第1章 隨機(jī)事件與概率

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics

主講人：劉丹丹Tel率論的誕生及應(yīng)用(Naissanceandapplicationofprobabilitytheory)概率論的誕生

起源——博弈

概率論產(chǎn)生于十七世紀(jì)，但數(shù)學(xué)家們思考概率論問(wèn)題的源泉，卻來(lái)自于賭博。傳說(shuō)早在1654年，有一個(gè)賭徒向當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家提出一個(gè)使他苦惱了很久的問(wèn)題：“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰(shuí)先贏3局就算贏，全部賭本就歸誰(shuí)。但是當(dāng)其中一個(gè)人贏了

2局，另一個(gè)人贏了1局的時(shí)候，由于某種原因，賭博終止了。

這位數(shù)學(xué)家是當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家，但這個(gè)問(wèn)題卻讓他苦苦思索了三年。三年后，荷蘭著名的數(shù)學(xué)家企圖自己解決這一問(wèn)題，結(jié)果寫(xiě)成了《論賭博中的計(jì)算》一書(shū)，這就是概率論最早的一部著作。

19世紀(jì)(1866),Chebyshev(切比雪夫，俄)—中心極限理論，是概率論的又一次飛躍，為后來(lái)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的產(chǎn)生和應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。20世紀(jì)(1933)，Kolmogorov(柯?tīng)柲缏宸?俄)—概率公理化定義得到了數(shù)學(xué)家們的普遍承認(rèn)。由于公理化，概率論成為一門(mén)嚴(yán)格的演繹科學(xué)，取得了與其他數(shù)學(xué)學(xué)科同等的地位，并通過(guò)集合論與其他數(shù)學(xué)分支密切的聯(lián)系。2.概率論的應(yīng)用

概率論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,它研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律.一方面，它有自己獨(dú)特的概念和方法，另一方面，它與其他數(shù)學(xué)分支又有緊密的聯(lián)系，它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要組成部分.

概率論的廣泛應(yīng)用幾乎遍及所有的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域,例如天氣預(yù)報(bào),地震預(yù)報(bào),產(chǎn)品的抽樣調(diào)查;工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)部門(mén),在通訊工程中可用以提高信號(hào)的抗干擾性,分辨率等等.?概率論是研究什么的？隨機(jī)現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性概率論——研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的科學(xué)

第一章概率論的基本概念主要內(nèi)容§1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算§1.2概率的定義及其性質(zhì)§1.3古典概型與幾何概型§1.4條件概率§1.5獨(dú)立性第一章：總結(jié)在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱(chēng)為確定性現(xiàn)象太陽(yáng)不會(huì)從西邊升起同性電荷必然互斥水從高處流向低處自然界所能觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象⑴隨機(jī)現(xiàn)象

確定性現(xiàn)象的基本特征是條件完全決定結(jié)果

1.1.1

隨機(jī)事件的概念

……在一定條件下不能預(yù)知是否出現(xiàn)的現(xiàn)象稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象擲一枚均勻的硬幣出現(xiàn)正反兩面的情況一門(mén)大炮射向同一目標(biāo)的多發(fā)炮彈的彈落點(diǎn)拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)任意抽取一個(gè)產(chǎn)品抽出正品或次品的情況

過(guò)馬路交叉口時(shí)可能遇上的交通信號(hào)燈的顏色

隨機(jī)現(xiàn)象的基本特征是條件不能完全決定結(jié)果

……隨機(jī)現(xiàn)象是通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)研究的如何來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象?問(wèn)題重復(fù)性

試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行.明確性事先明確的知道試驗(yàn)所有可能結(jié)果；偶然性試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),每次試驗(yàn)之前在概率論中稱(chēng)有如下三個(gè)特征的試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)：⑵隨機(jī)試驗(yàn)不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)；隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱(chēng)為試驗(yàn).通常用E

