的她2023年曹妃甸職業(yè)技術(shù)學院高職單招(數(shù)學)試題庫含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請謹慎購買!第1卷一.綜合題(共50題)1.在下列4個命題中,是真命題的序號為()
①3≥3;
②100或50是10的倍數(shù);
③有兩個角是銳角的三角形是銳角三角形;
④等腰三角形至少有兩個內(nèi)角相等.
A.①
B.①②
C.①②③
D.①②④答案:D2.如圖,△ABC中,D,E,F(xiàn)分別是邊BC,AB,CA的中點,在以A、B、C、D、E、F為端點的有向線段中所表示的向量中,
(1)與向量FE共線的有
______.
(2)與向量DF的模相等的有
______.
(3)與向量ED相等的有
______.答案:(1)∵EF是△ABC的中位線,∴EF∥BC且EF=12BC,則與向量FE共線的向量是BC、BD、DC、CB、DB、CD;(2))∵DF是△ABC的中位線,∴DF∥AC且DF=12AC,則與向量DF的模相等的有CE,EA,EC,AF;(3)∵DE是△ABC的中位線,∴DE∥AB且DE=12AB,則與向量ED相等的有AF,F(xiàn)B.3.化簡:AB+CD+BC=______.答案:如圖:AB+CD+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD.故為:AD.4.若點A的坐標為(3,2),F(xiàn)是拋物線y2=2x的焦點,點M在拋物線上移動時,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐標為()A.(0,0)B.(12,1)C.(1,2)D.(2,2)答案:由題意得F(12,0),準線方程為x=-12,設(shè)點M到準線的距離為d=|PM|,則由拋物線的定義得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|,故當P、A、M三點共線時,|MF|+|MA|取得最小值為|AP|=3-(-12)=72.把y=2代入拋物線y2=2x得x=2,故點M的坐標是(2,2),故選D.5.已知直線l:(t為參數(shù))的傾斜角是()
A.
B.
C.
D.答案:D6.集合{1,2,3}的真子集的個數(shù)為()A.5B.6C.7D.8答案:集合的真子集為{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},?.共有7個.故選C.7.某航空公司經(jīng)營A,B,C,D這四個城市之間的客運業(yè)務(wù),它們之間的直線距離的部分機票價格如下:AB為2000元;AC為1600元;AD為2500元;CD為900元;BC為1200元,若這家公司規(guī)定的機票價格與往返城市間的直線距離成正比,則BD間直線距離的票價為(設(shè)這四個城在同一水平面上)()
A.1500元
B.1400元
C.1200元
D.1000元答案:A8.直線(t為參數(shù))和圓x2+y2=16交于A,B兩點,則AB的中點坐標為()
A.(3,-3)
B.(-,3)
C.(,-3)
D.(3,-)答案:D9.已知F1,F(xiàn)2為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點,過F2作橢圓的弦AB,若△AF1B的周長為16,橢圓的離心率為e=32,則橢圓的方程為______.答案:根據(jù)橢圓的定義,△AF1B的周長為16可知,4a=16,∴a=4,∵e=32,∴c=23,∴b=2,∴橢圓的方程為x216+y24=1,故為x216+y24=110.命題“對于正數(shù)a,若a>1,則lg
a>0”及其逆命題、否命題、逆否命題四種命題中真命題的個數(shù)為()A.0B.1C.2D.4答案:原命題“對于正數(shù)a,若a>1,則lga>0”是真命題;逆命題“對于正數(shù)a,若lga>0,則a>1”是真命題;否命題“對于正數(shù)a,若a≤1,則lga≤0”是真命題;逆否命題“對于正數(shù)a,若lga≤0,則a≤1”是真命題.故選D.11.如圖,有兩條相交成π3角的直線EF,MN,交點是O.一開始,甲在OE上距O點2km的A處;乙在OM距O點1km的B處.現(xiàn)在他們同時以2km/h的速度行走.甲沿EF的方向,乙沿NM的方向.設(shè)與OE同向的單位向量為e1,與OM同向的單位向量為e2.
(1)求e1,e2;
(2)若過2小時后,甲到達C點,乙到達D點,請用e1,e2表示CD;
(3)若過t小時后,甲到達G點,乙到達H點,請用e1,e2表示GH;
(4)什么時間兩人間距最短?答案:(1)由題意可得e1=12OA,e2=OB,(2)若過2小時后,甲到達C點,乙到達D點,則OC=-2e1,OD=5e2,故CD=OD-OC=2e1+5e2,(3)同(2)可得:經(jīng)過t小時后,甲到達G點,乙到達H點,則OG=(-2t+2)e1,OH=(2t+1)e2,故GH=OH-OG=(2t-2)e1+(2t+1)e2,(4)由(3)可得GH=(2t-2)e1+(2t+1)e2,故兩人間距離y=|GH|=[(2t-2)e1+(2t+1)e2]2=(2t-2)2+(2t+1)2+2(2t-2)(2t+1)×12=12t2-6t+3,由二次函數(shù)的知識可知,當t=--62×12=14時,上式取到最小值32,故14時兩人間距離最短.12.若f(x)在定義域[a,b]上有定義,則在該區(qū)間上()A.一定連續(xù)B.一定不連續(xù)C.可能連續(xù)也可能不連續(xù)D.以上均不正確答案:f(x)有定義是f(x)在區(qū)間上連續(xù)的必要而不充分條件.有定義不一定連續(xù).還需加上極限存在才能推出連續(xù).故選C.13.已知點M在z軸上,A(1,0,2),B(1,-3,1),且|MA|=|MB|,則點M的坐標是
______.答案:∵點M在z軸上,∴設(shè)點M的坐標為(0,0,z)又|MA|=|MB|,由空間兩點間的距離公式得:12+02+(z-2)2=12+32+(z-1)2解得:z=-3.故點M的坐標是(0,0,-3).故為:(0,0,-3).14.直線y=3的一個單位法向量是______.答案:直線y=3的方向向量是(a,0)(a≠0),不妨?。?,0)設(shè)直線y=3的法向量為n=(x,y)∴(x,y)?(1,0)=0∴x=0∴直線y=3的一個單位法向量是(0,1)故為:(0,1)15.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[a,b]上的奇函數(shù),則f(a+b)=______.答案:因為函數(shù)f(x)是定義在[a,b]上的奇函數(shù),所以定義域關(guān)于原點對稱,所以a+b=0,且f(0)=0.所以f(a+b)=f(0)=0.故為:0.16.設(shè)O為坐標原點,F(xiàn)為拋物線的焦點,A是拋物線上一點,若·=,則點A的坐標是
(
)A.B.C.D.答案:B解析:略17.如圖,F(xiàn)是定直線l外的一個定點,C是l上的動點,有下列結(jié)論:若以C為圓心,CF為半徑的圓與l相交于A、B兩點,過A、B分別作l的垂線與圓C過F的切線相交于點P和點Q,則必在以F為焦點,l為準線的同一條拋物線上.
