第2章 測量誤差分析及處理-3

第2章．測量誤差分析及處理

2.1誤差的概念

2.2

粗大誤差分析2.3

隨機誤差分析

2.4

系統(tǒng)誤差分析2.5

測量不確定度2.6

最小二乘法處理2.3

隨機誤差分析隨機誤差及測量值服從統(tǒng)計學(xué)規(guī)律在測量中，隨機誤差是不可避免的。隨機誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動，電磁場的干擾，大地輕微振動等。隨機誤差反映了實際測量的精密度。多次測量，測量值和隨機誤差服從概率統(tǒng)計規(guī)律?？捎脭?shù)理統(tǒng)計的方法，處理測量數(shù)據(jù)，從而減少隨機誤差對測量結(jié)果的影響。2.3

隨機誤差分析(續(xù)）

數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機變量：

X為連續(xù)型隨機變量：

2.3.1.隨機誤差的數(shù)學(xué)期望和標準差2.3

隨機誤差分析(續(xù)）

剩余誤差（殘差）當進行有限次測量時，各次測得值與算術(shù)平均值之差定義為剩余誤差或殘差：

νi=xi－x

兩邊分別求和：

當n足夠大時，殘差的代數(shù)和等于零。當n→∞時，殘差即等于隨機誤差。2.3

隨機誤差分析(續(xù)）方差和標準偏差

方差定義為n→∞時測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計平均值，即

因為隨機誤差δi=xi-Ex，則方差定義為：

標準偏差定義為：

標準偏差反映了測量的精密度，標準偏差小表示精密度高，測得值集中；標準偏差大表示精密度低，測得值分散。2.3

隨機誤差分析(續(xù)）測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，則可認為這個隨機變量服從正態(tài)分布。為什么測量數(shù)據(jù)和隨機誤差大多接近正態(tài)分布？2.3.2測量誤差的正態(tài)分布2.3

隨機誤差分析(續(xù)）

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計特性隨機誤差的概率密度函數(shù)為：測量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：

隨機誤差的數(shù)學(xué)期望和方差為：同樣測量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望E(X)＝，方差D(X)＝2.3

隨機誤差分析(續(xù)）

正態(tài)分布時概率密度曲線

隨機誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因為它們的標準偏差相同，只是橫坐標相差隨機誤差具有：①對稱性②

單峰性③

有界性④抵償性

2.3

隨機誤差分析(續(xù)）

標準偏差意義標準偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的特征數(shù)。絕對值小的隨機誤差出現(xiàn)的概率大；相反，絕對值大的隨機誤差出現(xiàn)的概率小。超過一定界限的隨機誤差實際上幾乎不出現(xiàn)。大小相等符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相等。標準偏差越小，則正態(tài)分布曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中，精密度越高；標準偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散，精密度越低。2.3

隨機誤差分析(續(xù)）

測量誤差的非正態(tài)分布常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度盤回差、最小分辨力引起的誤差等；“四舍五入”的截尾誤差；當只能估計誤差在某一范圍內(nèi)，而不知其分布時，一般可假定均勻分布。

概率密度:均值:當時,標準差:

當

時，2.3

隨機誤差分析(續(xù)）

極限誤差△在進行大量等精度測量時，隨機誤差落在【-3σ，+3σ】區(qū)間的測得值的數(shù)目占測量總數(shù)目的99.7％。因此定義對于正態(tài)分布的隨機誤差，可以算出隨機誤差落在【-3σ，+3σ】區(qū)間的概率為：△=3σ極限誤差或最大誤差粗大誤差的處理————萊特準則2.3

隨機誤差分析(續(xù)）

測量結(jié)果的置信問題（1）置信概率與置信區(qū)間：置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信限：

k——置信系數(shù)（或置信因子）置信概率是圖中陰影部分面積2.3

隨機誤差分析(續(xù)）

正態(tài)分布的置信概率

當分布和k值確定之后，則置信概率可定

正態(tài)分布,當k=3時置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大2.3

隨機誤差分析(續(xù)）

非正態(tài)分布的置信因子

由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設(shè)其置信限為誤差極限，即誤差的置信區(qū)間為置信概率為100％。（P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布

有故:2.3

隨機誤差分析(續(xù)）

有限次測量的數(shù)學(xué)期望和標準偏差的估計值

求被測量的數(shù)字特征，理論上需無窮多次測量，但在實際測量中只能進行有限次測量，怎么辦？用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當則令n個可相同的測試數(shù)據(jù)xi(i=1.2…,n)

次數(shù)都計為1,當時，則（1）有限次測量的數(shù)學(xué)期望的估計值——算術(shù)平均值被測量X的數(shù)學(xué)期望，就是當測量次數(shù)時，各次測量值的算術(shù)平均值

2.3

隨機誤差分析(續(xù)）規(guī)定使用算術(shù)平均值為數(shù)學(xué)期望的估計值，并作為最后的測量結(jié)果。即：

算術(shù)平均值是數(shù)學(xué)期望的無偏估計值、一致估計值和最大似然估計值。有限次測量值的算術(shù)平均值比測量值更接近真值？

2.3

隨機誤差分析(續(xù)）

（2）算術(shù)平均值的標準偏差

故：算術(shù)平均值的標準偏差比總體或單次測量值的標準偏差小倍。原因是隨機誤差的抵償性。*算術(shù)平均值：2.3

隨機誤差分析(續(xù)）

（2）有限次測量數(shù)據(jù)的標準偏差的估計值

殘差：實驗標準偏差（標準偏差的估計值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標準偏差的估計值：2.3隨機誤差分析(續(xù)）

