正、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值

第二課時(shí)正、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值

同步導(dǎo)學(xué)方案課后強(qiáng)化演練1．借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(單調(diào)性、最值、圖象及與x軸的交點(diǎn)等)．2．能利用性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問題．正、余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)名稱圖象與性質(zhì)性質(zhì)分類y＝sinxy＝cosx相同處定義域值域周期性(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)[－1,1][－1,1]T＝2πT＝2π正、余弦函數(shù)的所有性質(zhì)都是針對(duì)自變量x本身而言的．正弦函數(shù)y＝sinx(x∈R)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，其圖象在對(duì)稱中心和對(duì)稱軸處對(duì)應(yīng)的分別為函數(shù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)．正弦函數(shù)有單調(diào)區(qū)間，但并不是定義域上的單調(diào)函數(shù)，即：它在整個(gè)定義域內(nèi)并不單調(diào)．余弦函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，同正弦函數(shù)一樣，也分別對(duì)應(yīng)余弦函數(shù)的最值點(diǎn)和零點(diǎn)．正弦曲線和余弦曲線都既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．比較正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象，我們可以看出，其實(shí)二者是完全一樣的，只是位置有所變動(dòng)，這就決定了余弦函數(shù)與正弦函數(shù)有著許多相似的性質(zhì)．甚至，二者之間有著相似的解題方法和技巧，這對(duì)幫助我們學(xué)好余弦函數(shù)是很有利的．求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的單調(diào)區(qū)間，一般將ωx＋φ視作整體，代入y＝sinx或y＝cosx相關(guān)的單調(diào)區(qū)間所對(duì)應(yīng)的不等式，解之即得．這里實(shí)際上采用的是整體的思想，這是研究三角函數(shù)性質(zhì)的重要數(shù)學(xué)思想，一般地，ω<0時(shí)，y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)變形為y＝－Asin(－ωx－φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)變形為y＝Acos(－ωx－φ)，再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．所有的這些變形都是為了使x前面的系數(shù)為正值．同時(shí)要注意A<0時(shí)單調(diào)區(qū)間的變化. 三角函數(shù)的單調(diào)性【名師點(diǎn)撥】求三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)的單調(diào)區(qū)間，一定要注意到函數(shù)中A與ω的符號(hào)．如果ω<0，一般利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化為正數(shù)，再求解． 比較三角函數(shù)值的大小【思路探索】

利用誘導(dǎo)公式將異名三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名三角函數(shù)，非同一單調(diào)區(qū)間的角，轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．(2)∵sin2012°＝sin(360°×5＋212°)＝sin212°＝－sin32°，cos157°＝cos(90°＋67°)＝－sin67°，∵0°<32°<67°<90°，∴sin32°<sin67°，∴－sin32°>－sin67°，即sin2012°>cos157°.【名師點(diǎn)撥】比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小，一般應(yīng)先化為同名三角函數(shù)，并運(yùn)用誘導(dǎo)公式把角化在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大?。? 正、余弦函數(shù)的最值問題求下列函數(shù)的值域．【思路探索】

對(duì)于(1)，(2)利用函數(shù)的圖象求解；對(duì)于(3)可用換元法求解．(3)∵sin2x＋cos2x＝1，∴cos2x＝1－sin2x，∴y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1.設(shè)sinx＝t，－1≤t≤1，則原函數(shù)可化為y＝－t2＋2t－1，對(duì)稱軸為t＝1.∴當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝－1＋2－1＝0，當(dāng)t＝－1時(shí)，ymin＝－1－2－1＝－4，∴函數(shù)y＝cos2x＋2sinx－2的值域?yàn)閇－4,0]．【名師點(diǎn)撥】(1)對(duì)于形如y＝a＋bsinx或y＝a＋bcosx類型的函數(shù)求值域時(shí)，主要是利用三角函數(shù)的圖象求解，在解題時(shí)一定要注意函數(shù)的定義域．(2)對(duì)于形如y＝Asin2x＋Bsinx＋C或y＝Acos2x＋Bcosx＋C類型的函數(shù)求值域時(shí)，可采用換元法求解．1.下列函數(shù)在區(qū)間[0，π]上是單調(diào)函數(shù)的是(

)A．y＝sinx

B．y＝cos2xC．y＝sin2x