(Ⅰ)建立適當?shù)淖鴺讼?,求出該拋物線的方程;
(Ⅱ)對以上結(jié)論的反向思考可以得到另一個命題:“若過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于P、Q兩點,則以PQ為直徑的圓一定與拋物線的準線l相切”請問:此命題是正確?試證明你的判斷;
(Ⅲ)請選擇橢圓或雙曲線之一類比(Ⅱ)寫出相應的命題并證明其真假.(只選擇一種曲線解答即可,若兩種都選,則以第一選擇為平分依據(jù))答案:(Ⅰ)過F作l的垂線交l于K,以KF的中點為原點,KF所在直線為x軸建立平面直角坐標系如圖1,并設(shè)|KF|=p,則可得該拋物線的方程為
y2=2px(p>0);(Ⅱ)該命題為真命題,證明如下:如圖2,設(shè)PQ中點為M,P、Q、M在拋物線準線l上的射影分別為A、B、D,∵PQ是拋物線過焦點F的弦,∴|PF|=|PA|,|QF|=|QB|,又|MD|是梯形APQB的中位線,∴|MD=12(|PA|+|QB|)=12(|PF|+|QF|)=|PQ|2.∵M是以PQ為直徑的圓的圓心,∴圓M與l相切.(Ⅲ)選擇橢圓類比(Ⅱ)所寫出的命題為:“過橢圓一焦點F的直線與橢圓交于P、Q兩點,則以PQ為直徑的圓與橢圓相應的準線l相離”.此命題為真命題,證明如下:證明:設(shè)PQ中點為M,橢圓的離心率為e,則0<e<1,P、Q、M在相應準線l上的射影分別為A、B、D,∵|PF|PA=e,∴|PA|=|PF|e,同理得|QB|=|QF|e.∵MD是梯形APQB的中位線,∴|MD|=|PA|+|QB|2=12(|PF|e+|QF|e)=|PQ|2e>|PQ|2,∴圓M與準線l相離.選擇雙曲線類比(Ⅱ)所寫出的命題為:“過雙曲線一焦點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點,則以PQ為直徑的圓與雙曲線相應的準線l相交”.此命題為真命題,證明如下:證明:設(shè)PQ中點為M,橢圓的離心率為e,則e>1,P、Q、M在相應準線l上的射影分別為A、B、D,∵|PF|PA=e,∴|PA|=|PF|e,同理得|QB|=|QF|e.∵MD是梯形APQB的中位線,∴|MD|=|PA|+|QB|2=12(|PF|e+|QF|e)=|PQ|2e<|PQ|2,∴圓M與準線l相交.18.Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高,該圖中只有x個三角形與△ABC相似,則x的值為()A.1B.2C.3D.4答案:∵∠ACB=90°,CD⊥AB∴△ABC∽△ACD△ACD∽CBD△ABC∽CBD所以有三對相似三角形,該圖中只有2個三角形與△ABC相似.故選B.19.頻率分布直方圖的重心是()
A.眾數(shù)
B.中位數(shù)
C.標準差
D.平均數(shù)答案:D20.若21-i=a+bi(i為虛數(shù)單位,a,b∈R),則a+b=______.答案:∵21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i,∵21-i=a+bi∴a+bi=1+i∴a=b=1∴a+b=2.故為:221.若a2+b2=4,則兩圓(x-a)2+y2=1和x2+(y-b)2=1的位置關(guān)系是______.答案:若a2+b2=4,由于兩圓(x-a)2+y2=1和x2+(y-b)2=1的圓心距為(a-0)2+(0-b)2=a2+b2=2,正好等于兩圓的半徑之和,故兩圓相外切,故為相外切.22.已知△ABC三個頂點的坐標為A(1,3)、B(-1,-1)、C(-3,5),求這個三角形外接圓的方程.答案:設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則(1-a)2+(3-b)2=r2(-1-a)2+(-1-b)2=r2(-3-a)2+(5-b)2=r2,整理得a+2b-2=02a-b+6=0,解之得a=-2,b=2,可得r2=10,因此,這個三角形外接圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=10.23.“神六”上天并順利返回,讓越來越多的青少年對航天技術(shù)發(fā)生了興趣.某學校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗,設(shè)計方案
如圖:航天器運行(按順時針方向)的軌跡方程為x2100+y225=1,變軌(航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以y軸為
對稱軸、M(0,647)為頂點的拋物線的實線部分,降落點為D(8,0),觀測點A(4,0)、B(6,0)同時跟蹤航天器.試問:當航天器在x軸上方時,觀測點A、B測得離航天器的距離分別為______時航天器發(fā)出變軌指令.答案:設(shè)曲線方程為y=ax2+647,由題意可知,0=a?64+647.∴a=-17,∴曲線方程為y=-17x2+647.設(shè)變軌點為C(x,y),根據(jù)題意可知,拋物線方程與橢圓方程聯(lián)立,可得4y2-7y-36=0,y=4或y=-94(不合題意,舍去).∴y=4.∴x=6或x=-6(不合題意,舍去).∴C點的坐標為(6,4),|AC|=25,|BC|=4.故為:25、4.24.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分,罰不中得0分.已知某運動員罰球命中的概率為0.7,求
(1)他罰球1次的得分X的數(shù)學期望;
(2)他罰球2次的得分Y的數(shù)學期望;
(3)他罰球3次的得分η的數(shù)學期望.答案:(1)X的取值為1,2,則因為P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,所以EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7.(2)Y的取值為0,1,2,則P(Y=0)=0.32=0.09,P(Y=1)=C12×0.7×0.3=0.42,P(Y=2)=0.72=0.49Y的概率分布列為Y012P0.090.420.49所以EY=0×0.09+1×0.42+2×0.49=1.4.(3)η的取值為0,1,2,3,則P(η=0)=0.33=0.027,P(η=1)=C13×0.7×0.32=0.189,P(η=2)=C23×0.72×0.3=0.441,P(η=3)=0.73=0.343∴η的概率分布為η0123P0.0270.1890.4410.343所以Eη=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1.25.到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點,在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是()
A.直線
B.橢圓
C.拋物線
D.雙曲線答案:D26.若矩陣M=1111,則直線x+y+2=0在M對應的變換作用下所得到的直線方程為______.答案:設(shè)直線x+y+2=0上任意一點(x0,y0),(x',y')是所得的直線上一點,[1
1][x']=[x0][1
1][y']=[y0]∴x′+y′=x0x′+y′=y0,∴代入直線x+y+2=0方程:(x'+y')+x′+y'+2=0得到I的方程x+y+1=0故為:x+y+1=0.27.已知函數(shù)f(x)對其定義域內(nèi)任意兩個實數(shù)a,b,當a<b時,都有f(a)<f(b).試用反證法證明:函數(shù)f(x)的圖象與x軸至多有一個交點.答案:證明:假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與x軸至少有兩個交點,…(2分)(1)若f(x)的圖象與x軸有兩個交點,不妨設(shè)兩個交點的橫坐標分別為x1,x2,且x1<x2,…(5分)由已知,函數(shù)f(x)對其定義域內(nèi)任意實數(shù)x1,x2,當x1<x2時,有f(x1)<f(x2).…(7分)又根據(jù)假設(shè),x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個零點,所以,f(x1)=f(x2)=0,…(9分)這與f(x1)<f(x2)矛盾,…(10分)所以,函數(shù)f(x)的圖象不可能與x軸有兩個交點.…(11分)(2)若f(x)的圖象與x軸交點多于兩個,可同理推出矛盾,…(12分)所以,函數(shù)f(x)的圖象不可能與x軸有兩個以上交點.綜上,函數(shù)f(x)的圖象與x軸至多有一個交點…(14分)28.參數(shù)方程為t為參數(shù))表示的曲線是()
