第7章 梁的彎曲變形(機(jī)械類)

材料力學(xué)戴宏亮編著湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院工程力學(xué)系第七章

梁的彎曲變形第七章梁的彎曲變形§5.1梁彎曲變形的概念§5.2撓曲線微分方程和剛度條件§5.3積分法求彎曲變形本章小結(jié)§5.5簡單超靜定梁§5.6提高梁抗彎剛度的措施§5.4疊加法求彎曲變形7-1§7.1梁彎曲變形的概念撓曲線方程：由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計(jì)撓曲線撓度轉(zhuǎn)角撓度w：截面形心在y方向的位移。符號：與y軸正方向相同為正。轉(zhuǎn)角θ：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。符號：與y軸正方向相同為正。2.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移用

w

表示，與坐標(biāo)y

同向?yàn)檎?，反之為?fù)。3.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，用

表示逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。

1.撓曲線：梁變形后，軸線變成的光滑曲線撓曲線撓度轉(zhuǎn)角7-2§7.2

撓曲線微分方程和剛度條件1.梁的撓曲線近似微分方程純彎曲時(shí)，得到：MM橫力彎曲時(shí),忽略剪力對變形的影響由數(shù)學(xué)知識可知：略去高階小量，得所以

由彎矩的正負(fù)號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為：2.梁彎曲的剛度條件

工程中根據(jù)不同的需要，常限制梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角使其不超過某一規(guī)定數(shù)值。建筑鋼梁的許可撓度：機(jī)械傳動(dòng)軸的許可轉(zhuǎn)角：精密機(jī)床的許可轉(zhuǎn)角：撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再積分一次得撓度方程為：§7.3

積分法求彎曲變形

積分常數(shù)C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。位移邊界條件光滑連續(xù)條件

－彈簧變形例題

求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。解1）由梁的整體平衡分析可得：2）寫出x截面的彎矩方程3）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次再積分一次ABF4）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度ABF例題

求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC段：CB段：解3）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：4）由邊界條件確定積分常數(shù)代入求解，得位移邊界條件光滑連續(xù)條件5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段：CB段：6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度令

得，令得，積分法求梁的變形關(guān)鍵點(diǎn)：①分段列彎距方程②尋找邊界條件分段AB、BC、CD三段，六個(gè)積分常數(shù)邊界條件PDABC邊界條件：分段原則：集中力、集中力偶作用點(diǎn)，分布力的起、終點(diǎn)，梁的自然端點(diǎn)為分段點(diǎn)。邊界條件：支承條件、連續(xù)條件、光滑條件。有多少積分常數(shù)就有且僅有多少個(gè)邊界條件。ABC

根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承B處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。B1）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為：

解例題

已知鋼制圓軸左端受力為F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。軸承B處的許可轉(zhuǎn)角θ=0.5°。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑d。B2）由剛度條件確定軸的直徑：例題

已知：q=10kN/m，L=3m，試設(shè)計(jì)截面。hbABLq解：(1)按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)A截面為危險(xiǎn)截面(2)按剛度條件設(shè)計(jì)ABLqhb代入剛度條件可得：綜合考慮強(qiáng)度和剛度條件，?。?/p>

設(shè)梁上有n個(gè)載荷同時(shí)作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為，撓度為w，則有：

若梁上只有第i個(gè)載荷單獨(dú)作用，截面上彎矩為，轉(zhuǎn)角為，撓度為，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，§7.4

疊加法求彎曲變形1.

疊加法故由于梁的邊界條件不變，因此重要結(jié)論：

梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算彎曲變形的疊加原理。LAPBABLq撓度：3、8、48、5384轉(zhuǎn)角：

2、6、16、24APBL/2L/2CABqL/2L/2C例題：求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度。

BBqBqPP=+AAACaa解：a)載荷分解如圖b)查表c)疊加qBACla例題:

已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、a、EI均為已知。求C截面的撓度yC和轉(zhuǎn)角C。解：qBAClaθByByC例題

已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角C1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形

先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。解3）將結(jié)果疊加2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計(jì)算各自C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。解：分別考慮AB和BC梁段的情況。LaABCP(a)剛化BC例題求圖示荷載作用下，C截面的撓度。LaABCPLaABCPBaB2.逐段疊加法(c)疊加(b)剛化ABBCPLaABCPLaABCPBaB(a)剛化BC例題：

如圖，求C截面的撓度和轉(zhuǎn)角

ABC（1）逐段剛化法。分段，區(qū)分支承部分和附加部分。ABC（2）剛化BC段。靜力等效BC段的均布載荷。（3）剛化AB段。ABC（4）疊加1.超靜定梁簡述超靜定梁：支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁。多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束。超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目。2.超靜定梁的基本求解方法：確定超靜定次數(shù)——>將超靜定梁轉(zhuǎn)化為靜定梁——>寫出變形協(xié)調(diào)條件——>聯(lián)立求解平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程以及物理方程——>解出全部未知力——>進(jìn)行強(qiáng)度與剛度的計(jì)算。變協(xié)調(diào)方程：根據(jù)多余約束對位移的限制，建立各部分位

移之間的幾何方程。§7.5

簡單超靜定梁解：3個(gè)反力，2個(gè)平衡方程ACqFRBFRAFRCACqFRB例題

求圖示梁的約束反力。ABCllq相當(dāng)系統(tǒng)（或靜定基）如圖1.變形協(xié)調(diào)關(guān)系：2.物理關(guān)系：ACqFRBFRAFRC3.平衡關(guān)系：4.聯(lián)立三式：解例題

求梁的支反力，梁的抗彎剛度為EI。1）判定超靜定次數(shù)2）解除多余約束，轉(zhuǎn)化為靜定梁3）進(jìn)行變形比較，列出變形協(xié)調(diào)條件4）由物理關(guān)系，列出補(bǔ)充方程所以5）由整體平衡條件求其他約束反力例題

梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn)=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。從B處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個(gè)懸臂梁。變形協(xié)調(diào)方程為：FBMAFAwB1FBMCFCwB2物理關(guān)系解FBFBMAFAMCFCwB1wB2代入得補(bǔ)充方程：確定A端約束力FBF′BMAFAMCFCwB1wB2確定B端約束力MAFAMCFCA、B端約束力已求出最后作梁的剪力圖和彎矩圖§7.6

提高梁抗彎剛度的措施材料——梁的位移與材料的彈性模量

E

成反比；截面——梁的位移與截面的慣性矩

I

成反比；跨度——梁的位移與跨度

l

的

n次冪LAPB1選擇合理的截面形狀§7.6

提高梁抗彎剛度的措施2合理選擇材料影響梁強(qiáng)度的材料性能是極限應(yīng)力

σu；影響梁剛度的材料性能是彈性模量E。鋼材(或各種鋁合金)的極限應(yīng)力雖然差別很大，但它們的彈性模量十分接近。強(qiáng)度極限σb彈性模量E低碳鋼Q235400MPa200GPa合金鋼30鉻錳硅1100MPa210GPa3梁的合理加強(qiáng)超靜定加強(qiáng)4合理安排梁的約束與加載方式改變支座