2023年植樹問題的公式知識點(diǎn)

植樹問題的公式知識點(diǎn):一、植樹問題分兩種情況,不封閉與封閉路線。不封閉的植樹路線.①若題目中規(guī)定在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.全長、棵數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是:棵數(shù)段數(shù)全長株距全長株距(棵數(shù))株距全長(棵數(shù)）②假如題目中規(guī)定在路線的一端植樹，則棵數(shù)就比在兩端植樹時的棵數(shù)少1，即棵數(shù)與段數(shù)相等．全長、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為:全長株距棵數(shù);棵數(shù)段數(shù)全長株距；株距全長棵數(shù).③假如植樹路線的兩端都不植樹,則棵數(shù)就比②中還少1棵.棵數(shù)段數(shù)全長株距．株距全長(棵數(shù)）.全長株距(棵數(shù)＋1)封閉的植樹路線.在圓、正方形、長方形、閉合曲線等上面植樹，由于頭尾兩端重合在一起，所以種樹的棵數(shù)等于提成的段數(shù)．棵數(shù)段數(shù)周長株距．二、解植樹問題的三要素解決植樹問題，一方面要牢記三要素:總路線長、間距(棵距)長、棵數(shù).只要知道這三個要素中任意兩個要素,就可以求出第三個．三、方陣問題明確空心方陣和實(shí)心方陣的概念及區(qū)別.每邊的個數(shù)＝總數(shù)÷”;每向里一層每邊棋子數(shù)減少；掌握計(jì)算層數(shù)、每層個數(shù)、總個數(shù)的方法,及每層個數(shù)的變化規(guī)律。板塊一、非封閉的植樹問題大頭兒子的學(xué)校旁邊的一條路長400米,在路的一邊從頭到尾每隔4從圖上可以看出，每隔4米種一棵樹,假如20米長的路的一邊共種了6棵樹，這是由于我們一方面要在這條路的一端種上一棵，就是說種樹的棵樹要比間距的個數(shù)多１，所以列式為：400÷4+１=１０1（棵）.從小熊家到小豬家有一條小路,每隔45米種一棵樹,加上兩端共53棵;現(xiàn)在改成每隔60米該題含植樹問題、相差關(guān)系兩組數(shù)量關(guān)系.從小熊家到小豬家的距離是:４5×（53-1)＝234０（米),間隔距離變化后，兩地之間種樹：2３40÷60+１＝4０(棵),所以可余下樹:53-40=13（棵)，綜合算式為:53-[45×(5３-1)÷60+1]＝1３(棵).馬路的一邊,相隔8米有一棵楊樹,小強(qiáng)乘汽車從學(xué)?；丶?從看到第一棵樹到第１53棵樹共花了4第一棵樹到第153棵樹中間共有153-１=１52（個)間隔，每個間隔長8米，所以第一棵樹到第15３棵樹的距離是：1５2×8＝1２1６（米)，汽車通過1216米用了4分鐘,１分鐘汽車通過：１216÷４=3０４(米),半小時汽車通過：304×30＝912０（米）,即小明的家距離學(xué)校9120米．一位老爺爺以勻速散步,從家門口走到第1１棵樹用了1１分鐘,這位老爺爺假如走24分鐘,應(yīng)走到第幾棵樹?（家門口沒有樹)從家門口走到第11棵樹是走了11個間隔，走一個間隔所用時間是：11÷11=1（分鐘),那么走2４分鐘應(yīng)當(dāng)走了:２4÷1=24(個)間隔,所以老爺爺應(yīng)當(dāng)走到了第24棵樹.晶晶上樓，從第一層走到第三層需要走3６級臺階.假如從第一層走到第六層需要走多少級臺階?（各層樓之間的臺階數(shù)相同)題意的實(shí)質(zhì)反映的是一線段上的點(diǎn)數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系.線段示意圖如下:解：①每相鄰兩層樓之間有多少級臺階?(級)②從第一層走到第六層共多少級臺階？(級）元宵節(jié)到了，實(shí)驗(yàn)中學(xué)學(xué)校大門上掛了紅綠兩種顏色的彩燈，從頭到尾一共掛了2１只，每隔30分米掛一只紅燈，相鄰的2只紅燈之間掛了一只綠燈,問實(shí)驗(yàn)中學(xué)學(xué)校的大門有多寬?一共掛了2１只彩燈說明彩燈中間的間距有：21-1=２0(個），每隔３0分米掛一只紅燈,相鄰的2只紅燈之間掛了一只綠燈,說明每個間距的長是：30÷2=15（分米),所以學(xué)而思學(xué)校的大門寬度為:15×20=300(分米）有一個報(bào)時鐘，每敲響一下，聲音可連續(xù)3秒.假如敲響6下，那么從敲響第一下到最后一下連續(xù)聲音結(jié)束,一共需要４3秒．現(xiàn)在敲響12下,從敲響第一下到最后一下連續(xù)聲音結(jié)束,一共需要多長時間?每次敲完以后，聲音連續(xù)3秒，那么從敲完第一下到敲完第6下，一共經(jīng)歷的時間是(秒)，而這之間只有（個）間隔，所以每個間隔時間是（秒），現(xiàn)在要敲響12下，所以一共經(jīng)歷的時間是1１個間隔和3秒的連續(xù)時間，一共需要時間是:(秒)．小明家的小狗喝水時間很規(guī)律,每隔5分鐘喝一次水，第一次喝水的時間是8點(diǎn)整，當(dāng)小狗第20次喝水時,時間是多少？