A.一條直線
B.兩條直線
C.一條射線
D.兩條射線答案:D29.已知拋物線x2=4y上的點p到焦點的距離是10,則p點坐標是
______.答案:根據(jù)拋物線方程可求得焦點坐標為(0,1)根據(jù)拋物線定義可知點p到焦點的距離與到準線的距離相等,∴yp+1=10,求得yp=9,代入拋物線方程求得x=±6∴p點坐標是(±6,9)故為:(±6,9)30.已知正整數(shù)指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(3,27),
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求f(5);
(3)函數(shù)f(x)有最值嗎?若有,試求出;若無,說明原因.答案:(1)設(shè)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)為f(x)=ax(a>0,a≠1,x∈N+),因為函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(3,27),所以f(3)=27,即a3=27,解得a=3,所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=3x(x∈N+).(2)由f(x)=3x(x∈N+),可得f(5)=35=243.(3)∵f(x)的定義域為N+,且在定義域上單調(diào)遞增,∴f(x)有最小值,最小值是f(1)=3;f(x)無最大值.解析:已知正整數(shù)指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(3,27),(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求f(5);(3)函數(shù)f(x)有最值嗎?若有,試求出;若無,說明原因.31.如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖,中間的數(shù)字表示得分的十位數(shù),下列對乙運動員的判斷錯誤的是()A.乙運動員得分的中位數(shù)是28B.乙運動員得分的眾數(shù)為31C.乙運動員的場均得分高于甲運動員D.乙運動員的最低得分為0分答案:根據(jù)題意,可得甲的得分數(shù)據(jù):8,14,16,13,23,26,28,30,30,39可得甲得分的平均數(shù)是22.7乙的得分數(shù)據(jù):12,15,25,24,21,31,36,31,37,44可得乙得分的平均數(shù)是27.6,31出現(xiàn)了兩次,可得乙得分的眾數(shù)是1將乙得分數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,位于中間的兩個數(shù)是25和31,故中位數(shù)是12(25+31)=28由以上的數(shù)據(jù),可得:乙運動員得分的中位數(shù)是28,A項是正確的;乙運動員得分的眾數(shù)為31,B項是正確的;乙運動員的場均得分高于甲運動員,C各項是正確的.而D項因為乙運動員的得分沒有0分,故D項錯誤故選:D32.某項考試按科目A、科目B依次進行,只有當科目A成績合格時,才可繼續(xù)參加科目B的考試.已知每個科目只允許有一次補考機會,兩個科目成績均合格方可獲得證書.現(xiàn)某人參加這項考試,科目A每次考試成績合格的概率均為23,科目B每次考試成績合格的概率均為12.假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響.
(Ⅰ)求他不需要補考就可獲得證書的概率;
(Ⅱ)在這項考試過程中,假設(shè)他不放棄所有的考試機會,記他參加考試的次數(shù)為ξ,求ξ的數(shù)學期望Eξ.答案:設(shè)“科目A第一次考試合格”為事件A1,“科目A補考合格”為事件A2;“科目B第一次考試合格”為事件B1,“科目B補考合格”為事件B2.(Ⅰ)不需要補考就獲得證書的事件為A1?B1,注意到A1與B1相互獨立,根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率可得P(A1?B1)=P(A1)×P(B1)=23×12=13.即該考生不需要補考就獲得證書的概率為13.(Ⅱ)由已知得,ξ=2,3,4,注意到各事件之間的獨立性與互斥性,根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率可得P(ξ=2)=P(A1?B1)+P(.A1?.A2)=23×12+13×13=13+19=49.P(ξ=3)=P(A1?.B1?B2)+P(A1?.B1?.B2)+P(.A1?A2?B2)=23×12×12+23×12×12+13×23×12=16+16+19=49,P(ξ=4)=P(.A1?A2?.B2?B2)+P(.A1?A2?.B1?.B2)=13×23×12×12+13×23×12×12=118+118=19,∴Eξ=2×49+3×49+4×19=83.即該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學期望為83.33.畫出《數(shù)學3》第一章“算法初步”的知識結(jié)構(gòu)圖.答案:《數(shù)學3》第一章“算法初步”的知識包括:算法、程序框圖、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)和框圖表示、基本算法語句.算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)和框圖表示就是順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu),基本算法語句是指輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句和循環(huán)語句.故《數(shù)學3》第一章“算法初步”的知識結(jié)構(gòu)圖示意圖如下:34.試求288和123的最大公約數(shù)是
答案:3解析:,,,.∴和的最大公約數(shù)35.如圖,已知Rt△ABC的兩條直角邊AC,BC的長分別為3cm,4cm,以AC為直徑的圓與AB交于點D,則BD=______cm.答案:∵易知AB=32+42=5,又由切割線定理得BC2=BD?AB,∴42=BD?5∴BD=165.故為:16536.已知向量,滿足:||=3,||=5,且=λ,則實數(shù)λ=()
A.
B.
C.±
D.±答案:C37.若直線x+y=m與圓x=mcosφy=msinφ(φ為參數(shù),m>0)相切,則m為
______.答案:圓x=mcosφy=msinφ的圓心為(0,0),半徑為m∵直線x+y=m與圓相切,∴d=r即|m|2=m,解得m=2故為:238.設(shè)a,b,c∈R,則復數(shù)(a+bi)(c+di)為實數(shù)的充要條件是()
A.a(chǎn)d-bc=0
B.a(chǎn)c-bd=0
C.a(chǎn)c+bd=0
D.a(chǎn)d+bc=0答案:D39.已知兩條直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,則a等于(
)
A.2
B.1
C.0
D.-1答案:D40.Rt△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,將三角形繞直角邊AB旋轉(zhuǎn)一周形成一個新的幾何體,想象幾何體的結(jié)構(gòu),畫出它的三視圖,求出它的表面積和體積.答案:以繞AB邊旋轉(zhuǎn)為例,其直觀圖、正(側(cè))視圖、俯視圖依次分別為:其表面是扇形的表面,所以其表面積為S=πRL=36π,V=13×π×BC2×AB=16π.41.方程x2+y2=1(xy<0)的曲線形狀是()
A.
B.
C.
D.
答案:C42.與
向量
=(2,-1,2)共線且滿足方程=-18的向量為()
A.不存在
B.-2
C.(-4,2,-4)
D.(4,-2,4)答案:D43.栽培甲、乙兩種果樹,先要培育成苗,然后再進行移栽.已知甲、乙兩種果樹成苗的概率分別為,,移栽后成活的概率分別為,.
