2023年等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及類(lèi)型題

等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及類(lèi)型題一、數(shù)列由與的關(guān)系求由求時(shí),要分ｎ=1和n≥2兩種情況討論,然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一的解析式表達(dá),若不能，則用分段函數(shù)的形式表達(dá)為。根據(jù)下列條件，擬定數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析:將無(wú)理問(wèn)題有理化,而后運(yùn)用與的關(guān)系求解。二、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（一)等差數(shù)列的鑒定1、等差數(shù)列的鑒定通常有兩種方法：第一種是運(yùn)用定義，，第二種是運(yùn)用等差中項(xiàng),即。2、解選擇題、填空題時(shí)，亦可用通項(xiàng)或前ｎ項(xiàng)和直接判斷。(1)通項(xiàng)法：若數(shù)列｛}的通項(xiàng)公式為ｎ的一次函數(shù),即=An+B,則{}是等差數(shù)列；（2)前n項(xiàng)和法：若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和是的形式(A,Ｂ是常數(shù)）,則{}是等差數(shù)列。注：若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說(shuō)明任意連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可?！祭?〗已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足（1）求證:{}是等差數(shù)列;(2)求的表達(dá)式。【變式】已知數(shù)列{aｎ}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=1.其前n項(xiàng)和Ｓn滿(mǎn)足２Ｓn=2paeq＼o\al（2，ｎ）+an－ｐ（p∈R)，則｛an｝的通項(xiàng)公式為_(kāi)___＿＿_(dá)_.(二)等差數(shù)列的基本運(yùn)算1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式=+(n-1)d及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量,,d,n,,“知三求二”，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題；2、數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用,而和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表達(dá)已知和未知是常用方法。注：由于，故數(shù)列｛}是等差數(shù)列?！祭?〗已知數(shù)列｛}的首項(xiàng)＝3，通項(xiàng),且，,成等差數(shù)列。求:（1）的值；(２）數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的公式。分析：（1）由=3與，，成等差數(shù)列列出方程組即可求出;(2)通過(guò)運(yùn)用條件提成兩個(gè)可求和的數(shù)列分別求和。(三)等差數(shù)列的性質(zhì)1、等差數(shù)列的單調(diào)性:等差數(shù)列公差為d，若ｄ>0,則數(shù)列遞增；若d<0,則數(shù)列遞減;若d=０，則數(shù)列為常數(shù)列。★2、等差數(shù)列的簡(jiǎn)樸性質(zhì):已知數(shù)列｛}是等差數(shù)列,是其前n項(xiàng)和。（1）若ｍ＋n=p+q,則,特別：若m+n＝2ｐ，則。(２)仍是等差數(shù)列,公差為ｋｄ;（3）數(shù)列也是等差數(shù)列;(其中均為常數(shù)）。典型例題1．等差數(shù)列中,若,則＝________;2.（廈門(mén))在等差數(shù)列中，,則其前9項(xiàng)的和S9等于（)A.１8B2７Ｃ36D93、（全國(guó)卷Ⅰ理）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,則=4、等差數(shù)列{ａｎ｝的前m項(xiàng)和為30,前2ｍ項(xiàng)和為100，則它的前3ｍ項(xiàng)和為()（A)1３0（B)170(C)２10(Ｄ)１６0５.（湖北卷)已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和,且,則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（)A.2B．