理論力學(xué)12-動能定理

第十二章動能定理前兩章是以動量和沖量為基礎(chǔ)，建立了質(zhì)點或質(zhì)點系運動量的變化與外力及外力作用時間之間的關(guān)系。本章以功和動能為基礎(chǔ)，建立質(zhì)點或質(zhì)點系動能的改變和力的功之間的關(guān)系，即動能定理。不同于動量定理和動量矩定理，動能定理是從能量的角度來分析質(zhì)點和質(zhì)點系的動力學(xué)問題。在介紹動能定理之前，先介紹有關(guān)的物理量：功與動能。引言有時是更為方便和有效的。同時，它還可以建立機械運動與其它形式運動之間的聯(lián)系。12.1力的功1常力的功設(shè)物體在常力F作用下沿直線走過路程s，則力所作的功W定義為功是代數(shù)量它表示力在一段路程上的累積作用效應(yīng)，因此功為累積量。在國際單位制中，功的單位為：J(焦耳),1J＝1N·m。12.1力的功2變力的功設(shè)質(zhì)點M在變力F的作用下沿曲線運動，如圖。M'M1M2qdsMdrF力在全路程上作的功等于元功之和上式稱為自然法表示的功的計算公式。力F在微小弧段上所作的功稱為力的元功,記為dW,于是有12.1力的功也稱為功的解析表達式。稱為矢徑法表示的功的計算公式。在直角坐標(biāo)系中上兩式可寫成矢量點乘積形式上式稱為直角坐標(biāo)法表示的功的計算公式12.1力的功1)重力的功設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m，在重力作用下從M1運動到M2。建立如圖坐標(biāo)，則代入功的解析表達式得3常見力的功M1M2Mmgz1z2Oxyz12.1力的功對于質(zhì)點系，其重力所作的功為由此可見重力的功僅與重心的始末位置有關(guān)而與重心走過的路徑無關(guān)12.1力的功2)彈力的功

物體受到彈性力的作用,作用點的軌跡為圖示曲線A1A2。A1A2r2r1d1d2l0Or0rAdFA0dr

在彈簧的彈性極限內(nèi),彈性力的大小與其變形量d成正比。設(shè)彈簧原長為l0

彈簧剛度系數(shù)為k沿矢徑方向的單位矢量為r0，則彈性力為12.1力的功A1A2r2r1d1d2l0Or0rAdFA0dr當(dāng)彈簧伸長時，r>l0，力F與r0的方向相反；當(dāng)彈簧被壓縮時，r<l0，力F與r0的方向一致；點A由A1至A2時，彈性力做功為12.1力的功于是或因為彈性力作的功只與彈簧在初始和末了位置的變形量有關(guān)當(dāng)時，彈性力做正功；當(dāng)時，彈性力做負(fù)功。與力的作用點A的軌跡形狀無關(guān)。12.1力的功3)定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功設(shè)作用在定軸轉(zhuǎn)動剛體上A點的力為F,將該力分解為Ft、Fn和Fb，當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)角j與弧長s的關(guān)系為R為力作用點A到軸的垂距。力F的元功為FtFrFbFnOzO1Aq力F在剛體從角j1轉(zhuǎn)到j(luò)2所作的功為Mz可視為作用在剛體上的力偶12.1力的功a例1如圖所示滑塊重P＝9.8N，彈簧剛度系數(shù)k＝0.5N/cm，滑塊在A位置時彈簧對滑塊的拉力為2.5N，滑塊在20N的繩子拉力作用下沿光滑水平槽從位置A運動到位置B，求作用于滑塊上所有力的功的和。解：滑塊在任一瞬時受力如圖。在運動過程中，T的大小不變，但方向在變，因此T的元功為T15cmBA20cmTPFN由于P與N始終垂直于滑塊位移，因此，它們所作的功為零。所以只需計算T與F的功，先計算T的功：12.1力的功因此T在整個過程中所作的功為再計算F的功：由題意：因此F在整個過程中所作的功為因此所有力的功為T15cmBA20cm12.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能1.質(zhì)點的動能設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m，速度為v，則質(zhì)點的動能為動能是標(biāo)量，在國際單位制中動能的單位是焦耳(J)。2.質(zhì)點系的動能質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點動能的算術(shù)和稱為質(zhì)點系的動能，即剛體是工程實際中常見的質(zhì)點系，當(dāng)剛體的運動形式不同時，其動能的表達式也不同。12.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能(1)