第２0次喝水與第1次喝水之間有（個)間隔，由于小狗每隔5分鐘喝一次，所以到第20次喝水中間間隔的時間是:(分鐘),也就是1個小時35分鐘,所以小狗第2０次喝水時時間是:9時35分．裁縫有一段１6米長的呢子，天天剪去2假如呢子有２米，不需要剪；假如呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段,4米里有2個2米,只用１天;假如呢子有6米,第一天剪去2米，還剩4米,第二天就可以剪去最后一段，６米里有3個２米，只用2天;假如呢子有8米,第一天剪去２米，還剩6米,第二天再剪2米，還剩4米，這樣第三天即可剪去最后一段,8米里有4個2米,用3天，……我們可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：所用的天數(shù)比2米的個數(shù)少1．因此,只要看1６米里有幾個2米，問題就可以解決了.16米中包含2米的個數(shù)：(個）剪去最后一段所用的天數(shù)：（天），所以裁縫第7天剪去最后一段.有一根1８０厘米長的繩子,從一端開始每3厘米作一記號,每⑴每３厘米作一記號,共有記號:(個)⑵每4厘米作一記號，共有記號：(個）⑶其中反復(fù)的共有:(個)⑷所以記號共有:（個）⑸繩子共被剪成了:(段).在一根長100厘米的木棍上,自左至右每隔６厘米染一個紅色點(diǎn)，同時自右向左每隔5厘米由于1０0是５的倍數(shù),所以自右向左每隔5厘米染一個紅點(diǎn)相稱于自左向右每隔5厘米染一個紅點(diǎn).而每隔30厘米可得到2個4厘米的短木棍.最后（厘米）也可以得一個短木棍,故共有(個）4厘米的短棍.同學(xué)們做操,小林站在左起第列，右起第列;從前數(shù)前面有個同學(xué),從后數(shù)后面有個同學(xué).每行每列的人數(shù)同樣多，做操的同學(xué)一共有多少人?帶領(lǐng)學(xué)生畫圖求解．一共有幾行?列式:(行)一共有幾列?列式：(列）一共有多少人？列式：(人)北京市國慶節(jié)參與游行的總?cè)藬?shù)有60000人,這些人平均分為２5隊(duì)，每隊(duì)又以１2人為一排列隊(duì)前進(jìn)．排與排之間的距離為1米,隊(duì)與隊(duì)之間的距離是4這道題仍是植樹問題的逆解題，它與植樹問題中已知樹的棵數(shù)，樹間的距離，求樹列的全長相稱．逆解時要注意段數(shù)比樹的棵數(shù)少1．所以,⑴每隊(duì)的人數(shù)是:(人)⑵每隊(duì)可以提成的排數(shù)是:(排)⑶２00排的全長米數(shù)是:(米)⑷２5個隊(duì)的全長米數(shù)是：(米）⑸25個隊(duì)之間的距離總米數(shù)是:(米)⑹游行隊(duì)伍的全長是:(米)學(xué)而思學(xué)校三年級運(yùn)動員參與校運(yùn)動會入場式，組成的方塊隊(duì)（即每行每列都是6人),前后每行間隔為2米.他們以每分鐘40米的速度,通過長３0通過下表理清解題思緒．方塊隊(duì)通過主席臺需要多少分鐘?通過的路程總長÷方塊隊(duì)行進(jìn)的速度(4０米/分鐘)方塊隊(duì)長＋主席臺長(３0米)?運(yùn)用植樹問題的逆解思緒，即前后每行間隔長×間隔數(shù)＝方塊隊(duì)長.方塊隊(duì)長:(米),方塊隊(duì)通過主席臺行進(jìn)路程總長：(米），方塊隊(duì)通過主席臺需要:(分鐘），綜合算式：（分鐘)．1一條公路的一旁連兩端在內(nèi)共植樹９１棵，每兩棵之間的距離是５米,求公路長是多少米？根據(jù)植樹問題得到:(米）2從甲地到乙地每隔4０米安裝一根電線桿，加上兩端共５1根;現(xiàn)在改成每隔6０米安裝一根電線桿．求該題含植樹問題、相差關(guān)系兩組數(shù)量關(guān)系.解：①從甲地到乙地距離多少米?(米)②間隔距離變化后，甲乙兩地之間安裝多少根電線桿?（根)，（根)③還需要下多少根電線桿?（根)綜合算式：(根)3馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到50１張軍5分鐘看到５0１棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；只規(guī)定出這段路的長度就容易求出汽車速度．解:5分鐘汽車共走了:(米)，汽車每分鐘走：(米),汽車每小時走：（米)（千米）列綜合式：(千米）５丁丁和爸爸兩個人比賽跑樓梯,從一層開始比賽,丁丁到四層時，爸爸到三層,如此算來，丁丁到16層時,爸爸跑到了幾層？丁丁實(shí)際跑了三層的距離,爸爸跑了兩層的距離，到１6層需要跑15層的距離，所以丁丁跑了(個）三層的距離，爸爸同時跑了5個兩層的距離.所以爸爸跑到了（層).7有一個掛鐘,每小時敲一次鐘，幾點(diǎn)鐘就敲幾下,六點(diǎn)時，５秒鐘敲完，那么十二點(diǎn)時，幾秒鐘才干敲完?六點(diǎn)時敲6下，中間共有5個間隔,所以每個時間間隔是(秒），十二點(diǎn)要敲１２下,中間有11個時間間隔,所以十二點(diǎn)要用:(秒）才干敲完.８科學(xué)家進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，每隔５小時做一次記錄,做第12次記錄時，掛鐘時針恰好指向9,問做第一次記錄時，時針指向幾?