【例2.4.1】

用溫度計重復(fù)測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。解：①平均值

②用公式

計算各測量值殘差列于上表中③實驗偏差④標準偏差x=530.11.59±℃2.4

系統(tǒng)誤差的分析

2.4.1系統(tǒng)誤差的特征：

在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。

多次測量求平均不能減少系差。

2.4

系統(tǒng)誤差的分析

2.4.2系統(tǒng)誤差的判斷方法

（1）理論分析法：由于測量方法或測量原理引入的系差，不難通過對測量方法的定性、定量分析發(fā)現(xiàn)系差，甚至計算出系差。（2）校準和比對法：儀器定期進行校準或檢定并在檢定證書中給出修正值。采用多臺同型號儀器進行比對，觀察對比結(jié)果。（3）改變測量條件法系差常與測量條件有關(guān)。2.4

系統(tǒng)誤差的分析

2.4.2系統(tǒng)誤差的判斷方法

（4）剩余誤差觀察法適用于系統(tǒng)誤差比隨機誤差大的情況 將所測數(shù)據(jù)及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號的變化。存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差累進性系差2.4

系統(tǒng)誤差的分析（續(xù)）馬利科夫判據(jù)：若有累進性系統(tǒng)誤差，D值應(yīng)明顯異于零。 當n為偶數(shù)時，

當n為奇數(shù)時，阿貝－赫梅特判據(jù)：檢驗周期性系差的存在。（5）公式判斷法2.4

系統(tǒng)誤差的分析（續(xù)）

2.4.3

消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源

從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差①

要從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴格。②選用的儀器儀表類型正確，準確度滿足測量要求。③測量儀器定期檢定和校準，正確使用儀器。④注意周圍環(huán)境對測量的影響，特別是溫度對電子測量的影響較大。⑤盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應(yīng)提高測量人員業(yè)務(wù)技術(shù)水平和工作責(zé)任心，改進設(shè)備。６盡量采用數(shù)字顯示儀器代替指針式儀器。2.4

系統(tǒng)誤差的分析（續(xù)）

2.4.4

系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（1）零示法

①

廣泛用于阻抗測量、電壓測量、頻率測量及其他參數(shù)的測量中。②例：電位差計。（2）替代法①測量準確度主要取決于標準已知量的準確度及指示器靈敏度。②例：精密電阻電橋。

2.4

系統(tǒng)誤差的分析（續(xù)）

2.4.4

系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（3）補償法①常用于高頻阻抗、電壓、衰減量等測量中。②

例：諧振法測電容。（4）對照法在對稱的測量裝置中用來檢查其對稱性是否良好。從兩次測量結(jié)果的處理中，消弱或消除系差。例：對照法測電阻。2.4

系統(tǒng)誤差的分析（續(xù)）

2.4.4

系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（5）微差法①

允許標準量與被測量不完全抵消，而是相差一微小量。②

被測量相對誤差基本上等于標準量相對誤差。（6）交叉讀數(shù)法諧振頻率測量上述測試技術(shù)，主要用來消弱或消除恒定系差。2.4

系統(tǒng)誤差的分析（續(xù)）

2.4.5消除或消弱系統(tǒng)誤差的其他方法

利用修正值或修正因數(shù)加以消除隨機化處理智能儀器中系統(tǒng)誤差的消除①支流零值校準②自動校準系統(tǒng)誤差可忽略不計的準則是：

系統(tǒng)誤差或殘余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對值不超過測量結(jié)果擴展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。2.4.6測量結(jié)果的處理步驟

①對測量值進行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；②求出算術(shù)平均值③列出殘差，并驗證④按貝塞爾公式計算標準偏差的估計值⑤按萊特準則，或格拉布斯準則檢查和剔除粗大誤差；⑥判斷有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應(yīng)查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測量；⑦計算算術(shù)平均值的標準偏差；⑧寫出最后結(jié)果的表達式，即（單位）。2.4.6測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）【例】對某電壓進行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測量結(jié)果表達式。2.4.6測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）2.4.6測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）2.4.7系統(tǒng)誤差的合成問題：用間接法測量電阻消耗的功率時，需測量電阻R、端電壓V和電流I三個量中的兩個量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？2.4.7.1誤差的綜合2.4.7.1誤差的綜合（續(xù)）在實際應(yīng)用中，由于分項誤差符號不定而可同時取正負，有時就采用保守的辦法來估算誤差，即將式中各分項取絕對值后再相加該公式常用于在設(shè)計階段中對傳感器、儀器及系統(tǒng)等的誤差進行分析和估算，以采取減少誤差的相應(yīng)措施。但是，更嚴格和更準確地計算合成誤差的方法是測量不確定度理論中的合成不確定度評定。

1.和差函數(shù)的合成誤差設(shè)y=x1±x2y+Δy=(x1+Δx1)±(x2+Δx2)以上兩式相減得絕對誤差為

Δy=Δx1±Δx2(2.6-7)當Δx1、Δx2符號不能確定時，同式(2.6-4)一樣的考慮，取Δy=±(|Δx1|+|Δx2|)(2.6-8)2.4.7.2常用函數(shù)的合成誤差相對誤差為(2.6-9)或者寫成：(2.6-10)對于和函數(shù)，由式(2.6-8)得(2.6-11)對于差函數(shù)，有(2.6-12)由式(2.6-12)可見，對于差函數(shù)，當測量值x1、x2較接近時，可能造成較大的誤差。

2.積函數(shù)的合成誤差設(shè)y=x1·x2，由式(2.6-3)得絕對誤差為相對誤差為(2.6-13)若γx1、γx2都有正負號，則γy=±(|γx1|+|