平動剛體的動能(2)

定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能12.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能(3)

平面運動剛體的動能因為JP＝JC

+md

2所以因為d·w＝vC

,于是得平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平動的動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能的和。dwCP12.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能CvC牢記均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動時的動能:12.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能12.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能vABC解：II為AB桿的瞬心例2均質(zhì)細(xì)桿長為l，質(zhì)量為m，上端B靠在光滑的墻上，下端A用鉸與質(zhì)量為M半徑為R且放在粗糙地面上的圓柱中心相連，在圖示位置圓柱作純滾動，中心速度為v，桿與水平線的夾角=45o，求該瞬時系統(tǒng)的動能。12.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能例3長為l，重為P的均質(zhì)桿OA由球鉸鏈O固定，并以等角速度ω

繞鉛直線轉(zhuǎn)動，如圖所示，如桿與鉛直線的交角為α，求桿的動能。桿OA的動能是解：取出微段dr，到球鉸的距離為r微段的質(zhì)量微段的動能aOO1wPAC該微段的速度是drBr12.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能O1例4求橢圓規(guī)的動能，其中OC、AB為均質(zhì)細(xì)桿，質(zhì)量為m和2m，長為a和2a，滑塊A和B質(zhì)量均為m，曲柄OC的角速度為w，j

=60°。解：在橢圓規(guī)系統(tǒng)中滑塊A和B作平動，曲柄OC作定軸轉(zhuǎn)動，規(guī)尺AB作平面運動。ABOCjwvCvBvAwAB首先對運動進行分析，O1是AB的速度瞬心，因:12.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能ABvAvCOCjO1wvBwAB對于曲柄OC： 規(guī)尺作平面運動，用繞速度瞬心轉(zhuǎn)動的公式求動能：12.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能系統(tǒng)的總動能為： ABvAvCOCjO1wvBwAB12.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能BjA例5滑塊A以速度vA在滑道內(nèi)滑動，其上鉸接一質(zhì)量為m，長為l的均質(zhì)桿AB，桿以角速度ω

繞A轉(zhuǎn)動，如圖。試求當(dāng)桿AB與鉛垂線的夾角為j時，桿的動能。解：AB桿作平面運動，其質(zhì)心C的速度為速度合成矢量圖如圖。由余弦定理vAvAvCAvCvAwjBAlw12.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能則桿的動能BjAvAvCAvCvAw1.質(zhì)點的動能定理取質(zhì)點運動微分方程的矢量形式在方程兩邊點乘dr，得因dr＝vdt，于是上式可寫成或質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點上的力的元功。12.3動能定理積分上式，得或在質(zhì)點運動的某個過程中，質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功。12.3動能定理2.質(zhì)點系的動能定理設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，第i個質(zhì)點的質(zhì)量為mi，速度為vi，根據(jù)質(zhì)點的動能定理的微分形式，有式中dWi表示作用在第i個質(zhì)點上所有力所作的元功之和。對質(zhì)點系中每個質(zhì)點都可以列出如上的方程，將n個方程相加，得12.3動能定理于是得質(zhì)點系動能的微分，等于作用在質(zhì)點系上所有力所作的元功之和。對上式積分，得質(zhì)點系在某一運動過程中，起點和終點的動能的改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力在這一過程中所作的功之和。12.3動能定理3.理想約束及內(nèi)力作功對于光滑固定面和一端固定的繩索等約束，其約束力都垂直于力作用點的位移，約束力不作功。12.3動能定理光滑鉸支座和固定端約束，由于被約束物體沒有位移，其約束力不作功。光滑鉸鏈(中間鉸鏈)、剛性二力桿及不可伸長的細(xì)繩作為系統(tǒng)內(nèi)的約束時，內(nèi)力成對出現(xiàn)，約束力作功之和等于零?；瑒幽Σ亮ψ髫?fù)功。當(dāng)輪子在固定面上只滾不滑時，接觸點為瞬心，滑動摩擦力作用點沒動，此時滑動摩擦力不作功。變形元件的內(nèi)力(氣缸內(nèi)氣體壓力、彈簧力等)作功；剛體所有內(nèi)力作功的和等于零。12.3動能定理