３C.4D.５6、已知方程(x2-２x＋m）(x2－2x＋n)＝０的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為eq\ｆ(1,4)的等差數(shù)列,則|m－n｜的值等于_＿_(dá)__＿_(dá)_.7、在等差數(shù)列{an}中，a１=-3,１1a5＝5ａ8-13,則數(shù)列{ａｎ}的前n項(xiàng)和Sn的最小值為_(kāi)____＿＿＿.８.若兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和,且滿(mǎn)足，則.★等差數(shù)列的最值:若是等差數(shù)列,求前n項(xiàng)和的最值時(shí)，（1）若a1>0,d<0,且滿(mǎn)足,前n項(xiàng)和最大;（2）若a１＜0，d>0,且滿(mǎn)足,前n項(xiàng)和最??；（3)除上面方法外,還可將的前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題看作關(guān)于n的二次函數(shù)最值問(wèn)題，運(yùn)用二次函數(shù)的圖象或配方法求解，注意?！祭?〗在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為。（1)求的最小值,并求出取最小值時(shí)ｎ的值;（２）求。分析：（1）可由已知條件,求出a１,d,運(yùn)用求解,亦可用運(yùn)用二次函數(shù)求最值；（2)將前面是負(fù)值的項(xiàng)轉(zhuǎn)化為正值求解即可?！祭?〗已知數(shù)列是等差數(shù)列。（1）若（２)若【變式】已知數(shù)列{aｎ｝的各項(xiàng)均為正數(shù),Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的ｎ∈Ｎ*，滿(mǎn)足關(guān)系式2Sn=3aｎ-3．(１)求數(shù)列{aｎ}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是bn＝eｑ\f(1,loｇ3an·ｌog3an＋1),前n項(xiàng)和為Ｔn,求證:對(duì)于任意的正整數(shù)n，總有Tn<1.跟蹤訓(xùn)練１.已知等差數(shù)列首項(xiàng)為2,末項(xiàng)為62,公差為4，則這個(gè)數(shù)列共有（)Ａ．1３項(xiàng)Ｂ.14項(xiàng)C.15項(xiàng)D.1６項(xiàng)2．已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為aｎ=-3n＋a，a為常數(shù)，則公差ｄ=()3．在等差數(shù)列{aｎ｝中,若ａ1+ａ２=－18，ａ5＋ａ6＝-2,則30是這個(gè)數(shù)列的（)A.第22項(xiàng)B.第2１項(xiàng)C.第20項(xiàng)D．第１9項(xiàng)４.已知數(shù)列a,-1５，b，c,45是等差數(shù)列，則a+b+ｃ的值是（）A．-5Ｂ．0C．５D.1０5.已知等差數(shù)列｛an}中，a１+a２＋ａ3=-15，a３+a4=-1６，則a1=(）Ａ．-1B.-3C．-５D.－76.已知等差數(shù)列{an｝滿(mǎn)足a2+a７=２a3+ａ４，那么這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)是(）７.已知數(shù)列｛an}是等差數(shù)列,且a３＋a11＝４0，則a6＋a７+ａ８等于（）A．8４B.72Ｃ．６0Ｄ.438．已知等差數(shù)列{ａn}中，a１+a3+a5=3，則a2+a4＝（）Ａ.３Ｂ.２C．1D.-１9.已知數(shù)列:，,,，……,則在此數(shù)列中應(yīng)是（）A．第21項(xiàng)Ｂ．第41項(xiàng)C.第48項(xiàng)D.第49項(xiàng)10.已知數(shù)列中,前和（1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（３)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值，若不存在,試說(shuō)明理由。等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及類(lèi)型題一、數(shù)列由與的關(guān)系求由求時(shí)，要分ｎ＝１和n≥2兩種情況討論,然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一的解析式表達(dá),若不能,則用分段函數(shù)的形式表達(dá)為?！祭?〗根據(jù)下列條件，擬定數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析:將無(wú)理問(wèn)題有理化,而后運(yùn)用與的關(guān)系求解。