我們先要弄清楚從第一次記錄到第十二次記錄中間通過的時間是多少.第1次到第1２次有11個間隔：（小時)．然后我們要知道５5小時,時針發(fā)生了如何的變化.時針每過12小時就會轉(zhuǎn)一圈回到本來的狀態(tài),所以時針轉(zhuǎn)了4圈以后，又通過了7個小時.(小時）而這時時針指向9點(diǎn)，所以本來時針指向２點(diǎn).９一根木料在２４秒內(nèi)被鋸成了４段，用同樣的速度鋸成5段,需要多少秒？鋸的次數(shù)總比鋸的段數(shù)少1.因此,在２４秒內(nèi)鋸了4段，實(shí)際只鋸了3次,這樣我們就可以求出鋸一次所用的時間了，又由于用同樣的速度鋸成5段；事實(shí)上鋸了４次,這樣鋸成5段所用的時間就可以求出來了.所以鋸一次所用的時間：（秒),鋸5段所用的時間:（秒）.1１一群小猴排成整齊的隊(duì)伍做操，長頸鹿站在隊(duì)伍旁邊，一下子看到了他的好朋友金絲猴．長頸鹿數(shù)了數(shù)，金絲猴的左邊有只猴，右邊也有只猴，前面有只猴，后面也有只猴．小朋友,你能算出有多少只猴子在做操嗎？一共有多少行？列式：（行)一共有多少列？列式：(列）12一次檢閱,接受檢閱的一列彩車車隊(duì)共輛，每輛車長米，前后每輛車相隔米。這列車隊(duì)共排列了多長？假如車隊(duì)每秒行駛米,那么這列車隊(duì)要通過米長的檢閱場地，需要多少時間？車隊(duì)間隔共有(個)，每個間隔５米,所以，間隔的總長為（米)，而車身的總長為（米),故這列車隊(duì)的總長為(米)．由于車隊(duì)要行(米)，且每秒行2米，所以車隊(duì)通過檢閱場地需要，(秒)＝6分4０秒．1３有一路電車的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站，每隔５分鐘有一輛電車從甲站出發(fā)開往乙站，全程要1５分鐘.有一個人從乙站出發(fā)沿電車路線騎車前往甲站，他出發(fā)的時候，恰好有一輛電車到達(dá)乙站,在路上，他又碰到了10輛迎面開來的電車才到達(dá)甲站,這時候，恰好又有一輛車從甲站開出，問:他從乙站到甲站用了多少分鐘?這個人前后一共看見了12輛電車，每兩輛車的間隔是5分鐘,開出12輛電車共有（個）間隔,這樣可以計(jì)算出從第1輛電車開出到第１２輛電車開出所用的時間，共經(jīng)了（分鐘),由于他出發(fā)的時候,第1輛電車巳到達(dá)乙站,所以這個人從乙站到甲站用了(分鐘).植樹問題練習(xí)題一1一條公路的一旁連兩端在內(nèi)共植樹9１棵，每兩棵之間的距離是5米，求公路長是多少米?２從甲地到乙地每隔40米安裝一根電線桿，加上兩端共51根;現(xiàn)在改成每隔60米安裝一根電線桿.求3馬路的一邊每相隔９米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到50１4丁丁和爸爸兩個人比賽跑樓梯,從一層開始比賽,丁丁到四層時，爸爸到三層,如此算來，丁丁到16層時,爸爸跑到了幾層?5有一個掛鐘，每小時敲一次鐘，幾點(diǎn)鐘就敲幾下，六點(diǎn)時，５秒鐘敲完，那么十二點(diǎn)時，幾秒鐘才干敲完?6科學(xué)家進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn),每隔5小時做一次記錄，做第１２次記錄時,掛鐘時針恰好指向9,問做第一次記錄時,時針指向幾?7一根木料在2４秒內(nèi)被鋸成了4段，用同樣的速度鋸成5段，需要多少秒?8一群小猴排成整齊的隊(duì)伍做操,長頸鹿站在隊(duì)伍旁邊，一下子看到了他的好朋友金絲猴．長頸鹿數(shù)了數(shù),金絲猴的左邊有只猴，右邊也有只猴,前面有只猴,后面也有只猴．小朋友，你能算出有多少只猴子在做操嗎?9一次檢閱，接受檢閱的一列彩車車隊(duì)共輛,每輛車長米，前后每輛車相隔米。這列車隊(duì)共排列了多長？假如車隊(duì)每秒行駛米,那么這列車隊(duì)要通過米長的檢閱場地，需要多少時間?１０有一路電車的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站，每隔５分鐘有一輛電車從甲站出發(fā)開往乙站,全程要15分鐘．有一個人從乙站出發(fā)沿電車路線騎車前往甲站,他出發(fā)的時候，恰好有一輛電車到達(dá)乙站，在路上,他又碰到了10輛迎面開來的電車才到達(dá)甲站，這時候,恰好又有一輛車從甲站開出，問：他從乙站到甲站用了多少分鐘?板塊二、封閉的植樹問題（方陣)小強(qiáng)家附近的公園里有一個圓形池塘，它的周長1500是米,每隔3米由于圓形池塘是一個封閉的模型,所以我們直接運(yùn)用公式棵數(shù)=段數(shù)＝周長÷株距，從而有樹苗：１500÷3＝500(株).公園內(nèi)有一個圓形花壇,繞著它走一圈是120米.假如沿著這一圈每隔6米栽一棵丁香花，再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花，可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？兩株相鄰的丁香花之間的在圓周上栽樹時，由于開始栽的一棵與依次栽的最后一棵將會重合在一起,所以可栽的株數(shù)正好等于提成的段數(shù).