第1章 隨機事件與概率

概率論與數理統(tǒng)計ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics

主講人：劉丹丹Tel率論的誕生及應用(Naissanceandapplicationofprobabilitytheory)概率論的誕生

起源——博弈

概率論產生于十七世紀，但數學家們思考概率論問題的源泉，卻來自于賭博。傳說早在1654年，有一個賭徒向當時的數學家提出一個使他苦惱了很久的問題：“兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏3局就算贏，全部賭本就歸誰。但是當其中一個人贏了

2局，另一個人贏了1局的時候，由于某種原因，賭博終止了。

這位數學家是當時著名的數學家，但這個問題卻讓他苦苦思索了三年。三年后，荷蘭著名的數學家企圖自己解決這一問題，結果寫成了《論賭博中的計算》一書，這就是概率論最早的一部著作。

19世紀(1866),Chebyshev(切比雪夫，俄)—中心極限理論，是概率論的又一次飛躍，為后來數理統(tǒng)計的產生和應用奠定了基礎。20世紀(1933)，Kolmogorov(柯爾莫哥洛夫,俄)—概率公理化定義得到了數學家們的普遍承認。由于公理化，概率論成為一門嚴格的演繹科學，取得了與其他數學學科同等的地位，并通過集合論與其他數學分支密切的聯系。2.概率論的應用

概率論是數學的一個分支,它研究隨機現象的數量規(guī)律.一方面，它有自己獨特的概念和方法，另一方面，它與其他數學分支又有緊密的聯系，它是現代數學的重要組成部分.

概率論的廣泛應用幾乎遍及所有的科學技術領域,例如天氣預報,地震預報,產品的抽樣調查;工農業(yè)生產和國民經濟的各個部門,在通訊工程中可用以提高信號的抗干擾性,分辨率等等.?概率論是研究什么的？隨機現象：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性概率論——研究和揭示隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律性的科學

第一章概率論的基本概念主要內容§1.1隨機事件及其運算§1.2概率的定義及其性質§1.3古典概型與幾何概型§1.4條件概率§1.5獨立性第一章：總結在一定條件下必然發(fā)生的現象稱為確定性現象太陽不會從西邊升起同性電荷必然互斥水從高處流向低處自然界所能觀察到的現象:確定性現象隨機現象⑴隨機現象

確定性現象的基本特征是條件完全決定結果

1.1.1

隨機事件的概念

……在一定條件下不能預知是否出現的現象稱為隨機現象擲一枚均勻的硬幣出現正反兩面的情況一門大炮射向同一目標的多發(fā)炮彈的彈落點拋擲一枚骰子出現的點數任意抽取一個產品抽出正品或次品的情況

過馬路交叉口時可能遇上的交通信號燈的顏色

隨機現象的基本特征是條件不能完全決定結果

……隨機現象是通過隨機試驗來研究的如何來研究隨機現象?問題重復性

試驗可以在相同的條件下重復地進行.明確性事先明確的知道試驗所有可能結果；偶然性試驗的可能結果不止一個,每次試驗之前在概率論中稱有如下三個特征的試驗為隨機試驗：⑵隨機試驗不能確定哪一個結果會出現；隨機試驗簡稱為試驗.通常用E

來表示.試驗是一個廣泛的術語科學實驗調查觀察測量試驗

E的所有可能結果組成的集合稱為其樣本空間.⑶樣本空間(Samplespace)樣本空間通常用字母Ω

表記.一個具體試驗結果，即

Ω

的元素稱為

E的樣本點.例1拋擲一枚骰子,觀察出現的點數.樣本空間樣本點例2

記錄某城市120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數.例3

從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.其中

t為燈泡的壽命.樣本空間有限樣本空間（例1）可列樣本空間（例2）連續(xù)樣本空間（例3）離散樣本空間試驗的操作相同但關注不同，則樣本空間也不同.例4

試驗的操作為：“將一枚硬幣拋擲三次”.

關注1觀察正面

H和反面

T出現的情況.

樣本空間為關注2觀察出現正面的次數.