解答:二、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（一)等差數(shù)列的鑒定1、等差數(shù)列的鑒定通常有兩種方法:第一種是運(yùn)用定義,，第二種是運(yùn)用等差中項(xiàng)，即。2、解選擇題、填空題時(shí),亦可用通項(xiàng)或前ｎ項(xiàng)和直接判斷。（1）通項(xiàng)法:若數(shù)列｛}的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù),即＝An＋B,則｛}是等差數(shù)列；(2）前n項(xiàng)和法:若數(shù)列{｝的前ｎ項(xiàng)和是的形式（A,Ｂ是常數(shù)），則{｝是等差數(shù)列。注:若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說(shuō)明任意連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可?！祭?〗已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,且滿(mǎn)足(1）求證:｛｝是等差數(shù)列；（2）求的表達(dá)式。分析：(1）與的關(guān)系結(jié)論;（2)由的關(guān)系式的關(guān)系式解答：(1)等式兩邊同除以得-+２＝０,即－=2（n≥２)．∴｛}是以==2為首項(xiàng),以2為公差的等差數(shù)列。(2）由（１）知=+（n-1）ｄ=2+(n－1)×2＝2n,∴＝，當(dāng)n≥2時(shí)，＝2·=。又∵,不適合上式,故?！咀兪健恳阎獢?shù)列｛ａn}的各項(xiàng)均為正數(shù),a１＝１．其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足2Sn=2paeq\o＼al(2,n)＋an－p(p∈R),則｛an｝的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．∵a1＝１,∴2a1=２paeq\o\al(2,1）+a１－p,即2=2p＋1－p，得ｐ=１.于是2Ｓn=2aｅq＼o\al(2,n）+an-1.當(dāng)n≥2時(shí)，有2Sｎ－1=2aeq\o\al(2，n-1)+an-1－１,兩式相減，得2ａn=2aeq＼ｏ＼al(2,ｎ)－2aｅq\o＼al(2,n-1)+an－ａn-1，整理，得２(an＋an－1)·(an-an-1-ｅq\f（1,２)）＝0．又∵ａn>0，∴aｎ-an-1=eｑ\f(1，2）,于是｛aｎ}是等差數(shù)列，故an=1＋（ｎ－1)·eq\f（1，2）=ｅq\f(n+1,2).(二）等差數(shù)列的基本運(yùn)算1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式=＋（ｎ－１)d及前ｎ項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量，,d,n,,“知三求二”，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題；2、數(shù)列的通項(xiàng)公式和前ｎ項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而和ｄ是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表達(dá)已知和未知是常用方法。注：由于,故數(shù)列{}是等差數(shù)列?！祭?〗已知數(shù)列｛}的首項(xiàng)＝3,通項(xiàng),且，,成等差數(shù)列。求:(1）的值;（２)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的公式。分析:（1)由＝３與,，成等差數(shù)列列出方程組即可求出；(2)通過(guò)運(yùn)用條件提成兩個(gè)可求和的數(shù)列分別求和。解答:（１）由=3得……①又,得…②由①②聯(lián)立得。(２)由（1)得，（三）等差數(shù)列的性質(zhì)1、等差數(shù)列的單調(diào)性:等差數(shù)列公差為ｄ，若d>0,則數(shù)列遞增;若d<0,則數(shù)列遞減；若d＝0,則數(shù)列為常數(shù)列?！?、等差數(shù)列的簡(jiǎn)樸性質(zhì):已知數(shù)列{}是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和。(1）若m+n=p+q,則,特別：若m+n=2ｐ,則。(2）仍是等差數(shù)列,公差為kd;(3）數(shù)列也是等差數(shù)列;(其中均為常數(shù))。典型例題1．等差數(shù)列中,若，則=_____2２5___;2．（廈門(mén)）在等差數(shù)列中，,則其前９項(xiàng)的和S9等于(A)Ａ.18B2７C36D93、(全國(guó)卷Ⅰ理)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則=24４、等差數(shù)列｛ａn}的前m項(xiàng)和為30，前2ｍ項(xiàng)和為１00，則它的前３ｍ項(xiàng)和為(C)（A)１30（Ｂ)17０(C)2１０(D）1605.