大學(xué)物理 126 一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子

12.6一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子

12.6.1無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子

12.6.2簡(jiǎn)諧振子

12.6.3隧道效應(yīng)設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m的粒子在一維勢(shì)場(chǎng)U(x)中運(yùn)動(dòng)，能量本征方程1給定勢(shì)能函數(shù)U(x)，求粒子的能量E和相應(yīng)的本征波函數(shù)Φ

(x)；求解兩類問(wèn)題：設(shè)粒子以能量E射向勢(shì)壘U(x)，計(jì)算粒子穿透勢(shì)壘的概率。本征值問(wèn)題：散射問(wèn)題：2

一維無(wú)限深方勢(shì)阱U=0EU→∞U→∞U(x)x0，為什么？a金屬U(x)U=U0U=U0EU=0x0a12.6.1無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子粒子不可能靜止31.分區(qū)求通解（1）阱外（x≤0或x≥a）通解：波函數(shù)有限要求以為例阱外波函數(shù)為零，粒子只能在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。4（2）阱內(nèi)（0＜x＜a）設(shè)通解：已滿足單值、有限條件。2.用波函數(shù)的連續(xù)條件確定特解D=05粒子的能量本征值，或能級(jí)：無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的能量是量子化的能量本征波函數(shù)：6712.6.2簡(jiǎn)諧振子一維簡(jiǎn)諧振子的勢(shì)能函數(shù)：能量本征方程：變系數(shù)二階常微分方程，采用級(jí)數(shù)解法。能量本征值：零點(diǎn)能：h/2;能量子：h8可以證明，在光照下帶電簡(jiǎn)諧振子的躍遷只能發(fā)生在相鄰能級(jí)之間，即一次躍遷只能發(fā)射或吸收一個(gè)能量子。簡(jiǎn)諧振子是一個(gè)十分有用的振動(dòng)模型，可用于原子核中質(zhì)子和中子的振動(dòng)、分子中原子的振動(dòng)、固體晶格點(diǎn)陣上原子的振動(dòng)。固體晶格點(diǎn)陣上原子振動(dòng)的能量就可以用能量子來(lái)描述，這時(shí)的能量子稱為聲子?？涨粌?nèi)壁的分子可以看成帶電簡(jiǎn)諧振子，在一定溫度下這些簡(jiǎn)諧振子所發(fā)射的各種頻率的能量子，在空腔內(nèi)就形成了輻射場(chǎng)。9能量最低的三個(gè)本征波函數(shù)：1011【例】設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為其中0和2分別是頻率為

的n=1和2的簡(jiǎn)諧振子能量本征態(tài)。（2）求t

時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)(x,t)。（1）(x,0)是定態(tài)嗎？在(x,0)上測(cè)量系統(tǒng)的能量，能測(cè)到哪些值？測(cè)到這些值的概率是多大？測(cè)量值的平均值是多少？（只要求了解）12在狀態(tài)(x,0)上測(cè)量能量，能測(cè)到的值為測(cè)到E0的概率：1/3；測(cè)到E2的概率：2/3；它們分別等于展開式中相應(yīng)展開系數(shù)的模方。測(cè)量值的平均值：（1）不是定態(tài)。解13（2）求（正交歸一化）1412.6.3隧道效應(yīng)一維方勢(shì)壘的勢(shì)能函數(shù)質(zhì)量為m的粒子以能量E沿x軸射向勢(shì)壘。只討論E＜U0情況，設(shè)勢(shì)壘無(wú)吸收，E

不變。波動(dòng)性粒子有一定概率穿透勢(shì)壘：隧道效應(yīng)

15定理：對(duì)于勢(shì)場(chǎng)連續(xù)點(diǎn)，或勢(shì)場(chǎng)不是無(wú)限大的間斷點(diǎn)，波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。xx0U(x)波函數(shù)連續(xù)（概率連續(xù)）：波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)：16xx0U(x)證明：有限17給定E和U(x)，求解薛定諤方程得到波函數(shù)3，由3計(jì)算粒子出現(xiàn)在3區(qū)的概率。設(shè)特解：18

穿透系數(shù)：粒子穿透勢(shì)壘的概率，等于透射波的概率密度除以入射波的概率密度波函數(shù)和波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)條件：把特解代入，得關(guān)于R、A、B、S的四個(gè)代數(shù)方程。解出S，可近似地求出穿透系數(shù)：19量子隧道效應(yīng)的應(yīng)用：隧道二極管，金屬場(chǎng)致發(fā)射，核的衰變，…（1）原子核的衰變UTh+He2382344通過(guò)隧道效應(yīng)射出對(duì)不同的核，算出的衰變概率和實(shí)驗(yàn)一致。rRU35MeV4.25MeV0核力勢(shì)能庫(kù)侖勢(shì)能20（2）掃描隧道顯微鏡（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）

STM是一項(xiàng)技術(shù)上的重大發(fā)明，原理：利用量子隧道效應(yīng)1986年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)：魯斯卡（E.Ruska）1932年發(fā)明電子顯微鏡畢寧（G.Binning）羅爾（Rohrer）發(fā)明STM表面的微觀結(jié)構(gòu)（不接觸、不破壞樣品）。用于觀察21U0U0U0A

—常量

—樣品表面平均勢(shì)壘高度（~eV）

d~1nm（10A）。d變

i變，反映表面情況。ABdE隧道電流iABUd探針樣品電子云重疊22隧道電流反饋傳感器參考信號(hào)顯示器壓電控制加電壓

掃描隧道顯微鏡示意圖23用STM得到的神經(jīng)細(xì)胞像硅表面STM掃描圖像24

1991年恩格勒等用STM在鎳單晶表面逐個(gè)移動(dòng)氙原子，拼成了字母IBM，每個(gè)字母長(zhǎng)5nm。移動(dòng)分子實(shí)驗(yàn)的成功，表明人們朝著用單一原子和小分子構(gòu)成新分子的目