來(lái)表示.試驗(yàn)是一個(gè)廣泛的術(shù)語(yǔ)科學(xué)實(shí)驗(yàn)調(diào)查觀察測(cè)量試驗(yàn)

E的所有可能結(jié)果組成的集合稱(chēng)為其樣本空間.⑶樣本空間(Samplespace)樣本空間通常用字母Ω

表記.一個(gè)具體試驗(yàn)結(jié)果，即

Ω

的元素稱(chēng)為

E的樣本點(diǎn).例1拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).樣本空間樣本點(diǎn)例2

記錄某城市120急救電話臺(tái)一晝夜接到的呼喚次數(shù).例3

從一批燈泡中任取一只,測(cè)試其壽命.其中

t為燈泡的壽命.樣本空間有限樣本空間（例1）可列樣本空間（例2）連續(xù)樣本空間（例3）離散樣本空間試驗(yàn)的操作相同但關(guān)注不同，則樣本空間也不同.例4

試驗(yàn)的操作為：“將一枚硬幣拋擲三次”.

關(guān)注1觀察正面

H和反面

T出現(xiàn)的情況.

樣本空間為關(guān)注2觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).

樣本空間為稱(chēng)之為一個(gè)隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)為事件.出現(xiàn)1點(diǎn)，出現(xiàn)6點(diǎn)，點(diǎn)數(shù)不大于4，點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)例5

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).⑷隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)中，有可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結(jié)果，我們?cè)囼?yàn)中,骰子等都為隨機(jī)事件.由一個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的事件稱(chēng)為基本事件.隨機(jī)事件

A是樣本空間

Ω

的一個(gè)子集合在隨機(jī)事件的討論中通常借用集合論的語(yǔ)言.隨機(jī)事件常以大寫(xiě)英文字母

A,B,C,

…

表記.兩個(gè)特殊的事件：必件然事例如，在擲骰子試驗(yàn)中，“擲出點(diǎn)數(shù)小于7”是必然事件;即在試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件，常用Ω表示;不件可事能即在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件，常用Φ表示.而“擲出點(diǎn)數(shù)8”則是不可能事件.

1.1.2

隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算事件相等A＝BAB且BA.⑴事件的包含與相等若事件A出現(xiàn)必然導(dǎo)致B出現(xiàn)，則稱(chēng)事件B包含事件A，也稱(chēng)事件A包含于事件B，記為(2)事件的和（并）若事件

A與事件

B至少有一個(gè)發(fā)生，則稱(chēng)事件

A與事件

B的和事件發(fā)生，和事件記為

A∪B.—有限事件和—可列事件和n個(gè)事件A1,A2,…,An至少有一個(gè)發(fā)生，(3)事件的積（交）若事件

A與事件

B同時(shí)發(fā)生，則稱(chēng)事件

A與事件

B的積事件發(fā)生，積事件記為

A∩B或

AB.—有限事件積—可列事件積n個(gè)事件A1,A2,…,An同時(shí)發(fā)生(4)事件的差若事件

A發(fā)生但事件

B不發(fā)生，則稱(chēng)事件

A與事件B

的差事件發(fā)生，差事件記為

A-B.(5)互不相容事件如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，AB＝，則稱(chēng)A與事件B互不相容，或稱(chēng)事件A與事件B互斥。進(jìn)而有(6)對(duì)立事件若事件

A與事件

B必有一個(gè)發(fā)生，但

A

發(fā)生則

B

不發(fā)生，反之

B發(fā)生則

A不發(fā)生，則稱(chēng)事件

A與事件B互為逆事件或?qū)α⑹录?，記?/p>

B=A

或

A

=B

.