由于每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽２株月季花，所以栽月季花的株數(shù)等于2乘以段數(shù)的積.規(guī)定兩株相鄰的丁香花之間的2株月季花相距多少米?需要懂得兩株相鄰的丁香花之間等距離地栽2株月季花,就是說這４株花之間有3段相等的距離.以6米為一段,圓形花壇一圈可分的段數(shù),即是栽丁香花的株數(shù):１20÷6=20(株）,栽月季花的株數(shù)是：2×20=40(株)，每段上丁香花和月季花的總株數(shù)是:2+2＝4（株),4株花栽在6米的距離中，有３段相等的距離,每兩株之間的距離是：6÷(4－1)=2(米).大雪后的一天，小明和爸爸共同步測一個圓形花圃的周長.他倆的起點(diǎn)和走的方向完全相同,小明的平均步長是５4厘米,爸爸的平均步長是72厘米，由于兩人的腳印有重合，并且他們走了一圈后都回到起點(diǎn)，這時雪地上只留下通過畫圖使學(xué)生明白從第一個重合點(diǎn)(起點(diǎn))到下一個重合點(diǎn)之間的距離是2１6厘米,，,從而知在兩個重合點(diǎn)之間，爸爸留下腳印3個,小明留下腳印4個,去掉一個重合的腳印，共留下腳印（個),由于從起點(diǎn)到最后雪地上共留下腳印60個,所以花圃的周長是（厘米).2０名運(yùn)動員，騎摩托車圍繞體育場的環(huán)形跑道頭尾相接作表演，每輛車長2米,前后兩輛車相距18米,這列車隊(duì)長多少米?假如每輛車的車速為每秒12米方法一：頭尾相接所以封閉型，有20個間隔，車隊(duì)長即為環(huán)形,跑道長:（米)，通過時:（秒）。方法二：2０名運(yùn)動員共有20輛摩托車,那么他們之間一共有1９個間隔，這個車隊(duì)的長由20輛車長加上１9個間隔組成．20輛車的長度是:(米)．１９個間隔的總長度為:(米).所以這個車隊(duì)的長度為:(米)(當(dāng)然這一問也可以這樣考慮：把一輛車跟一個間隔當(dāng)作一個整體,那么這個車隊(duì)長：(米)).第二問是一個行程問題，穿過主席臺事實(shí)上走的路程是主席臺長加上車隊(duì)的長度,所以車隊(duì)走的總路程為(米),又由于車隊(duì)的速度為每秒12米，所以用的時間為(秒).一個街心花園如右圖所示.它由四個大小相等的等邊三角形組成．已知從每個小三角形的頂點(diǎn)開始,到下一個頂點(diǎn)均勻栽有９棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花?整個花園中共栽多少棵花?大三角形三條邊上共栽花：（９×2-1－1）×3＝４8（棵），中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：(9-２）×3=2１（棵)，整個花壇共栽花：48＋21＝69(棵).正方形操場四周栽了一圈樹，四個角上都栽了樹，每兩棵樹相隔５米.甲、乙從一個角上同時出發(fā)，向不同的方向走去,甲的速度是乙的2倍,乙在拐了一個彎之后的第５棵樹與甲相遇(把角上的樹看作第一棵樹）.由于甲的速度是乙的兩倍，乙走了操場的一條邊,甲走了兩條邊，乙拐了一個彎之后走到第５棵樹，實(shí)際走了4個間隔，那么甲應(yīng)當(dāng)走了８個間隔，相遇的樹就是甲拐彎以后走的第9棵樹,所以這一邊有9+４=13(棵)樹.操場周邊的樹一共有（13-1)×4＝48（棵).15周叔叔家有一個長４0米，寬30米的長方形魚塘，他想沿塘每隔(米),（棵)．１6一個圓形花壇,周長是180米.每隔６①在圓形花壇上栽花，是封閉路線問題,其株數(shù)=段數(shù).②由于相鄰的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每6米之中共有3棵花，且月季花棵數(shù)是芍藥的2倍.解：共可栽芍藥花:(棵)共種月季花：（棵)兩種花共:(棵）兩棵花之間距離:（米)相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花,所以月季花的株距是2米或４米.17園林工人要在周長300米的圓形花壇邊等距離地栽上樹．他們先沿著花壇的邊每隔3米挖一個坑，當(dāng)挖完30個坑時，忽然接到告知：改為每隔這道題的關(guān)鍵就在之間每3米一個，已經(jīng)挖的坑,和后來改成５米挖一個坑，有多少個是反復(fù)不需要挖的，那么一步一步分析如下:(１)從第1個坑到第3０個坑，共有多長?(米)(2)改為“每5米栽一棵樹”,有多少坑仍然有用？(個)(3)改為“每5米栽一棵樹”,一共應(yīng)挖多少個坑？(個）(4)還要挖多少個?(個)1８周叔叔家有一個長40米，寬3０米的長方形魚塘，他想沿塘每隔(米),（棵）.19一個圓形花壇,周長是18０米.每隔6①在圓形花壇上栽花,是封閉路線問題,其株數(shù)=段數(shù)．②由于相鄰的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每６米之中共有3棵花,且月季花棵數(shù)是芍藥的2倍.解：共可栽芍藥花:（棵)共種月季花:（棵)兩種花共：(棵)兩棵花之間距離:(米）相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花的株距是2米或4米．