(1)求甲、乙兩種果樹至少有一種果樹成苗的概率;
(2)求恰好有一種果樹能培育成苗且移栽成活的概率.答案:(1)甲、乙兩種果樹至少有一種成苗的概率為;(2).恰好有一種果樹培育成苗且移栽成活的概率為.解析:分別記甲、乙兩種果樹成苗為事件,;分別記甲、乙兩種果樹苗移栽成活為事件,,,,,.(1)甲、乙兩種果樹至少有一種成苗的概率為;(2)解法一:分別記兩種果樹培育成苗且移栽成活為事件,則,.恰好有一種果樹培育成苗且移栽成活的概率為.解法二:恰好有一種果樹栽培成活的概率為.44.函數(shù)f(x)=x2+ax+3,
(1)若f(1-x)=f(1+x),求a的值;
(2)在第(1)的前提下,當x∈[-2,2]時,求f(x)的最值,并說明當f(x)取最值時的x的值;
(3)若f(x)≥a恒成立,求a的取值范圍.答案:(1)∵f(1+x)=f(1-x)∴y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱∴-a2=1即a=-2(2)a=-2時,函數(shù)f(x)=x2-2x+3在區(qū)間[-2,1]上遞減,在區(qū)間[1,2]上遞增,∴當x=-2時,fmax(x)=f(-2)=11當x=1時,fmin(x)=f(1)=2(3)∵x∈R時,有x2+ax+3-a≥0恒成立,須△=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,所以-6≤a≤2.45.圓心為(-2,3),且與y軸相切的圓的方程是()A.x2+y2+4x-6y+9=0B.x2+y2+4x-6y+4=0C.x2+y2-4x+6y+9=0D.x2+y2-4x+6y+4=0答案:根據(jù)圓心坐標(-2,3)到y(tǒng)軸的距離d=|-2|=2,則所求圓的半徑r=d=2,所以圓的方程為:(x+2)2+(y-3)2=4,化為一般式方程得:x2+y2+4x-6y+9=0.故選A46.等腰梯形ABCD,上底邊CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,按平行于上、下底邊取x軸,則直觀圖A′B′C′D′的面積為
______.答案:等腰梯形ABCD,上底邊CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,所以梯形的高為:1,按平行于上、下底邊取x軸,則直觀圖A′B′C′D′的高為:12sin45°=24所以直觀圖的面積為:12×(1+3)×24=22故為:2247.求證1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=13n(n+1)(n+2).答案:證明:①當n=1時,左邊=2,右邊=13×1×2×3=2,等式成立;②假設(shè)當n=k時,等式成立,即1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)=13k(k+1)(k+2)則當n=k+1時,左邊=13k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(13k+1)=13(k+1)(k+2)(k+3)即n=k+1時,等式也成立.所以1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=13n(n+1)(n+2)對任意正整數(shù)都成立.48.某學校為了調(diào)查高三年級的200名文科學生完成課后作業(yè)所需時間,采取了兩種抽樣調(diào)查的方式:第一種由學生會的同學隨機抽取20名同學進行調(diào)查;第二種由教務(wù)處對該年級的文科學生進行編號,從001到200,抽取學號最后一位為2的同學進行調(diào)查,則這兩種抽樣的方法依次為()A.分層抽樣,簡單隨機抽樣B.簡單隨機抽樣,分層抽樣C.分層抽樣,系統(tǒng)抽樣D.簡單隨機抽樣,系統(tǒng)抽樣答案:第一種由學生會的同學隨機抽取20名同學進行調(diào)查;這是一種簡單隨機抽樣,第二種由教務(wù)處對該年級的文科學生進行編號,從001到200,抽取學號最后一位為2的同學進行調(diào)查,對于個體比較多的總體,采用系統(tǒng)抽樣,故選D.49.已知O、A、M、B為平面上四點,且,則()
A.點M在線段AB上
B.點B在線段AM上
C.點A在線段BM上
D.O、A、M、B四點一定共線答案:B50.根據(jù)如圖的框圖,寫出打印的第五個數(shù)是______.答案:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是:輸出N<35時,打印A值.程序在運行過程中各變量的情況如下表示:
是否繼續(xù)循環(huán)
A
N循環(huán)前
1
1
第一圈
2×1+1=3
2
是第二圈
2×3+1=7
3
是第三圈
2×7+1=15
4
是第四圈
2×15+1=31
5
是…所以這個打印的第五個數(shù)是31.故為:31第2卷一.綜合題(共50題)1.利用計算機隨機模擬方法計算y=x2與y=4所圍成的區(qū)域Ω的面積時,可以先運行以下算法步驟:
第一步:利用計算機產(chǎn)生兩個在[0,1]區(qū)間內(nèi)的均勻隨機數(shù)a,b;
第二步:對隨機數(shù)a,b實施變換:答案:根據(jù)題意可得,點落在y=x2與y=4所圍成的區(qū)域Ω的點的概率是100-34100=66100,矩形的面積為4×4=16,陰影部分的面積為S,則有S16=66100,∴S=10.56.故為:10.56.2.如圖1,一個“半圓錐”的主視圖是邊長為2的正三角形,左視圖是直角三角形,俯視圖是半圓及其圓心,這個幾何體的體積為()A.33πB.36πC.23πD.3π答案:由已知中“半圓錐”的主視圖是邊長為2的正三角形,左視圖是直角三角形,俯視圖是半圓及其圓心,我們可以判斷出底面的半徑為1,母線長為2,則半圓錐的高為3故V=13×12×π×3=36π故選B3.已知,,且與垂直,則實數(shù)λ的值為()
A.±
B.1
C.-
D.答案:D4.已知點M在平面ABC內(nèi),并且對空間任意一點O,有OM=xOA+13OB+13OC,則x的值為()A.1B.0C.3D.13答案:解∵OM=xOA+13OB+13OC,且M,A,B,C四點共面,∴必有x+13+13=1,解之可得x=13,故選D5.如圖為某公司的組織結(jié)構(gòu)圖,則后勤部的直接領(lǐng)導是______.
答案:有已知中某公司的組織結(jié)構(gòu)圖,可得專家辦公室直接領(lǐng)導:財務(wù)部,后勤部和編輯部三個部門,故后勤部的直接領(lǐng)導是專家辦公室.故為:專家辦公室.6.把4名男生和4名女生排成一排,女生要排在一起,不同排法的種數(shù)為()
A.A88
B.A55A44
C.A44A44
D.A85答案:B7.已知曲線C上的動點P(x,y)滿足到點F(0,1)的距離比到直線l:y=-2的距離小1.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)動點E在直線l上,過點E分別作曲線C的切線EA,EB,切點為A、B.
(?。┣笞C:直線AB恒過一定點,并求出該定點的坐標;
(ⅱ)在直線l上是否存在一點E,使得△ABM為等邊三角形(M點也在直線l上)?若存在,求出點E坐標,若不存在,請說明理由.答案:(Ⅰ)曲線C的方程x2=4y(5分)(Ⅱ)(?。┰O(shè)E(a,-2),A(x1,x214),B(x2,x224),∵y=x24∴y′=12x過點A的拋物線切線方程為y-x214=12x1(x-x1),∵切線過E點,∴-2-x214=12x1(a-x1),整理得:x12-2ax1-8=0同理可得:x22-2ax2-8=0,∴x1,x2是方程x2-2ax-8=0的兩根,∴x1+x2=2a,x1?x2=-8可得AB中點為(a,a2+42)又kAB=y1-y2x1-x2=x214-x224x1-x2=x1+x24=a2,∴直線AB的方程為y-(a22+2)=a2(x-a)即y=a2x+2,∴AB過定點(0,2)(10分)(ⅱ)由(?。┲狝B中點N(a,a2+42),直線AB的方程為y=a2x+2當a≠0時,則AB的中垂線方程為y-a2+42=-2a(x-a),∴AB的中垂線與直線y=-2的交點M(a3+12a4,-2)∴|MN|2=(a3+12a4-a)2+(-2-a2+42)2=116(a2+8)2(a2+4)∵|AB|=1+a24(x1+x2)2-4x1x2=(a2+4)(a2+8)若△ABM為等邊三角形,則|MN|=32|AB|,∴116(a2+8)2(a2+4)=34(a2+4)(a2+8),解得a2=4,∴a=±2,此時E(±2,-2),當a=0時,經(jīng)檢驗不存在滿足條件的點E綜上可得:滿足條件的點E存在,坐標為E(±2,-2).(15分)8.用反證法證明命題:“若a,b∈N,ab能被3整除,那么a,b中至少有一個能被3整除”時,假設(shè)應為()
A.b都能被3整除
B.b都不能被3整除
C.b不都能被3整除
D.a(chǎn)不能被3整除答案:B9.某市某年一個月中30天對空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下:
61
76
70
56
81
91
55
91
75
81
88
67
101
103
57
91
77
86
81
83
82
82
64
79
86
85
75
71
49
45
(Ⅰ)完成下面的頻率分布表;
(Ⅱ)完成下面的頻率分布直方圖,并寫出頻率分布直方圖中a的值;
(Ⅲ)在本月空氣質(zhì)量指數(shù)大于等于91的這些天中隨機選取兩天,求這兩天中至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101,111)內(nèi)的概率.