兩事件A、B互斥：,兩事件A、B互逆或互為對(duì)立事件,即A與B不可能同時(shí)發(fā)生.除要求A、B互斥()外，還要求

A∪B=Ω(7)完備事件組如果n個(gè)事件A1,A2,…,An互不相容，并且它們的和為必然事件(或樣本空間),則稱(chēng)n個(gè)事件A1,A2,…,An構(gòu)成一個(gè)完備事件組.即如果事件A1,A2,…,An為完備事件組，則必須滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件：

A1∪A2∪…∪An=Ω

AiAj=,

i≠j,i,j=1,2,…,n

事件的運(yùn)算性質(zhì)⑴吸收律⑵交換律⑶結(jié)合律⑷分配律⑸對(duì)偶律例6

設(shè)

A,B,C

表示三個(gè)隨機(jī)事件,試將下列事件

A出現(xiàn),

B,C不出現(xiàn)

三個(gè)事件都不出現(xiàn)A,B都出現(xiàn),

C不出現(xiàn)三個(gè)事件都出現(xiàn)三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn)用

A,B,C

間的運(yùn)算表示出來(lái).隨機(jī)事件樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)事件運(yùn)算包含互斥并交差對(duì)立小結(jié)--隨機(jī)試驗(yàn)的討論歷程

那么要問(wèn):如何求得某事件的概率呢?下面幾節(jié)就來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題.

研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事率件概的

研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！概率與頻率有許多相似的地方，首先考慮頻率的有關(guān)性質(zhì)1.2概率的定義及其性質(zhì)1.2.1頻率（Frequenncy）

Definition1.1

設(shè)在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行了n次試驗(yàn)，若隨機(jī)事件A在這n

次試驗(yàn)中發(fā)生了nA

次，則比值稱(chēng)為事件

A在

n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，其中nA

稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻數(shù)。頻率的性質(zhì)設(shè)

A是隨機(jī)試驗(yàn)

E的任一事件,則

由頻率的定義，容易看出頻率具有以下的三條基本性質(zhì)試驗(yàn)序號(hào)7234222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502例1

將一枚硬幣拋擲5次、50、500次,各做7遍,

波動(dòng)最小1512123456隨n的增大,頻率f

呈現(xiàn)出穩(wěn)定性觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.下面考察頻率的一個(gè)重要特性—頻率的穩(wěn)定性從上述數(shù)據(jù)可得拋硬幣次數(shù)

n較小時(shí),頻率

f的隨機(jī)波動(dòng)幅度較大,但隨

n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當(dāng)n逐漸增大時(shí)頻率

f總是在0.5附近擺動(dòng),且逐漸穩(wěn)定于0.5.頻率有隨機(jī)波動(dòng)性，即對(duì)于同樣的

n，所得的

f不一定相同;實(shí)驗(yàn)者德.摩根蒲豐204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005K.皮爾遜K.皮爾遜隨n的增大,正面出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定于0.5歷史上幾次著名的擲硬幣試驗(yàn)1.2.2概率的定義(Definitionofprobability)

可見(jiàn),在大量重復(fù)的試驗(yàn)中,隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率具有穩(wěn)定性.即通常所說(shuō)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.

在歷史上它一直是概率論研究的一個(gè)重大課題。相應(yīng)地，我們有如下的概率的統(tǒng)計(jì)定義：Definition1.2

對(duì)于概率的統(tǒng)計(jì)定義雖然直觀，易被人們接受，但是不便于實(shí)際應(yīng)用。

定義中常數(shù)p的存在只是人們經(jīng)過(guò)大量觀察之后的推斷，不便于實(shí)際應(yīng)用，因?yàn)槲覀儾豢赡軐?duì)每一事件都做大量的重復(fù)試驗(yàn)，從中得到頻率的穩(wěn)定值。也不便于理論研究。這就需要概率的公理化定義：Definiton1.3從n

個(gè)元素中任取r

個(gè)進(jìn)行組合或排列，求取法數(shù).排列講次序（321≠132），組合不講次序（321=132）全排列：An=n!0!=1.重復(fù)排列：nr選排列：1.2.3排列、組合公式Formulaofarrangementandcombination組合組合：組合數(shù)公式的幾個(gè)常用性質(zhì)1.2.4概率的性質(zhì)