樣本空間為稱之為一個隨機事件，簡稱為事件.出現1點，出現6點，點數不大于4，點數為偶數例5

拋擲一枚骰子,觀察出現的點數.⑷隨機事件隨機試驗中，有可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結果，我們試驗中,骰子等都為隨機事件.由一個樣本點構成的事件稱為基本事件.隨機事件

A是樣本空間

Ω

的一個子集合在隨機事件的討論中通常借用集合論的語言.隨機事件常以大寫英文字母

A,B,C,

…

表記.兩個特殊的事件：必件然事例如，在擲骰子試驗中，“擲出點數小于7”是必然事件;即在試驗中必定發(fā)生的事件，常用Ω表示;不件可事能即在一次試驗中不可能發(fā)生的事件，常用Φ表示.而“擲出點數8”則是不可能事件.

1.1.2

隨機事件間的關系及運算事件相等A＝BAB且BA.⑴事件的包含與相等若事件A出現必然導致B出現，則稱事件B包含事件A，也稱事件A包含于事件B，記為(2)事件的和（并）若事件

A與事件

B至少有一個發(fā)生，則稱事件

A與事件

B的和事件發(fā)生，和事件記為

A∪B.—有限事件和—可列事件和n個事件A1,A2,…,An至少有一個發(fā)生，(3)事件的積（交）若事件

A與事件

B同時發(fā)生，則稱事件

A與事件

B的積事件發(fā)生，積事件記為

A∩B或

AB.—有限事件積—可列事件積n個事件A1,A2,…,An同時發(fā)生(4)事件的差若事件

A發(fā)生但事件

B不發(fā)生，則稱事件

A與事件B

的差事件發(fā)生，差事件記為

A-B.(5)互不相容事件如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，AB＝，則稱A與事件B互不相容，或稱事件A與事件B互斥。進而有(6)對立事件若事件

A與事件

B必有一個發(fā)生，但

A

發(fā)生則

B

不發(fā)生，反之

B發(fā)生則

A不發(fā)生，則稱事件

A與事件B互為逆事件或對立事件，記為

B=A

或

A

=B

.

兩事件A、B互斥：,兩事件A、B互逆或互為對立事件,即A與B不可能同時發(fā)生.除要求A、B互斥()外，還要求

A∪B=Ω(7)完備事件組如果n個事件A1,A2,…,An互不相容，并且它們的和為必然事件(或樣本空間),則稱n個事件A1,A2,…,An構成一個完備事件組.即如果事件A1,A2,…,An為完備事件組，則必須滿足如下兩個條件：

A1∪A2∪…∪An=Ω

AiAj=,

i≠j,i,j=1,2,…,n

事件的運算性質⑴吸收律⑵交換律⑶結合律⑷分配律⑸對偶律例6

設

A,B,C

表示三個隨機事件,試將下列事件

A出現,

B,C不出現

三個事件都不出現A,B都出現,

C不出現三個事件都出現三個事件至少有一個出現用

A,B,C

間的運算表示出來.隨機事件樣本空間隨機試驗事件運算包含互斥并交差對立小結--隨機試驗的討論歷程

那么要問:如何求得某事件的概率呢?下面幾節(jié)就來回答這個問題.

研究隨機現象，不僅關心試驗中會出現哪些事件，更重要的是想知道事件出現的可能性大小，也就是事率件概的

研究隨機現象，不僅關心試驗中會出現哪些事件，更重要的是想知道事件出現的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！概率與頻率有許多相似的地方，首先考慮頻率的有關性質1.2概率的定義及其性質1.2.1頻率（Frequenncy）

Definition1.1

設在相同條件下，重復進行了n次試驗，若隨機事件A在這n

次試驗中發(fā)生了nA

次，則比值稱為事件

A在

n次試驗中發(fā)生的頻率，其中nA

稱為事件A發(fā)生的頻數。頻率的性質設

A是隨機試驗

E的任一事件,則

由頻率的定義，容易看出頻率具有以下的三條基本性質試驗序號7234222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502例1