分組頻數(shù)頻率[41,51)2230[51,61)3330[61,71)4430[71,81)6630[81,91)[91,101)[101,111)2230答案:(Ⅰ)如下圖所示.
…(4分)(Ⅱ)如下圖所示.…(6分)由己知,空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[71,81)的頻率為630,所以a=0.02.…(8分)分組頻數(shù)頻率………[81,91)101030[91,101)3330………(Ⅲ)設(shè)A表示事件“在本月空氣質(zhì)量指數(shù)大于等于91的這些天中隨機選取兩天,這兩天中至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101,111)內(nèi)”,由己知,質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[91,101)內(nèi)的有3天,記這三天分別為a,b,c,質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101,111)內(nèi)的有2天,記這兩天分別為d,e,則選取的所有可能結(jié)果為:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e).基本事件數(shù)為10.…(10分)事件“至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101,111)內(nèi)”的可能結(jié)果為:(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e).基本事件數(shù)為7,…(12分)所以P(A)=710.…(13分)10.下面四個結(jié)論:
①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交;
②奇函數(shù)的圖象一定通過原點;
③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;
④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(x∈R),
其中正確命題的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4答案:偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,但不一定與y軸相交,因此①錯誤,③正確;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,但不一定經(jīng)過原點,只有在原點處有定義才通過原點,因此②錯誤;若y=f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù),由定義可得f(x)=0,但不一定x∈R,只要定義域關(guān)于原點對稱即可,因此④錯誤.故選A.11.如圖,四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形,延長AB和DC相交于點P,若PBPA=12,PCPD=13,則BCAD的值為______.答案:因為A,B,C,D四點共圓,所以∠DAB=∠PCB,∠CDA=∠PBC,因為∠P為公共角,所以△PBC∽△PAB,所以PBPD=PCPA=BCAD.設(shè)OB=x,PC=y,則有x3y=y2x?x=6y2,所以BCAD=x3y=66.故填:66.12.橢圓x2+my2=1的焦點在y軸上,長軸長是短軸長的兩倍,則m的值為()
A.
B.
C.2
D.4答案:A13.已知a=(5,4),b=(3,2),則與2a-3b同向的單位向量為
______.答案:∵a=(5,4),b=(3,2),∴2a-3b=(1,2)設(shè)與2a-3b平行的單位向量為e=(x,y),則2a-3b=λe,|e|=1∴(1,2)=(λx,λy);x2+y2=1∴1=λx2=λyx2+y2=1解之x=55y=255或x=-55y=-255故為e=±(55,255)14.
如圖,已知PA為⊙O的切線,PBC為⊙O的割線,PA=6,PB=BC,⊙O的半徑OC=5,那么弦BC的弦心距OM=()
A.4
B.3
C.5
D.6
答案:A15.已知、分別是與x軸、y軸方向相同的單位向量,且=-3+6,=-6+4,=--6,則一定共線的三點是()
A.A,B,C
B.A,B,D
C.A,C,D
D.B,C,D答案:C16.某個命題與正整數(shù)n有關(guān),如果當n=k(k∈N+)時命題成立,那么可推得當n=k+1時命題也成立.
現(xiàn)已知當n=7時該命題不成立,那么可推得()
A.當n=6時該命題不成立
B.當n=6時該命題成立
C.當n=8時該命題不成立
D.當n=8時該命題成立答案:A17.在方程(θ為參數(shù)且θ∈R)表示的曲線上的一個點的坐標是()
A.(,)
B.(,)
C.(2,-7)
D.(1,0)答案:B18.在△ABC中,已知角A,B,C所對的邊依次為a,b,c,且2lg(sinB)=lg(sinA)+lg(sinC),則兩條直線l1:xsinA+ysinB=a與l2:xsinB+ysinC=c的位置關(guān)系是______.答案:依題意,sin2B=sinA?sinC,∴sinAsinB=sinBsinC,即兩直線方程中x的系數(shù)之比與y的系數(shù)之比相等,∴兩條直線l1:xsinA+ysinB=a與l2:xsinB+ysinC=c平行或重合.故為:平行或重合.19.在四面體O-ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D為BC的中點,E為AD的中點,則OE可表示為(用a,b、c表示).
()A.12a+14b+14cB.12a+13b-12cC.13a+14b+14cD.13a-14b+14c答案:OE=OA+12AD=OA+12×12(AB+AC)=OA+14×(OB-OA+OC-OA)PD.CD+BC.AD+CA.BD=12OA+14OB+14OC=12a+14b+14c.故選A.20.若方程x2-3x+mx+m=0的兩根均在(0,+∞)內(nèi),則m的取值范圍是(
)
A.m≤1
B.0<m≤1
C.m>1
D.0<m<1答案:B21.設(shè),求證:。答案:證明略解析:證明:因為,所以有。又,故有?!?0分于是有得證。
…………20分22.根據(jù)下面的要求,求滿足1+2+3+…+n>500的最小的自然數(shù)n.
(1)畫出執(zhí)行該問題的程序框圖;
(2)以下是解決該問題的一個程序,但有幾處錯誤,請找出錯誤并予以更正.
i=1S=1n=0DO
S<=500
S=S+i
i=i+1
n=n+1WENDPRINT
n+1END.答案:(1)程序框圖如左圖所示.或者,如右圖所示:(2)①DO應改為WHILE;
②PRINT
n+1
應改為PRINT
n;
③S=1應改為S=0.23.利用計算機在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生兩個隨機數(shù)a和b,則方程有實根的概率為()
A.
B.
C.
D.1答案:A24.P為橢圓x225+y216=1上一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為其左,右焦點,則△PF1F2周長為______.答案:由題意知△PF1F2周長=2a+2c=10+6=16.25.用數(shù)學歸納法證明“<n(n∈N*,n>1)”時,由n=k(k>1)不等式成立,推證n=k+1時,左邊應增加的項數(shù)是()
A.2k-1
B.2k-1
C.2k
D.2k+1答案:C26.在對兩個變量x,y進行線性回歸分析時,有下列步驟:
①對所求出的回歸直線方程作出解釋;
②收集數(shù)據(jù)(xi,yi),i=1,2,…,n;
③求線性回歸方程;
④求相關(guān)系數(shù);
⑤根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點圖.