Ω解

ΩAB例1BA⑴由圖示⑵由圖示故得得

ΩAB⑶由圖示AB又因而得例2

假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率.解

64個(gè)人生日各不相同的概率為故64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率為⑴確定概率的古典方法

我們首先引入的計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型，是在概率論的發(fā)展過(guò)程中最早出現(xiàn)的研究對(duì)象，通常稱(chēng)為

古典概型(Classicalprobability)1.3古典概型與幾何概型若一個(gè)試驗(yàn)有如下特征，則稱(chēng)這個(gè)試驗(yàn)為古典概型.

有限性在試驗(yàn)中它的全部可能結(jié)果只有有限個(gè)，即試驗(yàn)的樣本空間中的元素只有有限個(gè)，亦即基本事件的數(shù)目有限。不妨設(shè)為n個(gè)，記為ω1,ω2,…,ωn，而且這些事件是兩兩互不相容的。

等可能性

試驗(yàn)中各個(gè)基本事件ω1,ω2,…,ωn

發(fā)生或出現(xiàn)的可能性相同，即它們發(fā)生的概率都一樣。

古典概型在概率論中占有相當(dāng)重要的地位。一方面，由于它簡(jiǎn)單，通過(guò)對(duì)它的討論有助于理解概率論的許多基本概念；另一方面，古典概型在產(chǎn)品質(zhì)量抽樣檢查等實(shí)際問(wèn)題以及理論物理的研究中都有重要的應(yīng)用。顯然，古典概型是有限樣本空間的一種特例。若記且有對(duì)任意事件A，設(shè)它所包含的基本事件數(shù)為m，如則事件A的概率為古典概型中事件概率的計(jì)算公式：古典概率的計(jì)算依賴(lài)排列與組合的計(jì)數(shù)知識(shí).

法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯在1812年把上式作為概率的一般定義，現(xiàn)在通常稱(chēng)它為概率的古典定義，只適合于古典概型場(chǎng)合。例4

設(shè)袋中有4只白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無(wú)放回解基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個(gè)數(shù)為故地依次摸出2只球，求這2只球都是白球的概率.例5

設(shè)袋中有4只紅球和6只白球,現(xiàn)從袋中有放回地解第1次摸球→10種第2次摸球→

6種→

4種→10種→10種基本事件總數(shù)事件A所包含基本事件的個(gè)數(shù)為第1次摸到白球第2次摸到白球第3次摸球第3次摸到紅球→

6種故摸球3次,求摸到兩次白球、一次紅球的概率.古典概型的特點(diǎn)：基本事件的等可能性有限個(gè)樣本點(diǎn)問(wèn)題question

怎樣推廣到“無(wú)限個(gè)樣本點(diǎn)”而又有某種“等可能性”？

認(rèn)為任一點(diǎn)能鉆探到石油是等可能的,則所求概率為

某5萬(wàn)平方公里的海域中，大約有40平方公里的大陸架貯藏有石油。若在這海域中任選一點(diǎn)進(jìn)行鉆探，問(wèn)能夠發(fā)現(xiàn)石油的概率是多少？解例⑵確定概率的幾何方法——幾何概率發(fā)生的概率定義為如果樣本空間為有界區(qū)間、空間有界區(qū)域，則“面積”改為“長(zhǎng)度”、“體積”幾何概型的定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為有界區(qū)域事件試驗(yàn)結(jié)果落在區(qū)域

中稱(chēng)為幾何概型注：①②事件A發(fā)生的概率與位置無(wú)關(guān),只與A的面積有關(guān)，這體現(xiàn)了某種“等可能性”

例9：某人午睡醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開(kāi)收音機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí).求他等候不超過(guò)10分鐘的概率.例10：在400ml自來(lái)水中有一個(gè)細(xì)菌，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2ml水樣放在顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)細(xì)菌的概率.

