理論力學第12章 動能定理

Theoryof

Mechanics

理論力學第十二章動能定理自然界中物體系統(tǒng)運動狀態(tài)的變化

---能量（energy）間的相互轉換---熱能到機械能,機械能到電能,電能到光能(熱能）等

矢量形式

標量形式求解動力學問題動量定理動能定理能量（Energy）是基本量力（力偶）和動量（動量矩）是基本量；動量矩定理[學習重點]1、力的功的計算；2、剛體的動能計算；3、機械效率，功率的單位。4、理想約束：純滾動時摩擦力的功；5、動能定理與機械能守恒定理的關系。6、三定理的綜合應用第十二章動能定理§12-1力的功

§12-2剛體的動能計算

§12-3動能定理

§12-4功率功率方程

§12-5機械能守恒定律

§12-6物體系統(tǒng)的動力學問題舉例

§12-1力的功力的功是力沿路程累積效應的度量。路程是指力其作用點的物體的路程。一．常力的功力的功是代數量。時,正功；時,功為零；時,負功。單位：焦耳（Ｊ）；二．變力的功

元功：變力在曲線上所做的功等于在此段路程中所有元功的總和代入元功的表達式，得功的總和，為

上式表明，作用于質點的合力在任一路程中所作的功，等于各分力在同一路程中所作的功的代數和。三．合力的功

質點M受n個力作用合力為則合力的功四．常見力的功

1．重力的功質點系：

質點系重力的功，等于質點系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質點的路徑無關。質點：重力在三軸上的投影：質點起止位置的高度差。

2．彈性力的功彈簧原長，在彈性極限內k—彈簧的剛度系數，表示使彈簧發(fā)生單位變形時所需的力。N/m,N/cm。彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關，而與質點運動的路徑無關。作用于轉動剛體上力的功等于力矩的功。若m=常量,則注意：功的符號的確定。如果作用力偶m,且力偶的作用面垂直轉軸

3．定軸轉動剛體上作用力(力偶)的功設在繞z

軸轉動的剛體上M點作用有力，計算剛體轉過一角度時力所作的功。M點軌跡已知。4.任意運動剛體上力系的功

無論剛體作何運動，力系的功總等于力系中所有力作功的代數和。

對剛體而言，力系的簡化和等效原理對動力學也適用。將力系向剛體上任一點簡化，一般簡化為一個力和一個力偶。由力系的等效原理，這個力和力偶所作的元功等于力系中所有力所作元功的和，有平面運動剛體說明:1.對任何運動的剛體,上述結論都適用;

2.C點不是質心,而是剛體上任意一點時,上述結論也成立

3.計算力系的主矢、主矩時，可以不包含不作功的力。當質心由,轉角由時,力系的功為已知:均質圓盤R,m,F=常量,且很大,使O

向右運動,f,初靜止。

求:O走過S

路程時力的功。

例12-1

F

重力，摩擦力，法向約束力都不作功，只有力F作功，將力F向質心簡化，得解：CFSPFNF§12-2剛體的動能計算2、質點系的動能1、質點的動能根據物體運動性質的不同，或僅僅需要知道運動物體的某些運動特征時，為了研究方便，算常把物體抽象為質點?；蛸|點系。因此，在介紹剛體的動能計算之前，我們先來確定質點和質點系的動能。單位：J（焦耳），或

(牛頓米)（1）平移剛體的動能（2）定軸轉動剛體的動能即

即

令剛體的質量

即:平面運動剛體的動能等于隨質心平移的動能與繞質心轉動的動能之和.得速度瞬心為P（3）平面運動剛體的動能上面結論也適用于剛體的任意運動.例12-2

均質圓盤沿直線軌道作純滾動。設圓盤重，半徑R，某瞬時其質心C的速度為。求圓盤的動能。解：圓盤做平面運動，P為速度瞬心，圓盤的角速度

例

基本量計算(動量,動量矩,動能)將

兩端點乘

,由于§12-3動能定理1、質點的動能定理因此得

上式稱為質點動能定理的微分形式，即質點動能的增量等于作用在質點上力的元功。稱質點動能定理的積分形式:在質點運動的某個過程中,質點動能的改變量等于作用于質點的力作的功.積分之,有2、質點系的動能定理稱質點系動能定理的微分形式:質點系動能的增量，等于作用于質點系全部力所作的元功的和.