如果根據(jù)可形性要求能夠作出變量x,y具有線性相關(guān)結(jié)論,則在下列操作順序中正確的是()
A.①②⑤③④
B.③②④⑤①
C.②④③①⑤
D.②⑤④③①答案:D27.設(shè)S(n)=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2,則()A.S(2)=12+13B.S(2)=12+14C.S(2)=1+12+13+14D.S(2)=12+13+14答案:∵S(n)=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2,當n=2時,n2=4故S(2)=12+13+14故選D28.四名男生三名女生排成一排,若三名女生中有兩名相鄰,但三名女生不能連排,則不同的排法數(shù)有()A.3600B.3200C.3080D.2880答案:由題意知本題需要利用分步計數(shù)原理來解,∵三名女生有且僅有兩名相鄰,∴把這兩名女生看做一個元素,與另外一名女生作為兩個元素,有C32A22種結(jié)果,把男生排列有A44,把女生在男生所形成的5個空位中排列有A52種結(jié)果,共有C32A22A44A52=2880種結(jié)果,故選D.29.某公司招聘員工,經(jīng)過筆試確定面試對象人數(shù),面試對象人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算,計算公式為y=4x1≤x≤102x+1010<x≤1001.5xx>100其中x代表擬錄用人數(shù),y代表面試對象人數(shù).若應聘的面試對象人數(shù)為60人,則該公司擬錄用人數(shù)為()A.15B.40C.25D.130答案:由題意知:當10<x≤100時,y=2x+10∈(30,210],又因為60∈(30,210],∴2x+10=60,∴x=25.故:該公司擬錄用人數(shù)為25人.故選C.30.在極坐標系中,點A的極坐標為(2,0),直線l的極坐標方程為ρ(cosθ+sinθ)+2=0,則點A到直線l的距離為______.答案:由題意得點A(2,0),直線l為
ρ(cosθ+sinθ)+2=0,即
x+y+2=0,∴點A到直線l的距離為
|2+0+2|2=22,故為22.31.某航空公司經(jīng)營A,B,C,D這四個城市之間的客運業(yè)務(wù),它們之間的直線距離的部分機票價格如下:AB為2000元;AC為1600元;AD為2500元;CD為900元;BC為1200元,若這家公司規(guī)定的機票價格與往返城市間的直線距離成正比,則BD間直線距離的票價為(設(shè)這四個城在同一水平面上)()
A.1500元
B.1400元
C.1200元
D.1000元答案:A32.設(shè)a1,a2,…,an為正數(shù),證明a1+a2+…+ann≥n1a1+1a2+…+1an.答案:證明:∵a1,a2,…,an為正數(shù),∴要證明a1+a2+…+ann≥n1a1+1a2+…+1an,只要證明(a1+a2+…+an)(1a1+1a2+…1an)≥n2∵a1+a2+…+an≥nna1a2…an,1a1+1a2+…1an≥nn1a1a2…an∴兩式相乘,可得(a1+a2+…+an)(1a1+1a2+…1an)≥n2∴原不等式成立.33.如圖①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx,根據(jù)圖象可得a、b、c、d與1的大小關(guān)系為()
A.a(chǎn)<b<1<c<d
B.b<a<1<d<c
C.1<a<b<c<d
D.a(chǎn)<b<1<d<c
答案:B34.若實數(shù)X、少滿足,則的范圍是()
A.[0,4]
B.(0,4)
C.(-∝,0]U[4,+∝)
D.(-∝,0)U(4,+∝))答案:D35.將5位志愿者分成4組,其中一組為2人,其余各組各1人,到4個路口協(xié)助交警執(zhí)勤,則不同的分配方案有______種(用數(shù)字作答).答案:由題意,先分組,再到4個路口協(xié)助交警執(zhí)勤,則不同的分配方案有C25A44=240種故為:240.36.如圖,梯形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB∥CD,AB為直徑,DO平分∠ADC,則∠DAO的度數(shù)是
______.答案:∵DO平分∠ADC,∴∠CDO=∠ODA;∵OD=OA,∴∠A=∠ADO=12∠ADC;∵AB∥CD,∴∠A+∠ADC=3∠A=180°,即∠A=∠ADO=60°.故為:60°37.現(xiàn)有編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九道不同的數(shù)學題,某同學從這九道題中一次隨機抽取兩道題,每題被抽到的概率是相等的,用符號(x,y)表示事件“抽到兩題的編號分別為x,y,且x<y”.
(1)共有多少個基本事件?并列舉出來.
(2)求該同學所抽取的兩道題的編號之和小于17但不小于11的概率.答案:(1)共有36種基本事件,列舉如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7)(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9);(2)設(shè)事件A=“兩道題的編號之和小于17但不小于11”則事件A包含事件有:(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9)共15種.∴P(A)=1536=512.38.已知函數(shù)f(x)=x2+2,x≥13x,x<1,則f(f(0))=()A.4B.3C.9D.11答案:因為f(0)=30=1,所以f[f(0)]═f(1)=1+2=3.故選B.39.點(2a,a-1)在圓x2+y2-2y-4=0的內(nèi)部,則a的取值范圍是()
A.-1<a<1
B.0<a<1
C.-1<a<
D.-<a<1答案:D40.已知兩點A(2,1),B(3,3),則直線AB的斜率為()
A.2
B.
C.
D.-2答案:A41.已知a=(2,3),b=(1,2),(a+λb)⊥(a-b),則λ=______.答案:∵a=(2,3),b=(1,2),∴a2=(2,3)?(2,3)=4+9=13,b2=(1,2)?(1,2)=1+4=5∵(a+λb)⊥(a-b)∴(a+λb)?(a-b)=a2-λb2=13-5λ=0∴λ=135故為:13542.若A∩B=A∪B,則A______B.答案:設(shè)有集合W=A∪B=B∩C,根據(jù)并集的性質(zhì),W=A∪B?A?W,B?W,根據(jù)交集的性質(zhì),W=A∩B?W?A,W?B由集合子集的性質(zhì),A=B=W,故為:=.43.數(shù)集{1,x,2x}中的元素x應滿足的條件是______.答案:根據(jù)集合中元素的互異性可得1≠x,x≠2x,1≠2x∴x≠1且x≠12且x≠0.故為:x≠1且x≠12且x≠0.44.某學校為了解該校1200名男生的百米成績(單位:秒),隨機選擇了50名學生進行調(diào)查.如圖是這50名學生百米成績的頻率分布直方圖.根據(jù)樣本的頻率分布,估計這1200名學生中成績在[13,15](單位:秒)內(nèi)的人數(shù)大約是______.答案:∵由圖知,前面兩個小矩形的面積=0.02×1+0.18×1=0.2,即頻率,∴1200名學生中成績在[13,15](單位:s)內(nèi)的人數(shù)大約是0.2×1200=240.故為240.45.若x,y∈R,x>0,y>0,且x+2y=1,則xy的最大值為______.答案:∵x,y∈R,x>0,y>0,且x+2y=1,∴1=x+2y≥2x?2y,∴22×xy≤1,∴xy≤