將一枚硬幣拋擲5次、50、500次,各做7遍,

波動最小1512123456隨n的增大,頻率f

呈現出穩(wěn)定性觀察正面出現的次數及頻率.下面考察頻率的一個重要特性—頻率的穩(wěn)定性從上述數據可得拋硬幣次數

n較小時,頻率

f的隨機波動幅度較大,但隨

n的增大,頻率

f呈現出穩(wěn)定性.即當n逐漸增大時頻率

f總是在0.5附近擺動,且逐漸穩(wěn)定于0.5.頻率有隨機波動性，即對于同樣的

n，所得的

f不一定相同;實驗者德.摩根蒲豐204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005K.皮爾遜K.皮爾遜隨n的增大,正面出現的頻率逐漸穩(wěn)定于0.5歷史上幾次著名的擲硬幣試驗1.2.2概率的定義(Definitionofprobability)

可見,在大量重復的試驗中,隨機事件出現的頻率具有穩(wěn)定性.即通常所說的統(tǒng)計規(guī)律性.

在歷史上它一直是概率論研究的一個重大課題。相應地，我們有如下的概率的統(tǒng)計定義：Definition1.2

對于概率的統(tǒng)計定義雖然直觀，易被人們接受，但是不便于實際應用。

定義中常數p的存在只是人們經過大量觀察之后的推斷，不便于實際應用，因為我們不可能對每一事件都做大量的重復試驗，從中得到頻率的穩(wěn)定值。也不便于理論研究。這就需要概率的公理化定義：Definiton1.3從n

個元素中任取r

個進行組合或排列，求取法數.排列講次序（321≠132），組合不講次序（321=132）全排列：An=n!0!=1.重復排列：nr選排列：1.2.3排列、組合公式Formulaofarrangementandcombination組合組合：組合數公式的幾個常用性質1.2.4概率的性質

Ω解

ΩAB例1BA⑴由圖示⑵由圖示故得得

ΩAB⑶由圖示AB又因而得例2

假設每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64個人中至少有2人生日相同的概率.解

64個人生日各不相同的概率為故64個人中至少有2人生日相同的概率為⑴確定概率的古典方法

我們首先引入的計算概率的數學模型，是在概率論的發(fā)展過程中最早出現的研究對象，通常稱為

古典概型(Classicalprobability)1.3古典概型與幾何概型若一個試驗有如下特征，則稱這個試驗為古典概型.

有限性在試驗中它的全部可能結果只有有限個，即試驗的樣本空間中的元素只有有限個，亦即基本事件的數目有限。不妨設為n個，記為ω1,ω2,…,ωn，而且這些事件是兩兩互不相容的。

等可能性

試驗中各個基本事件ω1,ω2,…,ωn

發(fā)生或出現的可能性相同，即它們發(fā)生的概率都一樣。

古典概型在概率論中占有相當重要的地位。一方面，由于它簡單，通過對它的討論有助于理解概率論的許多基本概念；另一方面，古典概型在產品質量抽樣檢查等實際問題以及理論物理的研究中都有重要的應用。顯然，古典概型是有限樣本空間的一種特例。若記且有對任意事件A，設它所包含的基本事件數為m，如則事件A的概率為古典概型中事件概率的計算公式：古典概率的計算依賴排列與組合的計數知識.

法國數學家拉普拉斯在1812年把上式作為概率的一般定義，現在通常稱它為概率的古典定義，只適合于古典概型場合。例4

設袋中有4只白球和2只黑球，現從袋中無放回解基本事件總數為A所包含基本事件的個數為故地依次摸出2只球，求這2只球都是白球的概率.例5

設袋中有4只紅球和6只白球,現從袋中有放回地解第1次摸球→10種第2次摸球→

6種→

4種→10種→10種基本事件總數事件A所包含基本事件的個數為第1次摸到白球第2次摸到白球第3次摸球第3次摸到紅球→

6種故摸球3次,求摸到兩次白球、一次紅球的概率.古典概型的特點：基本事件的等可能性有限個樣本點問題question

怎樣推廣到“無限個樣本點”而又有某種“等可能性”？

認為任一點能鉆探到石油是等可能的,則所求概率為

某5萬平方公里的海域中，大約有40平方公里的大陸架貯藏有石油。若在這海域中任選一點進行鉆探，問能夠發(fā)現石油的概率是多少？解例⑵確定概率的幾何方法——幾何概率發(fā)生的概率定義為如果樣本空間為有界區(qū)間、空間有界區(qū)域，則“面積”改為“長度”、“體積”幾何概型的定義設隨機試驗的樣本空間為有界區(qū)域事件試驗結果落在區(qū)域

中稱為幾何概型注：①②事件A發(fā)生的概率與位置無關,只與A的面積有關，這體現了某種“等可能性”

例9：某人午睡醒來，發(fā)現表停了，他打開收音機，想聽電臺報時.求他等候不超過10分鐘的概率.例10：在400ml自來水中有一個細菌，現從中隨機取出2ml水樣放在顯微鏡下觀察，求發(fā)現細菌的概率.