20園林工人要在周長300米的圓形花壇邊等距離地栽上樹．他們先沿著花壇的邊每隔3米挖一個坑，當(dāng)挖完30個坑時，忽然接到告知:改為每隔這道題的關(guān)鍵就在之間每３米一個,已經(jīng)挖的坑，和后來改成5米挖一個坑，有多少個是反復(fù)不需要挖的,那么一步一步分析如下：(1)從第1個坑到第30個坑，共有多長？(米)(2)改為“每5米栽一棵樹”，有多少坑仍然有用？(個)(3)改為“每5米栽一棵樹”，一共應(yīng)挖多少個坑？(個）(4)還要挖多少個？(個)板塊二、封閉的植樹問題(方陣)小強(qiáng)家附近的公園里有一個圓形池塘,它的周長１5０0是米，每隔3米由于圓形池塘是一個封閉的模型，所以我們直接運(yùn)用公式棵數(shù)=段數(shù)=周長÷株距，從而有樹苗:1500÷3=500(株).公園內(nèi)有一個圓形花壇,繞著它走一圈是120米．假如沿著這一圈每隔6米栽一棵丁香花，再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽２株月季花，可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株?兩株相鄰的丁香花之間的在圓周上栽樹時,由于開始栽的一棵與依次栽的最后一棵將會重合在一起,所以可栽的株數(shù)正好等于提成的段數(shù).由于每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花,所以栽月季花的株數(shù)等于２乘以段數(shù)的積．規(guī)定兩株相鄰的丁香花之間的２株月季花相距多少米?需要懂得兩株相鄰的丁香花之間等距離地栽2株月季花,就是說這4株花之間有3段相等的距離．以6米為一段,圓形花壇一圈可分的段數(shù),即是栽丁香花的株數(shù)：12０÷6＝２0(株)，栽月季花的株數(shù)是:2×２0=４0(株)，每段上丁香花和月季花的總株數(shù)是：２＋2＝4(株),４株花栽在6米的距離中，有3段相等的距離，每兩株之間的距離是:6÷(4-1）＝2(米).大雪后的一天，小明和爸爸共同步測一個圓形花圃的周長.他倆的起點(diǎn)和走的方向完全相同,小明的平均步長是54厘米，爸爸的平均步長是７２厘米,由于兩人的腳印有重合，并且他們走了一圈后都回到起點(diǎn),這時雪地上只留下通過畫圖使學(xué)生明白從第一個重合點(diǎn)（起點(diǎn))到下一個重合點(diǎn)之間的距離是216厘米,,，從而知在兩個重合點(diǎn)之間,爸爸留下腳印3個,小明留下腳印4個，去掉一個重合的腳印,共留下腳印(個）,由于從起點(diǎn)到最后雪地上共留下腳印6０個,所以花圃的周長是(厘米）.20名運(yùn)動員，騎摩托車圍繞體育場的環(huán)形跑道頭尾相接作表演，每輛車長2米，前后兩輛車相距18米,這列車隊(duì)長多少米?假如每輛車的車速為每秒1２米方法一：頭尾相接所以封閉型，有2０個間隔，車隊(duì)長即為環(huán)形,跑道長:（米）,通過時:(秒）。方法二：20名運(yùn)動員共有20輛摩托車，那么他們之間一共有19個間隔，這個車隊(duì)的長由2０輛車長加上19個間隔組成．２０輛車的長度是：(米)．１9個間隔的總長度為:（米）．所以這個車隊(duì)的長度為：(米)(當(dāng)然這一問也可以這樣考慮:把一輛車跟一個間隔當(dāng)作一個整體,那么這個車隊(duì)長:（米)）.第二問是一個行程問題,穿過主席臺事實(shí)上走的路程是主席臺長加上車隊(duì)的長度，所以車隊(duì)走的總路程為(米),又由于車隊(duì)的速度為每秒１２米,所以用的時間為（秒).一個街心花園如右圖所示．它由四個大小相等的等邊三角形組成．已知從每個小三角形的頂點(diǎn)開始,到下一個頂點(diǎn)均勻栽有９棵花．問大三角形邊上栽有多少棵花?整個花園中共栽多少棵花?大三角形三條邊上共栽花：（9×2－１-１）×3＝48(棵)，中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：(9－2）×3=2１(棵)，整個花壇共栽花:48＋21=69(棵)．正方形操場四周栽了一圈樹,四個角上都栽了樹,每兩棵樹相隔5米．甲、乙從一個角上同時出發(fā),向不同的方向走去,甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一個彎之后的第5棵樹與甲相遇(把角上的樹看作第一棵樹).由于甲的速度是乙的兩倍,乙走了操場的一條邊，甲走了兩條邊,乙拐了一個彎之后走到第5棵樹,實(shí)際走了４個間隔,那么甲應(yīng)當(dāng)走了８個間隔，相遇的樹就是甲拐彎以后走的第9棵樹，所以這一邊有9+４=13(棵）樹.操場周邊的樹一共有(13-１)×４＝４8(棵）.板塊三、方陣問題某校五年級學(xué)生排成一個方陣，最外一層的人數(shù)為60人．問方陣外層每邊有多少人?這個方陣共有五年級學(xué)生多少人?根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù),可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了.