由求和得稱質點系動能定理的積分形式:質點系在某一段運動過程中,起點和終點的動能改變量,等于作用于質點系的全部力在這段過程中所作功的和.積分之,有1、理想約束

在許多情況下，約束反力的功之和為零，滿足此條件的約束稱為理想約束。2、常見的理想約束:△光滑固定面約束△光滑鉸鏈或軸承約束△剛性連接約束△聯接兩個剛體的鉸△柔軟不可伸長的繩索約束當約束不是理想約束時，應當考慮摩擦力的功，此時可將摩擦力作為主動力來考慮。說明3、理想約束及內力做功

對理想約束,在動能定理中只計入主動力的功即可.拉緊時，內部拉力的元功之和恒等于零。理想約束反力的功約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。1．光滑固定面約束2．活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承3．剛體沿固定面作純滾動4．聯接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）5．柔索約束（不可伸長的繩索）

質點系內力的功

只要A、B兩點間距離保持不變,內力的元功和就等于零。

不變質點系的內力功之和等于零。剛體的內力功之和等于零。不可伸長的繩索內力功之和等于零。例12-5已知:均質圓盤R,m,F=常量,且很大,使O向右運動,f,初靜止。

求:O走過S路程時ω，。圓盤速度瞬心為C

解:將式(a)兩端對t求導,并利用得例12-7已知:m,h,k,其它質量不計.求:解：物體為研究對象

由于彈簧的壓縮量必定是正值，因此取正號，分析物體從位置Ⅰ到位置Ⅲ的整個過程已知：輪O

：R1

，m1,質量分布在輪緣上;均質輪C

：R2

，

m2

，純滾動,初始靜止;θ,M

為常力偶。求:輪心C

走過路程s時的速度和加速度例12-3輪C與輪O共同作為一個質點系解:式(a)是函數關系式，兩端對t求導,得例12-5均質桿AB長l，質量為m，在水平位置處由靜止釋放如圖所示。試求桿AB到達鉛垂位置時點A的速度和加速度。解：分析桿的受力，有重力和約束力、，做功的力為桿的重力。桿AB可作定軸轉動。由積分形式的動能定理代入動能定理要求A點的加速度，需要求出桿的角加速度。求桿的角加速度，可用兩種方法：(1)在一般位置處列出動能定理表達式，通過求導得角加速度(2)用剛體統(tǒng)定軸轉動微分方程求角加速度一般位置處，所有力的功為代入動能定理,wehave對時間求導當，，故(2)用剛體統(tǒng)定軸轉動微分方程求角加速度在圖13-15（c）所示位置，有注意：1．用動能定理求加速度時，必須寫出—般位置（角度）處的動能定理表達式，再對等式進行求導。不能對某特定位置（角度）表達式求導。

2．由此比較可知，對于單個繞定軸轉動剛體，用剛體定軸轉動微分方程求角加速度較方便。此題的最簡解法為：先用動能定理求；再用剛體統(tǒng)定軸轉動微分方程求。[例1]

圖示系統(tǒng)中,均質圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平線,盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時重物的速度與加速度。(繩重不計，繩不可伸長，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止)解：取系統(tǒng)為研究對象上式求導得：

例12-6

在絞車的主動軸I上作用一恒力偶M以提升重物，如圖所示。已知重物的質量為m；主動軸I和從動軸II連同安裝在軸上的齒輪等附件的轉動慣量分別為J1和J2，傳動比；鼓輪的半徑為R。軸承的摩擦和吊索的質量均不計。絞車初始時靜止，試求當重物上升的距離為h時的速度v及加速度α。解：取絞車和重物組成的質點系為研究對象。例12-7

行星齒輪傳動機構,放在水平面內。動齒輪半徑r,重P,視為均質圓盤；曲柄重Q,長l,作用一力偶,矩為M(常量),曲柄由靜止開始轉動；求曲柄的角速度(以轉角的函數表示)和角加速度。解：取整個系統(tǒng)為研究對象根據動能定理，得將上式對t求導數，得§12-4功率功率方程一、功率：單位時間力所作的功稱功率即:功率等于切向力與力作用點速度的乘積.

