第七章 假設檢驗和顯著性

假設檢驗和顯著性假設檢驗和顯著性如果認為一個特定的假設是真的，我們發(fā)現(xiàn)在隨機樣本中看到的結(jié)果，與在這一假設下期望的結(jié)果有明顯的不同，而期望結(jié)果是根據(jù)使用抽樣理論計算的可能性確定的，我們應該說看到了差異是顯著的，從而主張拒絕該假設。例如，如果一枚硬幣擲200次，出現(xiàn)160次正面，我們應該主張拒絕硬幣為均勻的假設。這樣的檢驗過程稱為假設檢驗，或者顯著性檢驗。這個過程足以使我們決定是接受還是拒絕假設，決定觀測樣本是否與期望的結(jié)果有顯著性差異。第一類和第二類錯誤如果某一假設是真的，而我們拒絕這個假設，則稱做出了第一類錯誤。反之如果假設是假的應該被拒絕，而我們接受了這個假設，則稱做出了第二類錯誤。為了一個假設檢驗是好的，必須設計得使它錯誤最小化。但這并不容易，因為當企圖降低某一類錯誤時，一般伴隨著使另一類錯誤增大。在實際中，就看哪一類錯誤造成的后果更嚴重，就適宜地限制那類錯誤更嚴些。如果要同時降低兩類錯誤的方法只有增加樣本容量。顯著性水平在檢驗一個給定假設時，我們可能會犯的第一類錯誤的最大概率稱為檢驗的顯著性水平。這個概率經(jīng)常在抽取樣本前被給定，實踐中顯著性水平習慣上用0.05或0.01等。例如，如果按照選定0.01或1%顯著性水平設計一個假設檢驗，那么在1000次中有大約10次機會，使在應該接受該假設時而拒絕了它。有關正態(tài)分布的檢驗假定在一個給定假設下，統(tǒng)計量S的抽樣分布是正態(tài)分布，均值和方差分別是S，S。同時假定當S太小或太大時，我們決定拒絕該假設。標準化變量Z=(S－S）/S的分布是N(0,1)，Z的極端值應該導致拒絕該假設。我們能夠有95%的信心認為，如果該假設檢驗是真的，統(tǒng)計量S的z值會出現(xiàn)在-1.96和1.96之間。如果z在這個區(qū)域之外，那么我們會歸納出：如果給定的假設是真的，這樣的事件發(fā)生的概率僅有0.05。那么我們會說這個z值與在該假設下所能期望的值顯著地不同，我們會主張拒絕該假設。單側(cè)和雙側(cè)檢驗上面顯示地檢驗中，興趣集中在統(tǒng)計量S或?qū)膠值的期望值兩側(cè)的極端值，也就是分布的兩側(cè)尾部，因此這樣的檢驗稱為雙側(cè)檢驗。如果我們僅對期望值的一側(cè)極端值感興趣，也就是只看分布的一側(cè)尾部，這樣的檢驗稱為單側(cè)檢驗。P值在許多檢驗中，我們常考慮零假設H0是認為總體參數(shù)有一個特定的值，而備擇假設H1會有下面的某種考慮：1該參數(shù)比所述特定值大(右側(cè)檢驗)；2該參數(shù)比所述特定值小(左側(cè)檢驗)；3該參數(shù)大于或小于所述特定值(雙側(cè)檢驗)。在進行檢驗和計算統(tǒng)計量S之后，檢驗的P值就是一個概率值，這個概率是：如果H0為真，在H1指示的方向?qū)嶋H出現(xiàn)的S值作為極端值可能出現(xiàn)的概率。例子假定正態(tài)總體的標準差已知是3，H0認為均值等于12，從總體中抽取大小36的一個隨機樣本，樣本均值為Xm=12.95。檢驗統(tǒng)計量選用Z=(Xm-12)/0.5。當H0為真時，這是一個標準正態(tài)隨機變量。Z的值為1.9，那么檢驗的P值，依據(jù)備擇假設H1如下：1)>12，P值是一個概率，即均值真值時12時，大小為36的隨機樣本產(chǎn)生樣本均值超過12.95的概率，也就是P(Z>=1.9)=0.029。換句話說，就是如果＝12在100次中大約有3次使Xm>=12.95。2)<12，檢驗的P值為均值真值是12時，大小為36的隨機樣本產(chǎn)生的樣本均值不超過12.95的概率，也就是P(Z<=1.9)=0.97，或者說如果=12時，在100次中大約有97次機會使Xm<=12.95。3)12，檢驗的P值為均值真值是12時，大小為36的隨機樣本產(chǎn)生的樣本均值離開12超過0.95單位的概率，也就是Xm>=12.95或Xm<=11.05的概率。這時P值為P(Z<=-1.9)+P(Z>=1.9)=0.057。這就是說當=12時，在100次中大約有6次機會使|Xm-12|>=0.95。小的P值提供了傾向于備擇假設拒絕零假設的證據(jù)，而大的P值提供了不傾向備擇假設不拒絕零假設