所以方陣最外層每邊人數(shù)：(人）,整個方陣共有學(xué)生人數(shù):（人).某社區(qū)要對一塊空地進(jìn)行綠化,把這些樹種成方陣的樣子.最外面一周有６0棵樹．問這個方陣外層每邊有多少棵樹?這塊空地一共種了多少棵樹？根據(jù)四周棵數(shù)和每邊棵數(shù)的關(guān)系:每邊棵數(shù)四周棵數(shù)，可以求出方陣最外層每邊棵數(shù).那么整個方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以解出．方陣最外層每邊棵數(shù)：（棵)整個方陣共有樹:(棵).新學(xué)期開始，手持鮮花的少先隊(duì)員在一輛彩車四周邊成了每邊兩層的方陣，最外面一層每邊人，彩車周邊的少先隊(duì)員有多少人?先讓學(xué)生自己思考，待大家都有結(jié)果后，讓學(xué)生思考一個問題：相鄰兩層差幾個人．外層人，內(nèi)外相差人(教師可舉例說明），內(nèi)層人，共人．明在一個正方形的棋盤里擺棋子，他先把最外層擺滿,用了個棋子，求最外層每邊有多少棋子?假如他要把整個棋盤擺滿，還需要多少棋子?有前一題基礎(chǔ),可讓學(xué)生自己思考解決．一方面根據(jù)“每邊的個數(shù)=總數(shù)÷”求出每邊的棋子數(shù):（個),根據(jù)"每向里一層每邊棋子數(shù)減少＂,求出最外面數(shù)第二層中每邊各有：(個）棋子,運(yùn)用求實(shí)心方陣總個數(shù)的方法就可以求出還需：（個)棋子.節(jié)日來臨，同學(xué)們用盆花在操場上擺了一個空心花壇，最外層的一層每邊擺了盆花，一共層,一共用去多少盆花？讓學(xué)生運(yùn)用上題思考結(jié)果加以解決．(法)不管是空心方陣還是實(shí)心方陣,每向里一層,每邊的花盆就少個，每層的花盆就少個,因此可以依次求出每層花盆的個數(shù)．最外層有花盆：（盆)，第二層有:（盆),第三層有：(盆），共有：(盆)．(法)將三層花盆提成四塊，形成四個相等的長方形.它們的長是個,寬是個，個，即每個長方形中涉及個花盆，再將結(jié)果乘以就得到總數(shù)是個,于是我們可以總結(jié)為:空心方陣中點(diǎn)的總個數(shù)＝(最外層每邊的個數(shù)-層數(shù))×層數(shù)×.（法）也可以將這種情況看作從一個大的實(shí)心方陣中取出一個小的實(shí)心方陣．在一次團(tuán)隊(duì)操表演中，有一個空心方陣最外層有人,最內(nèi)層有人，參與團(tuán)隊(duì)操表演的共多少人?根據(jù)最外層和最內(nèi)層人數(shù)，可以分別求出內(nèi)外層每邊的人數(shù),一個空心方陣，可以看做從一個最外層有人的實(shí)心方陣中,減去了一個小方陣.外層每邊人數(shù)：（人）.內(nèi)層每邊人數(shù)：(人）,空心方陣人數(shù)：（人)．曉曉愛好圍棋,他用棋子在棋盤上擺了一個二層空心方陣，外層每邊有1４個棋子，你知道他一共用了多少個棋子嗎?如圖所示,方陣每向里面一層,每邊的個數(shù)就減少2個．知道最外面一層每邊放14個棋子，就可以求出第二層每邊的個數(shù).知道各層每邊的個數(shù)，就可以求出總數(shù)．(個），（個)(個)，一共用了9６個棋子．晶晶用圍棋子擺成一個三層空心方陣,最外一層每邊有圍棋子１4個.晶晶擺這個方陣共用圍棋子多少個?方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個．知道最外面一層每邊放14個,就可以求第二層及第三層每邊個數(shù).知道各層每邊的個數(shù)，就可以求出各層總數(shù).最外邊一層棋子個數(shù)：（個),第二層棋子個數(shù)：(個),第三層棋子個數(shù):(個）.擺這個方陣共用棋子：(個）.還可以這樣想:中空方陣總個數(shù)＝(外層每邊個數(shù)一層數(shù)）×層數(shù)×４進(jìn)行計(jì)算,得(個)．二年級舞蹈隊(duì)為全校做健美操表演,組成一個正方形隊(duì)列，后來由于表演的需要，又增長一行一列,增長的人數(shù)正好是人，那么本來準(zhǔn)備參與健美操表演的有多少人?可先讓學(xué)生自己畫圖實(shí)踐，從３乘3的方陣變成４乘４的如何進(jìn)行，掌握畫法后再來思考這題.因增長的是一行一列,而行、列人數(shù)仍應(yīng)相等,但為什么增長的卻是人，因有人是既在他所在的行,又在他所在的列．若把它減掉,剩下人數(shù)恰是原兩行或兩列的人數(shù),則本來一行或一列的人數(shù)可求．參與健美操表演的人數(shù)可求．列式：(人)，(人)．四年級一班同學(xué)參與了廣播操比賽，排成每行人，每列人的方陣，問方陣中共有多少學(xué)生？假如去掉一行一列.還剩多少同學(xué)？可以根據(jù)“實(shí)心方陣總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)”得到行列的實(shí)心方陣人數(shù)為：（人),去掉一行一列后,還剩行列,也可通過同樣的方法得出總?cè)藬?shù)為:(人）.