由,得單位:W（瓦特）,1W=1J/s作用在轉動剛體上的力的功率為二、功率方程稱功率方程,即質點系動能對時間的一階導數,等于作用于質點系的所有力的功率的代數和.或三、機械效率機械效率有效功率多級轉動系統(tǒng)例12-7已知:若，求F的最大值。求:切削力F的最大值解:當時當時§13-5

機械能守恒定律

若質點在某空間內的任一位置都受到一定大小和方向的力的作用，則此空間稱為力場（fieldofforce）。

一、勢力場

1、力場

2、勢力場

如質點在某一力場內運動時，力場對質點所所作的功僅與質點的起止位置有關，而與其運動路徑無關，這種力場稱為勢力場。質點在勢力場中所受到的力稱為勢力(保守力)，如重力、彈性力等。重力場、萬有引力場、彈性力場都是勢力場。

二、勢能

在勢力場中,質點從位置M運動到任選位置M0,有勢力所作的功稱為質點在位置M相對于位置M0的勢能（potentialenergy），用V表示。

M0為基準位置，勢能為零，稱為零勢能點。因而，勢能具有相對性。

V僅與質點或質點質心的位置有關。在一般情形下，V是位置坐標的單值連續(xù)函數，稱為勢能函數。

在勢力場中勢能相等的各點所組成的平面稱為等勢面，可表示為：V(x,y,z)=C。由此可知，當質點沿任一等勢面運動時，勢力的功恒為零。三、機械能守恒定律

設質點系只受勢力(或同時受到不作功的非有勢力)作用，則而∴(*)說明(1)(*)式表明質點在勢力場內運動時機械能保持不變，此即機械能守恒定律。(2)由于勢力場具有機械能守恒的特性，因而勢力場又稱為保守力場。則勢力又稱為保守力。(3)若質點在非保守力的作用下產生機械運動，則機械能不再守恒，機械能的改變等于非保守力所作的功。（1）重力場中心勢能（2）彈性力場的勢能為零勢能點。下面介紹幾種常見的勢能（3）萬有引力場中的勢能取零勢能點在無窮遠質點重力場勢能函數[例1]

長為l，質量為m的均質直桿，初瞬時直立于光滑的桌面上。當桿無初速度地傾倒后，求質心的速度（用桿的傾角和質心的位置表達）。解：由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質心C鉛垂下降。由于約束反力不作功,主動力為有勢力，因此可用機械能守恒定律求解。初瞬時：由機械能守恒定律：將

代入上式，化簡后得任一瞬時：例2

均質圓柱A的重量為，半徑為R，放在足夠粗糙的水平面上，其軸心O處連接一彈簧常數為k的水平拉伸彈簧，彈簧的另一端固定在墻上。圓柱上繞有質量不計的細繩，繩子繞過一重量為、半徑為r的均質滑輪B，其另—端懸掛重量的物塊C，使圓柱在地面上作純滾動。若滑輪軸承的摩擦略去不計，整個系統(tǒng)從靜止開始運動，起始時彈簧無變形，繩與滑輪間無相對滑動。試以物塊的起始位置為x軸的原點，如圖所示，建立物塊的加速度與位移x間的關系式。解：[分析]系統(tǒng)的待求量為運動量，可用動能定理求解，因該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，亦可用機械能守恒定律求解。取系統(tǒng)為研究對象。受力分析：系統(tǒng)中作功的力為C塊的重力和彈簧的彈性力。分析運動：

C塊作直線運動，輪B繞軸Ol作定軸轉動，輪A作平面運動，各物體的速度或角速度如圖所示。求解方法有以下兩種：

1.用動能定理求解系統(tǒng)初始靜止

C物塊下移x時，系統(tǒng)動能為

由于

所有力的功

知道

代入動能定理得

（a）式（a）兩邊對時間t求導2．用機械能守恒定律求解該系統(tǒng)機械能守恒

取平衡位置處為重力零勢能點，彈簧原長為彈性力零勢能點。初始位置

任意位置時

由機械能守恒

（b）式(a)和式(b)完全相同。注意：當系統(tǒng)中作功的力全為保守力時，系統(tǒng)機械能守恒，此時可用機械能守恒定律解題。但一定要指明零勢能點，否則講勢能無意義?？捎脵C械能守恒定律求解的題目一定可用動能定理求解?！?2-6