(湖北卷)已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且,則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是(D）A.2B.３C．4Ｄ.56、已知方程(x2－2x+m）(x2-2x＋ｎ)=０的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為eｑ＼ｆ(1,4)的等差數(shù)列，則|m-n|的值等于___＿＿_(dá)__.如圖所示,易知拋物線ｙ＝x２-２x＋m與ｙ=x2－2x+n有相同的對(duì)稱(chēng)軸ｘ=１，它們與x軸的四個(gè)交點(diǎn)依次為Ａ、B、C、D.由于xA=eq\f(1,4)，則ｘＤ＝eq\f(7,4).又|AB|＝|ＢＣ｜＝|ＣD|，所以ｘB(niǎo)=eq\f(３,４)，xC=ｅｑ\f（5，4)．故|ｍ－n｜=|ｅq\f(1，４)×ｅｑ＼ｆ(７,４)－eq\f(3,4）×eq＼f(5,４)|＝eｑ\ｆ（１，2).7、在等差數(shù)列{ａn}中,a1=－3，１1ａ5=５ａ8-13,則數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和Sn的最小值為_(kāi)__＿_(dá)__＿.設(shè)公差為d,則11(-3＋4d)＝５(－3+7d)－1３,∴d=eq\f(５,9).∴數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.令aｎ≤0，∴－3+（ｎ-1）·eq\f（5,９）≤0,∴n≤eｑ＼f(32，５)，∵ｎ∈Ｎ*.∴前6項(xiàng)均為負(fù)值,∴Sn的最小值為S6＝-eq\f(29,3).8.若兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且滿(mǎn)足,則6.★等差數(shù)列的最值：若是等差數(shù)列，求前n項(xiàng)和的最值時(shí),(１）若a１＞0,ｄ<０,且滿(mǎn)足，前n項(xiàng)和最大;（２）若a1<0,d>0，且滿(mǎn)足,前n項(xiàng)和最小;(3）除上面方法外,還可將的前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題看作關(guān)于ｎ的二次函數(shù)最值問(wèn)題,運(yùn)用二次函數(shù)的圖象或配方法求解,注意。〖例4〗在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為。（1)求的最小值，并求出取最小值時(shí)n的值;(2)求。分析:（１)可由已知條件,求出ａ１,ｄ,運(yùn)用求解,亦可用運(yùn)用二次函數(shù)求最值；(２)將前面是負(fù)值的項(xiàng)轉(zhuǎn)化為正值求解即可。解答：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,∵，令,∴當(dāng)ｎ＝2０或21時(shí),最小且最小值為-63０．(2）由（1)知前20項(xiàng)小于零，第21項(xiàng)等于0，以后各項(xiàng)均為正數(shù)。∴〖例5〗已知數(shù)列是等差數(shù)列。（1)若（２）若解答:設(shè)首項(xiàng)為,公差為,（1）由,∴（2）由已知可得解得【變式】已知數(shù)列{ａn}的各項(xiàng)均為正數(shù),Ｓｎ為其前n項(xiàng)和,對(duì)于任意的n∈N*，滿(mǎn)足關(guān)系式2Ｓn=3aｎ-３.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{bｎ｝的通項(xiàng)公式是ｂn＝eq\f（１,lｏg3an·log3an+1)，前n項(xiàng)和為Ｔn，求證：對(duì)于任意的正整數(shù)ｎ，總有Tｎ＜1．(１)解①當(dāng)n＝1時(shí),由2Ｓｎ=3ａn-3得，2a1=3ａ1-3,∴ａ１＝3.②當(dāng)n≥2時(shí)，由2Ｓn＝3ａn－3得,2Sn－1=3ａn－1-３.兩式相減得:2(Sn-Sn－1)=3aｎ-3an－1，即2an=3an-3ａn－1,∴an＝3an-1,又∵a1＝3≠0，∴{ａn｝是等比數(shù)列,∴an＝３n．驗(yàn)證：當(dāng)n＝1時(shí),a１=3也適合an＝3n．∴{aｎ}的通項(xiàng)公式為ａn＝3n．(2)證明∵bn=ｅq\ｆ(1,ｌog3an·log3an＋1）=eｑ＼f(1，loｇ３３n·ｌoｇ３3n+1)=eq\ｆ（１,(n＋１）n)=eq＼f(1，n）－eq\f(1,n+1）,∴Tn=b1＋b２＋…+bn=(1-eq＼f(1,２）)+(eｑ\f(1，2）-eq\f(1,3))+…＋(ｅq\f(1，ｎ)－eｑ\ｆ（1,ｎ＋１))＝1-eｑ＼ｆ(1,n+1）＜1.跟蹤訓(xùn)練1．已知等差數(shù)列首項(xiàng)為２,末