某部隊(duì)?wèi)?zhàn)士排成方陣行軍，另一支隊(duì)伍共人加入他們的方陣,正好使橫豎各增長一排，現(xiàn)共有多少戰(zhàn)士？后來的戰(zhàn)士加入方陣時,是在原方陣外側(cè)橫豎方向各增長一排,那么有一個戰(zhàn)士要站在這兩排的交界處，計(jì)算橫排豎排的人數(shù)時，對他進(jìn)行了反復(fù)計(jì)算，也就是說現(xiàn)在每一排實(shí)際人數(shù)是（人)，因此可以求出總?cè)藬?shù):(人）.學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演,排成了一個正方形隊(duì)列，假如去掉一行一列，要去掉人，問這個方陣共有多少人？由上題思緒，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行逆向思維.學(xué)生排成一正方形隊(duì)列表演,去掉一行一列,去掉了人，那我們就要思考每行去掉了幾個同學(xué)，由于是正方形隊(duì)列,所以每行每列人數(shù)同樣多,但在數(shù)的時候,站在角落的同學(xué)被數(shù)了兩個,那么現(xiàn)在求每行的人數(shù)時就要在里面多加一個．現(xiàn)在每行的人數(shù)是：(人),共（人）.學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，排成了一個正方形隊(duì)列,假如去掉一行一列,要去掉人,問這個方陣共有多少人?每行:（人）,總?cè)藬?shù)：(人）.名同學(xué)排成一個方陣,后來又減去一行一列，問減少了多少人?和前兩題比僅僅是數(shù)量上的增長，此時可帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)規(guī)律：去掉一行一列后要加上反復(fù)的那一個．名同學(xué)排成一個方陣,后來又減去一行一列，剩下的是行列的方陣，即剩下人，減少了人．軍訓(xùn)的學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，排成了一個行列的正方形隊(duì)列,假如去掉一行一列,要去掉多少人？一行一列各人，頂點(diǎn)處反復(fù).人，由于角上的一個同學(xué)被反復(fù)數(shù)了兩次，所以要把多算的一次減掉．校三年級學(xué)生排成一個方陣，最外一層的人數(shù)為人,問方陣外層每邊有多少人?這個方陣共有三年級學(xué)生多少人?引導(dǎo)學(xué)生找出與前四題區(qū)別，由于條件是方陣外層，所以有四個反復(fù)計(jì)算的人．（法)方陣外層每邊有：(人），共(人）．(法）方陣外層每邊有:（人）,共(人).三年級學(xué)生排成一個方陣進(jìn)行體操表演,最外一層的人數(shù)為人，問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有三年級學(xué)生多少人？每邊:（人),總?cè)藬?shù):(人）．育新小學(xué)召開秋季運(yùn)動會，準(zhǔn)備在正方形的操場周邊插上彩旗.假如4個角上都要插上一面彩旗，要使每邊有7面彩旗,那么一共要準(zhǔn)備多少面彩旗才行?心急的學(xué)生會很配合的說2８，此時可提醒他們想想,彩旗不夠,能不能少點(diǎn)?根據(jù)題目的規(guī)定畫出示意圖:我們把這些彩旗按照圖中所示的方式提成相等的4部分，可以看出每一部分都有面旗.（面)，一共準(zhǔn)備24面彩旗．通通用圍棋子擺成一個三層空心方陣,最外一層每邊有圍棋子1４個．通通擺這個方陣共用圍棋子多少個?方陣每向里面一層,每邊的個數(shù)就減少2個．知道最外面一層每邊放1４個,就可以求第二層及第三層每邊個數(shù)．知道各層每邊的個數(shù),就可以求出各層總數(shù).最外邊一層棋子個數(shù):（個），第二層棋子個數(shù)：（個),第三層棋子個數(shù):(個).擺這個方陣共用棋子：(個).由右圖還可以得出公式：中空方陣總個數(shù)每邊個數(shù)層數(shù)層數(shù)．得共用圍棋子（個）.個棋子擺成一個三層空心方陣,最內(nèi)層每邊有多少棋子？棋子一共三層,容易知道外層比中層多個，內(nèi)層比中層少個，因此中層的棋子數(shù)就是三層的平均數(shù)為(個),可以求出中層每邊的棋子數(shù)，向里一層，每邊棋子數(shù)又減少．中層總數(shù)：(個)．中層每邊個數(shù):（個),內(nèi)層每邊個數(shù)：(個).將一個每邊枚棋子的實(shí)心方陣變成一個四層的空心方陣，此空心方陣的最外層每邊有多少棋子?棋子總數(shù)為：(枚)，由于空心方陣總個數(shù)=(每邊個數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×,所以,每邊個數(shù)＝空心方陣總個數(shù)÷層數(shù)÷+層數(shù)，得出最外層每邊有枚棋子．有一群學(xué)生排成三層空心方陣,多人,如空心部分增長兩層，又少人，問有學(xué)生多少人?增長的兩層人數(shù)為：(人）,這兩層人數(shù)之差是人,因此最里層有(人),現(xiàn)在的方陣共層，那么最外層有(人)，知道最外層人數(shù)及層數(shù)就不難求出總?cè)藬?shù)是人．