大學物理第 09 章 第 1 次課 - 簡諧運動 振幅 周期 頻率 相位

第九章機械振動/181特別地,物體圍繞一固定位置周期性往復運動---稱為機械振動.

作機械振動的物體,其運動形式有直線、平面和空間振動.

振動可以是周期性的振動,但也可以是非周期性的振動例如:(1)一切發(fā)聲體的運動----琴弦的振動,鼓面的振動等.直線運動,曲線運動;物體運動的形式:勻速運動,變速運動;(2)心臟的跳動.(3)江河海面上的水浪起伏.(4)晶體中原子的振動等./18§9.1簡諧運動振幅周期和頻率相位2機械振動的特點是什么?

物體的位移在某一平衡位置附近作周期性變化.本章討論機械振動.一般說來,作機械振動的物體的運動規(guī)律是比較復雜的;先討論一種簡化的模型---簡諧運動(振動).物理上還有其它許多物理量具有周期性變化的特點,如交流電,電磁波等.因此,物理上將物理量在某一數值附近作周期性的變化都稱為振動.通過這一模型可以理解振動的一些普遍規(guī)律.它是研究復雜振動的基礎.簡諧運動是最簡單、最基本的振動形式.是一種理想化的模型./18§9.1簡諧運動振幅周期和頻率相位簡諧運動復雜振動合成分解3一、基本概念彈簧振子:

如圖所示,由彈簧和物體構成的振動系統.平衡位置:物體所受外力為零的位置.圖示中的“O”點.如果將物體拉離平衡位置,或給物體一定的初速度,如下圖所示.那么物體將作什么樣的運動?滿足什么樣的方程?/18§9.1簡諧運動振幅周期和頻率相位4設初始時刻,物體處在平衡位置“O”點.此時,彈簧的形變?yōu)榱?二、運動方程根據胡克定律,物體在水平方向上受到的彈性力大小為:設t時刻,物體的位移為x,如下圖所示.此時彈簧的形變長度為x.(1)F的方向與位移相反,用負號表示.如圖建立坐標系k為彈性系數,由彈簧本身的性質決定./18§9.1簡諧運動振幅周期和頻率相位5(1)不考慮摩擦力,則由牛頓第二定律可得式中m為物體的質量,a是物體的瞬時加速度.(2)由(1)(2)兩式可知,由于物體所受的力是變力,因此物體將作變加速運動.將(1)式代入(2)式得,(3)為書寫方便起見,令(4)則(3)式為(5)(5)式表明,彈簧振子的加速度大小與位移的大小成正比,加速度的方向與位移方向相反.具有這種特征的振動稱為簡諧運動./18§9.1簡諧運動振幅周期和頻率相位6(5)根據加速度的定義,有即加速度等于位移對時間的二階導數.(5)式可寫成(6)即(6)式即是彈簧振子在作簡諧運動過程中所滿足的微分方程.微分方程(6)的解為(7)(7)式即為彈簧振子在振動過程中位移隨時間的變化關系.即簡諧運動方程.三、位移、速度和加速度1.位移式中A和是解方程的過程中出現的積分常數,由物體的初始狀態(tài)決定./18§9.1簡諧運動振幅周期和頻率相位7(7)位移隨時間的變化關系2.速度(8)速度等于位移對時間的一階導數,即3.加速度(9)加速度等于速度對時間的一階導數,即由(7)(8)(9)式可以看出,簡諧運動中的位移、速度和加速度隨時間的變化都是周期性的.周期為這種周期性可以用圖形更直觀地進行反映./18§9.1簡諧運動振幅周期和頻率相位8圖圖圖取1.位移2.速度3.加速度四、簡諧運動圖解/18§9.1簡諧運動振幅周期和頻率相位9五、振幅六、周期、頻率圖(7)簡諧運動位移隨時間的變化關系式中各量的物理意義是什么?A表示簡諧運動的物體離開平衡位置最大位移的絕對值.稱為振幅.由(7)式可知,位移隨時間作周期性變化,變化的快慢由什么因素決定?由三角函數的性質,可以得到1.周期是指作一次完全振動所需要的時間，用T表示.如上圖所示./18§9.1簡諧運動振幅周期和頻率相位10圖(7)即(10)(10)式適用于所有周期性振動的周期計算(包括聲波,電磁波等).特別地,對于彈簧振子,因為所以,彈簧振子的振動周期為(11)2.頻率物體在單位時間內所作的完全振動的次數,用表示.顯然,周期的大小反映了振動的快慢.但振動的快慢也可以用物體在單位時間內所作的完全振動的次數來反映.(12)/18§9.1簡諧運動振幅周期和頻率相位11由上述討論可知,彈簧振子的周期和頻率僅與振子的質量m和彈簧的彈性系數k有關.而質量m和彈簧系數k是振動系統本身的固有性質.頻率(12)頻率的單位為1/秒,稱為赫茲,用Hz

表示.(12)式還可以表示為(13)稱為角頻率(或圓頻率),單位為弧度每秒(即rad·s-1).特別地,對于彈簧振子,有,(14)只由振動系統本身的固有屬性所決定的周期和頻率稱為振動的固有周期和固有頻率./18§9.1簡諧運動振幅周期和頻率相位121）對于簡諧振動,速度與位移無一一對應關系;七、相位2）初相位:t=0時的相位;

描述振動物體在初始時刻的運動狀態(tài)(位移和速度).

(取或)由上兩式可知,對于簡諧振動,A反映振動的幅度,反映振動的快慢.物理上把(t+)稱為t時刻的相位.它是決定簡諧運動物體運動狀態(tài)的物理量.位移(7)速度(8)當振幅A和角頻率一定時,振動物體的位移和速度都取決于(t+).相位不同,物體的運動狀態(tài)也不同./18§9.1簡諧運動振幅周期和頻率相位13八、常數和的確定初始條件:

初始時刻物體的位移x0

和速度v0.對給定振動系統，周期由系統本身性質決定，振幅和初相位由初始條件決定.由振動體系本身的物理性質決定,那么振幅A和初相位由什么因素決定呢?(7)(8)將上述初始條件代入(7)(8)式得,由此得,/18§9.1簡諧運動振幅周期和頻率相位14例1解:

設物體的位移隨時間的變化為由初始條件t=0時x0=0得取物體的位移與時間的關系為/18§9.1簡諧運動振幅周期和頻率相位15解:(1)求運動方程

設質點振動的運動方程為例2已知某振動質點的x-t曲線如圖所示,試求:(1)運動方程;(2)點P對應的相位;(3)到達點P相應位置所需時間.圖P初始時刻(t=0)質點的位移為x=0.05m;代入運動方程得,由圖可知,質點的振幅為A=0.1m;/18§9.1簡諧運動振幅周期和頻率相位16代入運動方程得圖P另一方面,由圖可知,當t=4.0時,質點的位移x=0由此求得,因此,質點振動的運動方程為(2)求P