物體系統(tǒng)的動力學問題舉例動量定理（或質心運動定理）建立了動量的變化（或質心運動的變化）與外力系主矢的關系。它涉及到速度、時間和外力三種量。對于用時間表示的運動過程，通常使用動量定理求解。特別是已知運動求約束反力的問題，必須用動量定理（或質心運動定理）求解。

動量定理、動量矩定理和動能定理，從不同側面闡明了物體機械運動的規(guī)律，用不同的物理量反映了質點或質點系運動的改變和作用力的關系，在求解動力學兩類問題時，各有其特點。求解綜合動力學問題時，需要針對具體問題進行受力分析和運動分析，弄清楚問題的性質和條件，再結合各定理所反映的規(guī)律，來選擇適用的定理，或者聯合運用定理求解。動量矩定理建立了質點系動量矩的變化與外力系主矩的關系。當質點系繞軸運動時，可考慮使用動量矩定理求解。如果已知運動，則可使用動量矩定理求解作用線不通過轉軸的力。如果已知外力矩，則可使用動量矩定理求解質點系繞軸（或點）的運動。動能定理建立了質點系動能的變化與力的功的關系。它涉及到速度、路程和力三種量。對于用路程表示的運動過程，當已知力求質點系運動的速度（或角速度）、加速度（或角加速度）時，通常使用動能定理求解較為方便。

舉例說明三定理的綜合應用：

[例1]

兩根均質桿AC和BC各重為P，長為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設兩桿軸線始終在鉛垂面內，初始靜止，C點高度為h，求鉸C到達地面時的速度。討論動量守恒定理＋動能定理求解。計算動能時，利用平面運動的運動學關系。解：由于不求系統(tǒng)的內力，可以不拆開。研究對象：整體分析受力：，且初始靜止，所以水平方向質心位置守恒。代入動能定理：

[例2]

均質圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質量不計，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數f，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：選系統(tǒng)為研究對象運動學關系：由動能定理：對ｔ求導，得例13-9

圖（a）所示鉸車鼓輪的半徑為r，重為G1，重心與軸承O的中心相重合，在其上作用一力偶矩為M的常力偶，使半徑為R，重為G2的滾子（鼓輪和滾子均視為均質圓盤）沿傾角為的斜面由靜止開始向上作純滾動。設繩子不能伸長且不計質量，求鼓輪由靜止開始轉過角時，滾子質心C的速度、加速度、繩子的拉力和軸承O處約束力。解：(1)取整個系統(tǒng)為研究對象，應用動能定理求滾子質心C的速度、加速度。

系統(tǒng)初始瞬時的動能系統(tǒng)終止瞬時的動能運動分析可知

則

系統(tǒng)具有理想約束，且內力功之和恒等于零。主動力的功只有滾子的重力G2和力偶矩為M的力偶作功，做功總和為根據質點系的動能定理

（1）

解得

將式（1）兩端對t求一階導數，得由于

可得滾子質心的加速度

（2）

(2)取鼓輪（包括繩子）為研究對象，其受力圖如圖13-20（b）所示。應用剛體繞定軸轉動微分方程，求滾子對繩子的拉力。根據剛體繞定軸轉動微分方程，可得而

代入上式得繩子的拉力

(3)

(3)仍以鼓輪（包括繩子）為研究對象，根據質心運動定理求軸承O處約束力。因鼓輪質心的加速度為零，故由質心運動定理的投影形式可得將式（3）代入，解得

例13-10

均質細長桿為l，質量為m，靜止直立于光滑水平面上。當桿受微小擾動，而倒下時，求AB桿剛剛達到地面時的角速度和地面的約束力。解：由于地面光滑，AB桿在運動中只受重力和地面法向反力作用，所有外力均為鉛垂，倒下過程中，即水平方向合力等于零，則質心在水平方向的運動守恒。

由于桿初瞬時靜止，質心的橫坐標xC保持常數。因此，AB桿的質心將鉛垂下落。

設桿向左滑動于任一角度P為桿的速度瞬心由運動學知，桿的角速度

桿的動能為桿的初瞬時動能為由于地面反力作功等于零，所以系統(tǒng)只有重力作功根據動能定理當時，解出桿剛剛到達地面時，受力及加速度如圖所示，由剛體平面運動微分方程，得點A的加速度方向為水平

質心C的加速度為鉛垂