例6一長為l，質(zhì)量密度為ρ的鏈條放置在光滑的水平桌面上，有長為b的一段懸掛下垂，如圖。初始鏈條靜止，在自重的作用下運動。求當(dāng)末端滑離桌面時，鏈條的速度。解得解:鏈條在初始及終了兩狀態(tài)的動能分別為

在運動過程中所有的力所作的功為由12.3動能定理例7已知：

m

，R,f

，

。求純滾動時盤心的加速度。CFNmgvCF解：取系統(tǒng)為研究對象，假設(shè)圓盤中心向下產(chǎn)生位移s時速度達到vc。s力的功：由動能定理得：解得：R12.3動能定理例8卷揚機如圖，鼓輪在常力偶M的作用下將圓柱上拉。已知鼓輪的半徑為R1，質(zhì)量為m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為R2，質(zhì)量為m2，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜坡的傾角為α，圓柱只滾不滑。系統(tǒng)從靜止開始運動，求圓柱中心C經(jīng)過路程S時的速度。解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動能分別為FNFOxFOyMFSm1gaOCm2g系統(tǒng)在運動過程中所有力所作的功為12.3動能定理其中于是由得解之得aFNFSm2gm1gFOxFOyMOC12.3動能定理例9在對稱連桿的A點，作用一鉛垂方向的常力F，開始時系統(tǒng)靜止，如圖。求連桿OA運動到水平位置時的角速度。設(shè)連桿長均為l，質(zhì)量均為m，均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m1，且作純滾動。解：分析系統(tǒng)，初瞬時的動能為設(shè)連桿OA運動到水平位置時的角速度為ω。OaAFBwvAvB且此時B端為桿AB的速度瞬心由于OA＝AB所以桿AB的角速度也為ω。因此輪B的角速度為零，vB=0。系統(tǒng)此時的動能為12.3動能定理系統(tǒng)受力如圖所示解得OaAFBmgmgFSFNm1gFOxFOy由得在運動過程中所有的力所作的功為例10

已知：

J1、

J2、R1、R2、i12=R2/R1、M1、M2。求軸Ⅰ的角加速度。ⅠⅡM1M2解：取系統(tǒng)為研究對象由運動學(xué)可知：主動力的功：12.3動能定理12.3動能定理由動能定理得：將上式對時間求導(dǎo)，并注意解得：ⅠⅡM1M2例11兩根完全相同的均質(zhì)細(xì)桿AB和BC用鉸鏈B連接在一起，而桿BC則用鉸鏈C連接在C點上，每根桿重P＝10N，長l＝1m，一彈簧常數(shù)k＝120N/m的彈簧連接在兩桿的中心，如圖所示。假設(shè)兩桿與光滑地面的夾角q＝60o時彈簧不伸長，一F＝10N的力作用在A點，該系統(tǒng)由靜止釋放，試求q＝0o時AB桿的角速度。OvAvDFwAB解：AB桿作平面運動，BC桿作定軸轉(zhuǎn)動得 找出AB桿的速度瞬心在O點由幾何關(guān)系知OB＝BC＝l因此由12.3動能定理AqCBDwBCvBAqCBODvAvDvBFwBCwAB同時還可以得出結(jié)論因為系統(tǒng)屬理想約束，所以約束反力不做功主動力做功當(dāng)θ=0o時O點與A點重合，即此時A為AB桿的速度瞬心，所以做功的力有主動力F，重力P和彈簧力，分別求得如下：12.3動能定理彈簧力做功外力所做總功由動能定理的積分形式得：