在解決許多概率問(wèn)題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.（1）條件概率的概念先看一個(gè)例子:

如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).

一般地P(A|B)≠P(A)

1.4條件概率解:試驗(yàn)的樣本空間為Ω={(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)}括號(hào)中第一個(gè)位置表示老大，第二個(gè)位置表示老二．

例如：一家庭有2個(gè)孩子，考慮：(1)求兩個(gè)都是男孩的概率；(2)已知其中一個(gè)是男孩，求另一個(gè)也是男孩的概率；(3)已知老大是男孩，求老二也是男孩的概率．

若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有(1).設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)>0,則稱(chēng)

(1)1.4.1條件概率的定義為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.條件概率的基本性質(zhì)：非負(fù)性對(duì)于任一事件

有規(guī)范性對(duì)于必然事件Ω有可列可加性設(shè)是兩兩不相容事件列，則有條件概率也是一種概率證設(shè)有兩兩不相容亦兩兩不相容③（1）條件概率的性質(zhì)2)從加入條件后改變了的情況去算（2）

條件概率的計(jì)算1)用定義計(jì)算:P(B)>0

擲骰子例：A={擲出2點(diǎn)}，

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}P(A|B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)

例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問(wèn)“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解設(shè)A={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點(diǎn)}應(yīng)用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)1.4.2乘法公式(Multiplicationformula)若已知P(B),P(A|B)時(shí),可以反求P(AB).將A、B的位置對(duì)調(diào)，有故P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若

P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都稱(chēng)為乘法公式,利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率

有三個(gè)箱子,分別編號(hào)為1,2,3.1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球,2號(hào)箱裝有2紅3白球,3號(hào)箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.解記

Ai={球取自i號(hào)箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3之一同時(shí)發(fā)生，123其中A1、A2、A3兩兩互斥例子:1.4.3全概率公式和貝葉斯公式

將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式.對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)=8/15運(yùn)用加法公式得到即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B兩兩互斥該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?

這一類(lèi)問(wèn)題是“已知結(jié)果求原因”.在實(shí)際中更為常見(jiàn)，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，探求各原因發(fā)生可能性大小.

某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率.1231紅4白或者問(wèn):（2）貝葉斯公式看一個(gè)例子:接下來(lái)我們介紹為解決這類(lèi)問(wèn)題而引出的貝葉斯公式

有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅球3白球，3號(hào)箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率

.1231紅4白?某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率.記Ai={球取自i號(hào)箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求P(A1|B)運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(B)將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式1231紅4白?

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用.

它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件B）發(fā)生的最可能原因.

P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒(méi)有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí).當(dāng)有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計(jì).貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化

在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱(chēng)為原因的前驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率.（1）兩事件的獨(dú)立性

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于事件A,B，概率P(B)與條件概率P(B|A)是兩個(gè)不同的概念。一般來(lái)說(shuō)，P(B)≠P(B|A),即事件A的發(fā)生對(duì)事件B的發(fā)生有影響。若事件A的發(fā)生對(duì)事件B的發(fā)生沒(méi)有影響，則有P(B|A)=P(B)。1.5獨(dú)立性顯然P(A|B)=P(A)這就是說(shuō),已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時(shí)稱(chēng)事件A、B獨(dú)立.A={第二次擲出6點(diǎn)}，B={第一次擲出6點(diǎn)}，先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)

由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨(dú)立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.若兩事件A、B滿(mǎn)足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)則稱(chēng)A、B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)A、B獨(dú)立.兩事件獨(dú)立的定義

按照獨(dú)立性的定義，必然事件Ω與不可能事件φ與任何事件都是獨(dú)立的。

例

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可見(jiàn),P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B獨(dú)立.問(wèn)事件A、B是否獨(dú)立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,

前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作出結(jié)論的，也可以通過(guò)計(jì)算條件概率去做:

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的},

在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.

可見(jiàn)P(A)=P(A|B),

即事件A、B獨(dú)立.則P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13