在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.（1）條件概率的概念先看一個例子:

如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).

一般地P(A|B)≠P(A)

1.4條件概率解:試驗的樣本空間為Ω={(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)}括號中第一個位置表示老大，第二個位置表示老二．

例如：一家庭有2個孩子，考慮：(1)求兩個都是男孩的概率；(2)已知其中一個是男孩，求另一個也是男孩的概率；(3)已知老大是男孩，求老二也是男孩的概率．

若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗結果必須是既在B中又在A中的樣本點,即此點必屬于AB.由于我們已經知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有(1).設A、B是兩個事件，且P(B)>0,則稱

(1)1.4.1條件概率的定義為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.條件概率的基本性質：非負性對于任一事件

有規(guī)范性對于必然事件Ω有可列可加性設是兩兩不相容事件列，則有條件概率也是一種概率證設有兩兩不相容亦兩兩不相容③（1）條件概率的性質2)從加入條件后改變了的情況去算（2）

條件概率的計算1)用定義計算:P(B)>0

擲骰子例：A={擲出2點}，

B={擲出偶數點}P(A|B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點總數在縮減樣本空間中A所含樣本點個數

例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解設A={擲出點數之和不小于10}B={第一顆擲出6點}應用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計算由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)1.4.2乘法公式(Multiplicationformula)若已知P(B),P(A|B)時,可以反求P(AB).將A、B的位置對調，有故P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若

P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率

有三個箱子,分別編號為1,2,3.1號箱裝有1個紅球4個白球,2號箱裝有2紅3白球,3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.解記

Ai={球取自i號箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3之一同時發(fā)生，123其中A1、A2、A3兩兩互斥例子:1.4.3全概率公式和貝葉斯公式

將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式.對求和中的每一項運用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數據計算得：P(B)=8/15運用加法公式得到即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B兩兩互斥該球取自哪號箱的可能性最大?

這一類問題是“已知結果求原因”.在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結果發(fā)生條件下，探求各原因發(fā)生可能性大小.

某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現是紅球,求該球是取自1號箱的概率.1231紅4白或者問:（2）貝葉斯公式看一個例子:接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式

有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅球3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現是紅球,求該球是取自1號箱的概率

.1231紅4白?某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現是紅球，求該球是取自1號箱的概率.記Ai={球取自i號箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求P(A1|B)運用全概率公式計算P(B)將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式1231紅4白?

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導致B發(fā)生的每個原因的概率.貝葉斯公式在實際中有很多應用.

它可以幫助人們確定某結果（事件B）發(fā)生的最可能原因.

P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識.當有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計.貝葉斯公式從數量上刻劃了這種變化

在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為原因的前驗概率和后驗概率.（1）兩事件的獨立性

一般來說，對于事件A,B，概率P(B)與條件概率P(B|A)是兩個不同的概念。一般來說，P(B)≠P(B|A),即事件A的發(fā)生對事件B的發(fā)生有影響。若事件A的發(fā)生對事件B的發(fā)生沒有影響，則有P(B|A)=P(B)。1.5獨立性顯然P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時稱事件A、B獨立.A={第二次擲出6點}，B={第一次擲出6點}，先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設

由乘法公式知，當事件A、B獨立時，有P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)則稱A、B相互獨立，簡稱A、B獨立.兩事件獨立的定義

按照獨立性的定義，必然事件Ω與不可能事件φ與任何事件都是獨立的。

例

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可見,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B獨立.問事件A、B是否獨立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,

前面我們是根據兩事件獨立的定義作出結論的，也可以通過計算條件概率去做:

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的},

在實際應用中,往往根據問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.

可見P(A)=P(A|B),

即事件A、B獨立.則P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13