122=24,所以xy≤18.當且僅當x=2yx+2y=1時,即x=12,y=14時,取等號.故為:18.46.如圖給出了一個算法程序框圖,該算法程序框圖的功能是()A.求a,b,c三數(shù)的最大數(shù)B.求a,b,c三數(shù)的最小數(shù)C.將a,b,c按從小到大排列D.將a,b,c按從大到小排列答案:逐步分析框圖中的各框語句的功能,第一個條件結(jié)構(gòu)是比較a,b的大小,并將a,b中的較小值保存在變量a中,第二個條件結(jié)構(gòu)是比較a,c的大小,并將a,c中的較小值保存在變量a中,故變量a的值最終為a,b,c中的最小值.由此程序的功能為求a,b,c三個數(shù)的最小數(shù).故選B47.如圖,在正方體OABC-O1A1B1C1中,棱長為2,E是B1B的中點,則點E的坐標為()
A.(2,2,1)
B.(2,2,)
C.(2,2,)
D.(2,2,)
答案:A48.已知f(x+1)=x2+2x+3,則f(2)的值為______.答案:由f(x+1)=x2+2x+3,得f(1+1)=12+2×1+3=6,故為:6.49.如圖,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1.在三角形內(nèi)挖去半圓(圓心O在邊AC上,半圓與BC、AB相切于點C、M,與AC交于N,見圖中非陰影部分),則該半圓的半徑長為______.答案:連接OM,則OM⊥AB.設(shè)⊙O的半徑OM=OC=r.在Rt△OAM中,OA=OMsin30°=2r.在Rt△ABC中,AC=BCtan30°=3,∴3=AC=OA+OC=3r,∴r=33.故為33.50.在平面直角坐標系xOy中,已知圓C:x=5cosθ-1y=5sinθ+2(θ為參數(shù))和直線l:x=4t+6y=-3t-2(t為參數(shù)),則直線l與圓C相交所得的弦長等于______.答案:∵在平面直角坐標系xOy中,已知圓C:x=5cosθ-1y=5sinθ+2(θ為參數(shù)),∴(x+1)2+(y-2)2=25,∴圓心為(-1,2),半徑為5,∵直線l:x=4t+6y=-3t-2(t為參數(shù)),∴3x+4y-10=0,∴圓心到直線l的距離d=|-3+8-10|5=1,∴直線l與圓C相交所得的弦長=2×52-1=46.故為46.第3卷一.綜合題(共50題)1.在⊙O中,弦AB=1.8cm,圓周角∠ACB=30°,則⊙O的直徑等于()
A.3.2cm
B.3.4cm
C.3.6cm
D.4.0cm答案:C2.一動圓與兩圓x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,則動圓圓心軌跡為()A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線答案:設(shè)動圓的圓心為P,半徑為r,而圓x2+y2=1的圓心為O(0,0),半徑為1;圓x2+y2-8x+12=0的圓心為F(4,0),半徑為2.依題意得|PF|=2+r|,|PO|=1+r,則|PF|-|PO|=(2+r)-(1+r)=1<|FO|,所以點P的軌跡是雙曲線的一支.故選C.3.8的值為()
A.2
B.4
C.6
D.8答案:B4.如圖所示,設(shè)P為△ABC所在平面內(nèi)的一點,并且AP=15AB+25AC,則△ABP與△ABC的面積之比等于()A.15B.12C.25D.23答案:連接CP并延長交AB于D,∵P、C、D三點共線,∴AP=λAD+μAC且λ+μ=1設(shè)AB=kAD,結(jié)合AP=15AB+25AC得AP=k5AD+25AC由平面向量基本定理解之,得λ=35,k=3且μ=25∴AP=35AD+25AC,可得PD=25CD,∵△ABP的面積與△ABC有相同的底邊AB高的比等于|PD|與|CD|之比∴△ABP的面積與△ABC面積之比為25故選:C5.設(shè)A1,A2,A3,A4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點,若A1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4=μA1A2(μ∈R),且1λ+1μ=2,則稱A3,A4調(diào)和分割A1,A2,已知點C(c,0),D(d,O)(c,d∈R)調(diào)和分割點A(0,0),B(1,0),則下面說法正確的是()A.C可能是線段AB的中點B.D可能是線段AB的中點C.C,D可能同時在線段AB上D.C,D不可能同時在線段AB的延長線上答案:由已知可得(c,0)=λ(1,0),(d,0)=μ(1,0),所以λ=c,μ=d,代入1λ+1μ=2得1c+1d=2(1)若C是線段AB的中點,則c=12,代入(1)d不存在,故C不可能是線段AB的中,A錯誤;同理B錯誤;若C,D同時在線段AB上,則0≤c≤1,0≤d≤1,代入(1)得c=d=1,此時C和D點重合,與條件矛盾,故C錯誤.故選D6.a、b、c∈R,則下列命題為真命題的是______.
①若a>b,則ac2>bc2
②若ac2>bc2,則a>b
③若a<b<0,則a2>ab>b2
④若a<b<0,則1a<1b.答案:當c=0時,ac2=bc2,故①不成立;若ac2>bc2,則c2≠0,即c2>0,則a>b,故②成立;若a<b<0,則a2>ab且ab>b2,故a2>ab>b2,故③成立;若a<b<0,則ab>0,故aab<bab,即1a>1b,故④不成立故②③為真命題故為:②③7.甲、乙兩人破譯一種密碼,它們能破譯的概率分別為和,求:
(1)恰有一人能破譯的概率;(2)至多有一人破譯的概率;
(3)若要破譯出的概率為不小于,至少需要多少甲這樣的人?答案:(1)(2)(3)至少需4個甲這樣的人才能滿足題意.解析:(1)設(shè)A為“甲能譯出”,B為“乙能譯出”,則A、B互相獨立,從而A與、與B、與均相互獨立.“恰有一人能譯出”為事件,又與互斥,則(2)“至多一人能譯出”的事件,且、、互斥,∴(3)設(shè)至少需要n個甲這樣的人,而n個甲這樣的人譯不出的概率為,∴n個甲這樣的人能譯出的概率為,由∴至少需4個甲這樣的人才能滿足題意.8.從數(shù)字1,2,3,4,5中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù),這個兩位數(shù)大于40的概率()A.15B.25C.35D.45答案:由題意知本題是一個古典概型,試驗發(fā)生包含的事件是從數(shù)字1,2,3,4,5中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù),共有A52=20種結(jié)果,滿足條件的事件可以列舉出有,41,41,43,45,54,53,52,51共有8個,根據(jù)古典概型概率公式得到P=820=25,故選B.9.圓ρ=5cosθ-5sinθ的圓心的極坐標是()
A.(-5,-)
B.(-5,)
C.(5,)
D.(-5,)答案:A10.“a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=1”的()
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件答案:C11.在畫兩個變量的散點圖時,下面哪個敘述是正確的()
A.預報變量x軸上,解釋變量y軸上
B.解釋變量x軸上,預報變量y軸上
C.可以選擇兩個變量中任意一個變量x軸上
D.可以選擇兩個變量中任意一個變量y軸上答案:B12.下列幾種說法正確的個數(shù)是()
①相等的角在直觀圖中對應的角仍然相等;
②相等的線段在直觀圖中對應的線段仍然相等;
③平行的線段在直觀圖中對應的線段仍然平行;
④線段的中點在直觀圖中仍然是線段的中點.
