第七章 假設(shè)檢驗和顯著性

假設(shè)檢驗和顯著性假設(shè)檢驗和顯著性如果認(rèn)為一個特定的假設(shè)是真的，我們發(fā)現(xiàn)在隨機樣本中看到的結(jié)果，與在這一假設(shè)下期望的結(jié)果有明顯的不同，而期望結(jié)果是根據(jù)使用抽樣理論計算的可能性確定的，我們應(yīng)該說看到了差異是顯著的，從而主張拒絕該假設(shè)。例如，如果一枚硬幣擲200次，出現(xiàn)160次正面，我們應(yīng)該主張拒絕硬幣為均勻的假設(shè)。這樣的檢驗過程稱為假設(shè)檢驗，或者顯著性檢驗。這個過程足以使我們決定是接受還是拒絕假設(shè)，決定觀測樣本是否與期望的結(jié)果有顯著性差異。第一類和第二類錯誤如果某一假設(shè)是真的，而我們拒絕這個假設(shè)，則稱做出了第一類錯誤。反之如果假設(shè)是假的應(yīng)該被拒絕，而我們接受了這個假設(shè)，則稱做出了第二類錯誤。為了一個假設(shè)檢驗是好的，必須設(shè)計得使它錯誤最小化。但這并不容易，因為當(dāng)企圖降低某一類錯誤時，一般伴隨著使另一類錯誤增大。在實際中，就看哪一類錯誤造成的后果更嚴(yán)重，就適宜地限制那類錯誤更嚴(yán)些。如果要同時降低兩類錯誤的方法只有增加樣本容量。顯著性水平在檢驗一個給定假設(shè)時，我們可能會犯的第一類錯誤的最大概率稱為檢驗的顯著性水平。這個概率經(jīng)常在抽取樣本前被給定，實踐中顯著性水平習(xí)慣上用0.05或0.01等。例如，如果按照選定0.01或1%顯著性水平設(shè)計一個假設(shè)檢驗，那么在1000次中有大約10次機會，使在應(yīng)該接受該假設(shè)時而拒絕了它。有關(guān)正態(tài)分布的檢驗假定在一個給定假設(shè)下，統(tǒng)計量S的抽樣分布是正態(tài)分布，均值和方差分別是S，S。同時假定當(dāng)S太小或太大時，我們決定拒絕該假設(shè)。標(biāo)準(zhǔn)化變量Z=(S－S）/S的分布是N(0,1)，Z的極端值應(yīng)該導(dǎo)致拒絕該假設(shè)。我們能夠有95%的信心認(rèn)為，如果該假設(shè)檢驗是真的，統(tǒng)計量S的z值會出現(xiàn)在-1.96和1.96之間。如果z在這個區(qū)域之外，那么我們會歸納出：如果給定的假設(shè)是真的，這樣的事件發(fā)生的概率僅有0.05。那么我們會說這個z值與在該假設(shè)下所能期望的值顯著地不同，我們會主張拒絕該假設(shè)。單側(cè)和雙側(cè)檢驗上面顯示地檢驗中，興趣集中在統(tǒng)計量S或?qū)?yīng)的z值的期望值兩側(cè)的極端值，也就是分布的兩側(cè)尾部，因此這樣的檢驗稱為雙側(cè)檢驗。如果我們僅對期望值的一側(cè)極端值感興趣，也就是只看分布的一側(cè)尾部，這樣的檢驗稱為單側(cè)檢驗。P值在許多檢驗中，我們常考慮零假設(shè)H0是認(rèn)為總體參數(shù)有一個特定的值，而備擇假設(shè)H1會有下面的某種考慮：1該參數(shù)比所述特定值大(右側(cè)檢驗)；2該參數(shù)比所述特定值小(左側(cè)檢驗)；3該參數(shù)大于或小于所述特定值(雙側(cè)檢驗)。在進行檢驗和計算統(tǒng)計量S之后，檢驗的P值就是一個概率值，這個概率是：如果H0為真，在H1指示的方向?qū)嶋H出現(xiàn)的S值作為極端值可能出現(xiàn)的概率。例子假定正態(tài)總體的標(biāo)準(zhǔn)差已知是3，H0認(rèn)為均值等于12，從總體中抽取大小36的一個隨機樣本，樣本均值為Xm=12.95。檢驗統(tǒng)計量選用Z=(Xm-12)/0.5。當(dāng)H0為真時，這是一個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量。Z的值為1.9，那么檢驗的P值，依據(jù)備擇假設(shè)H1如下：1)>12，P值是一個概率，即均值真值時12時，大小為36的隨機樣本產(chǎn)生樣本均值超過12.95的概率，也就是P(Z>=1.9)=0.029。換句話說，就是如果＝12在100次中大約有3次使Xm>=12.95。2)<12，檢驗的P值為均值真值是12時，大小為36的隨機樣本產(chǎn)生的樣本均值不超過12.95的概率，也就是P(Z<=1.9)=0.97，或者說如果=12時，在100次中大約有97次機會使Xm<=12.95。3)12，檢驗的P值為均值真值是12時，大小為36的隨機樣本產(chǎn)生的樣本均值離開12超過0.95單位的概率，也就是Xm>=12.95或Xm<=11.05的概率。這時P值為P(Z<=-1.9)+P(Z>=1.9)=0.057。這就是說當(dāng)=12時，在100次中大約有6次機會使|Xm-12|>=0.95。小的P值提供了傾向于備擇假設(shè)拒絕零假設(shè)的證據(jù)，而大的P值提供了不傾向備擇假設(shè)不拒絕零假設(shè)