為了準(zhǔn)備學(xué)校的集體舞比賽,四年級的學(xué)生在排隊(duì)形．假如排成3層空心的方陣則多１０人,假如在中間空心的部分接著增長一層又少6人．問一共有多少個學(xué)生參與排練呢？在內(nèi)部增長一層,人數(shù)由多余１０人變?yōu)榉炊?人，所以這一層人數(shù)為人.⑴中間空心部分加一層，每邊有(人)⑵四層方陣有(人）⑶一共有學(xué)生(人)一隊(duì)?wèi)?zhàn)士排成三層空心方陣多余人,假如空心部分再加一層又少人，這隊(duì)?wèi)?zhàn)士共有多少人?假如他們改成實(shí)心方陣,每邊應(yīng)有多少人?把多余的人放在方陣內(nèi)部還少人,可見方陣內(nèi)部增長一層,需要人,因此向外三層的每層人數(shù)都可以求出.從內(nèi)向外每層人數(shù)依次是:第一層:(人),第二層:(人),第三層:(人),總?cè)藬?shù):(人），由于,所以排成實(shí)心方陣每邊有人．同學(xué)們用盆花排出一個兩層空心方陣，后來又決定在外面再增長一層成為三層方陣,還需多少盆花?對于兩層方陣，外層比內(nèi)層多盆,兩層共盆,運(yùn)用和差問題的解法，可以求出外層盆數(shù)是(盆）,從而得出需增長的盆數(shù)，(盆）.在一次運(yùn)動會開幕式上,有一大一小兩個方陣合并變換成一個行列的方陣,求本來兩個方陣各有多少人？根據(jù)時間多少和學(xué)生具體情況可考慮教給學(xué)生平方數(shù)的概念,并記住一些簡樸的平方數(shù).行列的方陣由人組成,本來的小方陣每行或每列人數(shù)都不會超過人,大方陣人數(shù)應(yīng)當(dāng)在之間，可取或，運(yùn)用枚舉法,可求出滿足條件的是:大方陣有人,小方陣有人．小華觀看團(tuán)隊(duì)操表演,他看到表演隊(duì)伍中的一個方陣變換成一個正三角形實(shí)心隊(duì)列,他估計(jì)隊(duì)伍中人數(shù)大約在至人之間,你能告訴他到底有多少人嗎？方陣總?cè)藬?shù)的特點(diǎn):它是兩個相同自然數(shù)的積,而三角形隊(duì)列總?cè)藬?shù)的特點(diǎn)是:總數(shù)是從開始若干個連續(xù)自然數(shù)的和，我們只要在的范圍內(nèi)找出同時滿足這兩個條件的數(shù)就可以得出總?cè)藬?shù)．由于隊(duì)伍可以排成方陣,在至人的范圍內(nèi)人數(shù)也許是人或人,又由于,所以總?cè)藬?shù)是人.將一個每邊枚棋子的實(shí)心方陣變成一個四層的空心方陣，此空心方陣的最外層每邊有多少棋子？由前面規(guī)律帶領(lǐng)學(xué)生逐步推導(dǎo)．棋子總數(shù)為:(枚),由于空心方陣總個數(shù)＝(每邊個數(shù)－層數(shù))×層數(shù)×，所以，每邊個數(shù)=空心方陣總個數(shù)÷層數(shù)÷＋層數(shù),得出最外層每邊有枚棋子.板塊四、幾何植樹問題今有1０盆花要在平地上擺成5行，每行都通過4盆花.請你給出一種設(shè)計(jì)方案，畫圖時用點(diǎn)表達(dá)花，用直線表達(dá)行．如下圖所示:今有9盆花要在平地上擺成１0行，每行都通過3盆花．請你給出一種設(shè)計(jì)方案,畫圖時用點(diǎn)表達(dá)花,用直線表達(dá)行.如下圖所示：今有１0盆花要在平地上擺成１0行,每行都通過3盆花．請你給出一種設(shè)計(jì)方案，畫圖時用點(diǎn)表達(dá)花，用直線表達(dá)行.如下圖所示:今有２０盆花要在平地上擺成18行,每行都通過4盆花.請你給出一種設(shè)計(jì)方案，畫圖時用點(diǎn)表達(dá)花,用直線表達(dá)行.如下圖所示:今有２0盆花要在平地上擺成２０行,每行都通過4盆花.請你給出一種設(shè)計(jì)方案,畫圖時用點(diǎn)表達(dá)花，用直線表達(dá)行.如下圖所示：板塊二、封閉的植樹問題(方陣)小強(qiáng)家附近的公園里有一個圓形池塘，它的周長1500是米,每隔3米由于圓形池塘是一個封閉的模型,所以我們直接運(yùn)用公式棵數(shù)=段數(shù)＝周長÷株距，從而有樹苗:１500÷3=500(株）.周叔叔家有一個長40米,寬３0米的長方形魚塘，他想沿塘每隔（米),（棵）.公園內(nèi)有一個圓形花壇,繞著它走一圈是120米.假如沿著這一圈每隔6米栽一棵丁香花,再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花,可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？兩株相鄰的丁香花之間的在圓周上栽樹時，由于開始栽的一棵與依次栽的最后一棵將會重合在一起，所以可栽的株數(shù)正好等于提成的段數(shù).由于每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽２株月季花,所以栽月季花的株數(shù)等于2乘以段數(shù)的積．規(guī)定兩株相鄰的丁香花之間的2株月季花相距多少米？需要懂得兩株相鄰的丁香花之間等距離地栽2株月季花,就是說這４株花之間有3段相等的距離．