重力做功12.3動能定理12.3動能定理解：取系統(tǒng)分析，則運動初瞬時的動能為例12

如圖，重物A和B通過動滑輪D和定滑輪C而運動。如果重物A開始時向下的速度為v0，試問重物A下落多大距離，其速度增大一倍。設(shè)重物A和B的質(zhì)量均為m，滑輪D和C的質(zhì)量均為M，且為均質(zhì)圓盤。重物B與水平面間的動摩擦系數(shù)為f'，繩索不能伸長，其質(zhì)量忽略不計。DAB2v0Cv012.3動能定理系統(tǒng)受力如圖所示由得解得速度增大一倍時的動能為DABCmgMgMgmgFNFSFOyFOx設(shè)重物A下降h高度時，其速度增大一倍。在此過程中，所有的力所作的功為12.3動能定理例13圖示機構(gòu)，均質(zhì)桿質(zhì)量為m＝10kg，長度為l＝60cm，兩端與不計重量的滑塊鉸接，滑塊可在光滑槽內(nèi)滑動，彈簧的彈性系數(shù)為k＝360N/m。在圖示位置，系統(tǒng)靜止，彈簧的伸長為20cm。然后無初速釋放，求當(dāng)桿到達鉛垂位置時的角速度。解：以系統(tǒng)為研究對象，則運動初瞬時的動能為當(dāng)桿運動到鉛垂位置時，其速度瞬心為桿端B，設(shè)此時桿的角速度為w，則系統(tǒng)的動能為BACmg30cm12.3動能定理在系統(tǒng)運動過程中，只有重力和彈力作功，所以在系統(tǒng)運動過程中所有的力所作的功為由得所以BACmg30cm1.功率單位時間內(nèi)力所作的功－功率（P）力的功率等于切向力與其作用點速度的標(biāo)積。工程上，需要知道機器在單位時間內(nèi)所做的功。機器能夠輸出的最大功率是一定的，因此用機床加工零件時，如果切削力較大，必須選擇較小的切削速度。汽車上坡時，由于需要較大的驅(qū)動力，所以須換用低檔運行，以求在發(fā)動機功率一定的條件下，產(chǎn)生較大的驅(qū)動力。12.4

功率·功率方程·機械效率作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率等于該力對轉(zhuǎn)軸的矩與剛體轉(zhuǎn)動角速度的乘積。作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率在國際單位制中，每秒鐘力所作的功為1J時，其功率定為1W。12.4

功率·功率方程·機械效率2.功率方程質(zhì)點系動能定理的微分形式等式兩邊同除以dt質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)上所有力的功率的代數(shù)和?！β史匠獭斎牍β省杏霉β?，輸出功率——無用功率，損耗功率12.4

功率·功率方程·機械效率功率方程常用來研究機器在工作室能量的變化和轉(zhuǎn)化的問題。例如：車床工作時，電場對電機轉(zhuǎn)子作用的力作正功，使轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動，電場力的功率稱為輸入功率。由于膠帶傳動，齒輪傳動和軸承與軸之間都有摩擦，摩擦力作負(fù)功，使一部分機械能轉(zhuǎn)換為熱能。傳動系統(tǒng)中的零件也會相互碰撞，也要損失一部分功率。這些功率都去負(fù)值，稱為無用功率或損耗功率。車床切削工件時，切削阻力對夾持在車床主軸上的工件作負(fù)功，這是車床加工零件時必須付出的功率，稱為有用功率或輸出功率。12.4

功率·功率方程·機械效率3.機械效率工程中要用到有效功率的概念有效功率與輸入功率的比值稱為機器的機械效率，用η表示。即由上式可知，機械效率η表明機器對輸入功率的有效利用程度，它是評定機器質(zhì)量好壞的指標(biāo)之一。顯然，一般情況下，η<1。12.4

功率·功率方程·機械效率一部機器的傳動部分一般由許多零件組成。對于有n級傳動的系統(tǒng)，總效率等于各級效率的連乘積，即12.4

功率·功率方程·機械效率軸承與軸之間、膠帶與輪之間、齒輪與齒輪之間、各級傳動都因摩擦而消耗功率，各級傳動都有各自的效率。12.4

功率·功率方程·機械效率例題14車床電動機的功率P輸入＝5.4kW

。傳動零件之間的磨擦損耗功率為輸入功率的30％。工件的直徑d＝100mm。求：轉(zhuǎn)速n=42r/min和n=112r/min的允許最大切削力。解：車床正常工作時，工件勻速旋轉(zhuǎn)，動能無變化其中切削力F與工件在切削力作用點的速度v同向12.4