A.1
B.2
C.3
D.4答案:B13.已知|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為300,則|a+b|等于()A.13B.15C.17D.19答案:∵|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為300,∴a?b=|a||b|cos30°=2×3×32=3則|a+b|=a2+2a?b+b2=13故選A14.投擲一個質(zhì)地均勻的、每個面上標有一個數(shù)字的正方體玩具,它的六個面中,有兩個面標的數(shù)字是0,兩個面標的數(shù)字是2,兩個面標的數(shù)字是4,將此玩具連續(xù)拋擲兩次,以兩次朝上一面出現(xiàn)的數(shù)字分別作為點P的橫坐標和縱坐標
(1)求點P落在區(qū)域C:x2+y2≤10內(nèi)的概率;
(2)若以落在區(qū)域C上的所有點為頂點作面積最大的多邊形區(qū)域M,在區(qū)域C上隨機撒一粒豆子,求豆子落在區(qū)域M上的概率.答案:(1)點P的坐標有:(0,0),(0,2),(0,4),(2,0),(2,2),(2,4),(4,0),(4,2),(4,4),共9種,其中落在區(qū)域C:x2+y2≤10上的點P的坐標有:(0,0),(0,2),(2,0),(2,2),共4種D、故點P落在區(qū)域C:x2+y2≤10內(nèi)的概率為49.(2)區(qū)域M為一邊長為2的正方形,其面積為4,區(qū)域C的面積為10π,則豆子落在區(qū)域M上的概率為25π.15.已知雙曲線的兩條準線將兩焦點間的線段三等分,則雙曲線的離心率是______.答案:由題意可得2c×13=2a2c,∴3a2=c2,∴e=ca=3,故為:3.16.設(shè)O、A、B、C為平面上四個點,(
)
A.2
B.2
C.3
D.3答案:C17.若雙曲線的漸近線方程為y=±3x,它的一個焦點是(10,0),則雙曲線的方程是______.答案:因為雙曲線的漸近線方程為y=±3x,則設(shè)雙曲線的方程是x2-y29=λ,又它的一個焦點是(10,0)故λ+9λ=10∴λ=1,x2-y29=1故為:x2-y29=118.(1)把參數(shù)方程(t為參數(shù))x=secty=2tgt化為直角坐標方程;
(2)當0≤t<π2及π≤t<3π2時,各得到曲線的哪一部分?答案:(1)利用公式sec2t=1+tg2t,得x2=1+y24.∴曲線的直角坐標普通方程為x2-y24=1.(2)當0≤t≤π2時,x≥1,y≥0,得到的是曲線在第一象限的部分(包括(1,0)點);當0≤t≤3π2時,x≤-1,y≥0,得到的是曲線在第二象限的部分,(包括(-1,0)點).19.用三段論的形式寫出下列演繹推理.
(1)若兩角是對頂角,則該兩角相等,所以若兩角不相等,則該兩角不是對頂角;
(2)矩形的對角線相等,正方形是矩形,所以,正方形的對角線相等.答案:(1)兩個角是對頂角則兩角相等,大前提∠1和∠2不相等,小前提∠1和∠2不是對頂角.結(jié)論(2)每一個矩形的對角線相等,大前提正方形是矩形,小前提正方形的對角線相等.結(jié)論20.同時擲兩顆骰子,得到的點數(shù)和為4的概率是______.答案:同時擲兩顆骰子得到的點數(shù)共有36種情況,即(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6),(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6),(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6),(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6),(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6),(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6),而和為4的情況數(shù)有3種,即(1,3)(2,2)(3,1)所以所求概率為336=112,故為:11221.若集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},則A∪B=______.答案:因為集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},所以A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}={x|2<x<10},故為:{x|2<x<10}.22.與向量a=(12,5)平行的單位向量為()A.(1213,-513)B.(-1213,-513)C.(1213,513)或(-1213,-513)D.(-1213,513)或(1213,-513)答案:設(shè)與向量a=(12,5)平行的單位向量b=(x,y),|a|=13所以a=±13bb=(1213,513),或b=(-1213,-513)故選C.23.管理人員從一池塘中撈出30條魚做上標記,然后放回池塘,將帶標記的魚完全混合于魚群中.10天后,再捕上50條,發(fā)現(xiàn)其中帶標記的魚有2條.根據(jù)以上收據(jù)可以估計該池塘有______條魚.答案:設(shè)該池塘中有x條魚,由題設(shè)條件建立方程:30x=250,解得x=750.故為:750.24.F1,F(xiàn)2是橢圓x2a2+y2b2=1的兩個焦點,點P是橢圓上任意一點,從F1引∠F1PF2的外角平分線的垂線,交F2P的延長線于M,則點M的軌跡是______.答案:設(shè)從F1引∠F1PF2的外角平分線的垂線,垂足為R∵△PF1M中,PR⊥F1M且PR是∠F1PM的平分線∴|MP|=|F1P|,可得|PF1|+|PF2|=|PM|+|PF2|=|MF2|根據(jù)橢圓的定義,可得|PF1|+|PF2|=2a,∴|MF2|=2a,即動點M到點F2的距離為定值2a,因此,點M的軌跡是以點F2為圓心,半徑為2a的圓.故為:以點F2為圓心,半徑為2a的圓.25.設(shè)兩圓C1、C2都和兩坐標軸相切,且都過點(4,1),則兩圓心的距離|C1C2|=______.答案:∵兩圓C1、C2都和兩坐標軸相切,且都過點(4,1),故兩圓圓心在第一象限的角平分線上,設(shè)圓心的坐標為(a,a),則有|a|=(a-4)2-(a-1)2,∴a=5+22,或a=5-22,故圓心為(5+22,5+22
)
和(5-22,5-22
),故兩圓心的距離|C1C2|=2[(5+22)-(5-22)]=8,故為:826.已知點P(3,m)在以點F為焦點的拋物線x=4t2y=4t(t為參數(shù))上,則|PF|的長為______.答案:∵拋物線x=4t2y=4t(t為參數(shù))上,∴y2=4x,∵點P(3,m)在以點F為焦點的拋物線x=4t2y=4t(t為參數(shù))上,∴m2=4×3=12,∴P(3,23)∵F(1,0),∴|PF|=22+(23)2=4,故為4.27.正方形ABCD的邊長為1,=,=,則|+|=(
)
A.0
B.2
C.
D.2答案:C28.已知x+2y+3z=1,則x2+y2+z2取最小值時,x+y+z的值為______.答案:由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)故x2+y2+z2≥114,當且僅當x1=y2=z3取等號,此時y=2x,z=3x,x+2y+3z=14x=1,∴x=114,y=214,x=314,x+y+z=614=37.故為:37.29.函數(shù)f(x)=2x2+1,&x∈[0,2],則函數(shù)f(x)的值域為()A.[1,32]B.[4,32]C.[2,32]D.[2,4]答案:∵f(x)=2x2+1,x∈[0,2],∴設(shè)y=2t,t=x2+1∈[1,5],∵y=2t是增函數(shù),∴t=1時,ymin=2;t=5時,ymax=25=32.∴函數(shù)f(x)的值域為[2,32].故為:C.30.已知R為實數(shù)集,Q為有理數(shù)集.設(shè)函數(shù)f(x)=0,(x∈CRQ)1,(x∈Q),則()A.函數(shù)y=f(x)的圖象是兩條平行直線B.limx→∞f(x)=0或limx→∞f(x)=1C.函數(shù)f[f(x)]恒等于0D.函數(shù)f[f(x)]的導函數(shù)恒等于0答案:函數(shù)y=f(x)的圖象是兩條平行直線上的一些孤立的點,故A不正確;函數(shù)f(x)的極限只有唯一的值,左右極限不等,則該函數(shù)不存在極限,故B不正確;若x是無理數(shù),則f(x)=0,f[f(x)]=f(0)=1,故C不正確;∵f[f(x)]=1,∴函數(shù)f[f(x)]的導函數(shù)恒等于0,故D正確;故選D.31.已知z=1+i,則|z|=______.答案:由z=1+i,所以|z|=12+12=2.故為2.32.已知
p:所有國產(chǎn)手機都有陷阱消費,則¬p是()
A.所有國產(chǎn)手機都沒有陷阱消費
B.有一部國產(chǎn)手機有陷阱消費
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