功率·功率方程·機械效率當(dāng)

n=42r/min時當(dāng)

n=112r/min時12.5勢力場·勢能·機械能守恒定律1.勢力場

如果一物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為——力場。如果物體在某力場內(nèi)運動，作用于物體的力所作的功只與力作用點的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點的軌跡形狀無關(guān)，這種力場稱為——勢力場（保守力場）。例如：物體在地球表面的任何位置都要受到一個確定的重力的作用，我們稱地球表面的空間為重力場。又如：星球在太陽周圍的任何位置都要受到太陽引力的作用，引力的大小和方向決定于此星球相對于太陽的位置，我們稱太陽周圍的空間為太陽引力場。2.勢能在勢力場中，質(zhì)點從點M運動到任選的點M0，有勢力所作的功稱為質(zhì)點在點M相對于點M0的勢能，以V表示為點M0的勢能等于零，稱為零勢能點。在勢力場中，勢能的大小是相對于零勢能點而言的。零勢能點M0可以任意選取，對于不同的零勢能點，在勢力場中同一位置的勢能可有不同的數(shù)值。12.5勢力場·勢能·機械能守恒定律12.5勢力場·勢能·機械能守恒定律a.重力場中的勢能b.彈性力場中的勢能取M0為零勢能點，則點M的勢能為：取彈簧自然位置為零勢能點，則有：幾種常見勢能的計算c.萬有引力場中的勢能取無窮遠處為零勢能點，則有：有勢力所作的功等于質(zhì)點系在運動過程的初始與終了位置的勢能的差。12.5勢力場·勢能·機械能守恒定律3.機械能守恒定律

保守系統(tǒng)

—僅在有勢力作用下的系統(tǒng)。機械能

—系統(tǒng)所具有的動能與勢能的總稱。機械能守恒

—系統(tǒng)僅在有勢力作用下運動時，其機械能保持恒定。12.5勢力場·勢能·機械能守恒定律前面分別介紹了動力學(xué)普遍定理(動量定理、動量矩定理和動能定理)它們從不同角度研究了質(zhì)點或質(zhì)點系的運動量(動量、動量矩、動能)的變化與力的作用量(沖量、力矩、功等)的關(guān)系。但每一定理又只反映了這種關(guān)系的一個方面，即每一定理只能求解質(zhì)點系動力學(xué)某一方面的問題。動量定理和動量矩定理是矢量形式，因質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動量和動量矩，應(yīng)用時只需考慮質(zhì)點系所受的外力動能定理是標(biāo)量形式，在很多問題中約束反力不作功，因而應(yīng)用它分析系統(tǒng)速度變化是比較方便的。但應(yīng)注意，在有些情況下質(zhì)點系的內(nèi)力也要作功，應(yīng)用時要具體分析。12.6普遍定理綜合應(yīng)用動力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用有兩方面含義：其一，對一個問題可用不同的定理求解下面就只用一個定理就能求解的題目，如何選擇定理，說明如下：其二，對一個問題需用幾個定理才能求解。(1)與路程有關(guān)的問題用動能定理，與時間有關(guān)的問題用動量定理或動量矩定理。(2)已知主動力求質(zhì)點系的運動用動能定理，已知質(zhì)點系的運動求約束反力用動量定理或質(zhì)心運動定理或動量矩定理。12.6普遍定理綜合應(yīng)用已知外力求質(zhì)點系質(zhì)心運動用質(zhì)心運動定理。

(3)如果問題是要求速度或角速度，則要視已知條件而定。若質(zhì)點系所受外力的主矢為零或在某軸上的投影為零，則可用動量守恒定律求解。若質(zhì)點系所受外力對某固定軸的矩的代數(shù)和為零，則可用對該軸動量矩守恒定律求解。若質(zhì)點系僅受有勢力的作用或非有勢力不作功，則用機械能守恒定律求解。若作用在質(zhì)點系上的非有勢力作功，則用動能定理求解。12.6普遍定理綜合應(yīng)用(4)如果問題是要求加速度或角加速度，可用動能定理求出速度(或角速度)，然后再對時間求導(dǎo)，求出加速度(或角加速度)。也可用功率方程、動量定理或動量矩定理求解。在用動能定理或功率方程求解時，不作功的未知力在方程中不出現(xiàn)，給問題的求解帶來很大的方便。

(5)對于定軸轉(zhuǎn)動問題，可用定軸轉(zhuǎn)動的微分方程求解。對于剛體的平面運動問題，可用平面運動微分方程求解。有時一個問題，幾個定理都可以求解，此時可選擇最合適的定理，用最簡單的方法求解。對于復(fù)雜的動力學(xué)問題，不外乎是上述幾種情況的組合，可以根據(jù)各定理的特點聯(lián)合應(yīng)用。下面舉例說明。12.6普遍定理綜合應(yīng)用例15如圖，均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長為l，可繞距端點l/3的轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動，求桿由水平位置靜止開始轉(zhuǎn)動到任一位置時的角速度、角加速度以及軸承O的約束反力。解：本題已知主動力求運動和約束反力。桿作定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動到任一位置時的動能為解法1：用動能定理求運動jCOmgw12.6普遍定理綜合應(yīng)用以桿為研究對象。由于桿由水平位置靜止開始運動，故開始的動能為零，即由得將前式兩邊對時間求導(dǎo)，得jCOmgw在此過程中所有的力所作的功為12.6普遍定理綜合應(yīng)用解法2：用微分方程求運動COmg由定軸轉(zhuǎn)動微分方程即所以得即又所以FOyFOxa12.6普遍定理綜合應(yīng)用xyaCxaCy現(xiàn)在求約束反力。質(zhì)心加速度有切向和法向分量：atCanC將其向直角坐標(biāo)軸上投影得：12.6普遍定理綜合應(yīng)用CjOwaCOmgxyaCxaCyFOyFOx由質(zhì)心運動定理得：解得：12.6普遍定理綜合應(yīng)用BA例16物塊A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，且m1＞m2

，分別系在繩索的兩端，繩跨過一定滑輪，如圖。滑輪的質(zhì)量為m，并可看成是半徑為r的均質(zhì)圓盤。假設(shè)不計繩的質(zhì)量和軸承摩擦，繩與滑輪之間無相對滑動，試求物塊A的加速度和軸承O的約束反力。解一：取單個物體為研究對象。分別以物塊A、B和滑輪為研究對象，受力如圖。分別由質(zhì)心運動定理和定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，得m1gFAam2gFBaABOr12.6普遍定理綜合應(yīng)用

由以上方程聯(lián)立求解得：注意到12.6普遍定理綜合應(yīng)用F'BF'AFOxFOyOmga

解二：用動能定理和質(zhì)心運動定理。解：以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，運動分析如圖。系統(tǒng)動能為所有力的元功的代數(shù)和為BAm1gvm2gvFOxFOyOmgw由微分形式的動能定理得12.6普遍定理綜合應(yīng)用

由質(zhì)心坐標(biāo)公式于是可得BAm1gvm2gvFOxFOyOmgw由得12.6普遍定理綜合應(yīng)用于是可得

解三：用動量矩定理和質(zhì)心運動定理(或動量定理)。解：以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，運動分析如圖。系統(tǒng)對定軸的動量矩為然后按解二的方法即可求得軸承O的約束反力。BAm1gam2gaFOxFOyOmge由得12.6普遍定理綜合應(yīng)用例17如圖所示，均質(zhì)圓盤可繞O軸在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動，圓盤的質(zhì)量為m，半徑為R。在圓盤的質(zhì)心C上連結(jié)一剛性系數(shù)為k的水平彈簧，彈簧的另一端固定在A點，CA＝2R為彈簧的原長，圓盤在常力偶矩M的作用下，由最低位置無初速地繞O軸向上轉(zhuǎn)。試求圓盤到達最高位置時，軸承O的約束反力。解：以圓盤為研究對象，受力如圖，建