第8章 信道編碼

信息論與編碼理論

第8章信道編碼8.1信道編碼的基本概念

8.1.1編譯碼規(guī)則、檢糾錯(cuò)能力信源編碼信道編碼目的壓縮，通過去除信源冗余實(shí)現(xiàn)糾錯(cuò)，通過引入冗余實(shí)現(xiàn)主要指標(biāo)平均碼長平均錯(cuò)誤譯碼概率影響主要指標(biāo)的因素編碼方法編碼方法、譯碼方法編譯碼之間的關(guān)系一個(gè)編碼方法對(duì)應(yīng)一個(gè)譯碼方法，譯碼是編碼的逆過程一個(gè)編碼方法可能對(duì)應(yīng)多個(gè)譯碼方法，在這多個(gè)譯碼方法中有一個(gè)能使平均錯(cuò)誤譯碼概率最小例子例8-1：奇偶校驗(yàn)碼具有檢錯(cuò)能力例8-2：要傳送A和B兩個(gè)消息例8-2-1：Ａ-0、B-1此時(shí)沒有冗余當(dāng)接收到010011時(shí)譯碼為ABAABB無法發(fā)現(xiàn)接收到的字符串中是否有錯(cuò)誤例8-2續(xù)例8-2-2：Ａ-00、B-11此時(shí)有1位冗余，稱為監(jiān)督位（監(jiān)督元、校驗(yàn)元）當(dāng)接收到010011時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)無法譯碼（01）具有檢錯(cuò)能力“01”和“10”稱為禁用碼字，而“00”和“11”稱為許用碼字例8-2-3：Ａ-000、B-111此時(shí)有2位冗余當(dāng)接收到010011時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了禁用碼子（010、011）具有檢錯(cuò)能力無論000010，還是111010，均可判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤因此可以檢2位錯(cuò)如果按照“大數(shù)法則”譯碼則譯碼結(jié)果為AB具有糾錯(cuò)能力如果000010，可正確譯碼為A；如果111010，不能正確譯碼，即該錯(cuò)誤不能被正確糾正過來因此只能糾1位錯(cuò)8.1.2平均錯(cuò)誤譯碼概率例：二進(jìn)制對(duì)稱信道傳遞矩陣，先不考慮編碼如果譯碼規(guī)則為00、11，則0和1被正確譯碼的概率均為1/4，即系統(tǒng)的平均正確譯碼概率為1/40和1被錯(cuò)誤譯碼的概率均為3/4，即系統(tǒng)的平均錯(cuò)誤譯碼概率為3/4如果譯碼規(guī)則為01、10，則0和1被正確譯碼的概率均為3/4，即系統(tǒng)的平均正確譯碼概率為3/40和1被錯(cuò)誤譯碼的概率均為1/4，即系統(tǒng)的平均錯(cuò)誤譯碼概率為1/4由此可見，譯碼規(guī)則的設(shè)計(jì)也是非常重要的平均錯(cuò)誤譯碼概率Pe為錯(cuò)誤譯碼概率的均值Pe是衡量譯碼方法好壞的一個(gè)重要指標(biāo)，所選擇的譯碼規(guī)則應(yīng)該使Pe盡可能小。Pe與編碼規(guī)則有關(guān)例

信源符號(hào)等概分布，信道矩陣為如果不經(jīng)過編碼直接傳輸，譯碼規(guī)則為00、11則平均錯(cuò)誤譯碼概率為0.01如果引入冗余，將“0”編碼為“000”，“1”編碼為“111”，譯碼規(guī)則為000,001,010,1000、111,110,101,0111則平均錯(cuò)誤譯碼概率為8.2譯碼規(guī)則定義8-2選擇譯碼函數(shù)F(y)=x*，使之滿足p(y|x*)p(x*)>=p(y|xi)p(xi)則稱為極大似然譯碼規(guī)則。信道矩陣，輸入等概則極大似然譯碼8.3信道編碼定理定理8-1有噪信道編碼定理（香農(nóng)第二定理）對(duì)于一個(gè)給定的離散無記憶信道，信道容量為C，如果信息傳輸率R<C，只要碼長足夠長，則一定存在一種編碼方法，使譯碼的錯(cuò)誤概率隨著碼長的增加，按指數(shù)下降到任意小這就是說，可以通過編碼（增加碼長，即引入更多的冗余），使通信過程實(shí)際上不發(fā)生錯(cuò)誤，或者使錯(cuò)誤控制在允許范圍之內(nèi)這一定理為通信差錯(cuò)控制奠定了理論基礎(chǔ)8.4線性分組碼

8.4.1基本概念分組線性：校驗(yàn)元與信息元之間是線性關(guān)系稱為(n,k)線性分組碼(n,k)線性碼的每個(gè)碼字C可以表示為C=(cn-1,cn-2,…,c1,c0)，其中前k位是信息位線性分組碼的例(7,3)線性分組碼碼字C=(c6,c5,c4,c3,c2,c1,c0)，其中c6、c5、c4為信息元，c3、c2、c1、c0為監(jiān)督元，每個(gè)碼元取值為“0”或“1”編碼規(guī)則（監(jiān)督方程、校驗(yàn)方程）c3=c6+c4c2=c6+c5+c4c1=c6+c5c0=c5+c4

8.4.2線性分組碼的性質(zhì)設(shè)二元線性分組碼CI

，若X和Y為其中的任意兩個(gè)碼字，則X+Y也是CI中的一個(gè)碼字。封閉性：線性碼任意兩個(gè)碼字之和仍是一個(gè)碼字。一定包含全0碼字8.4.3兩個(gè)重要參數(shù)編碼效率：R=k/n，衡量有效性最小漢明距離，衡量抗干擾能力用(n,k,d)表示距離為d，碼率為R=k/n的線性分組碼糾錯(cuò)碼的基本任務(wù)之一就是構(gòu)造出R一定且dmin盡可能大的碼，或dmin一定且R盡可能大的碼碼的重量和碼的距離漢明重量：在信道編碼中，定義碼字中非零碼元的數(shù)目為碼字的漢明（Hamming）重量，簡稱碼重“010”碼字的碼重為1“011”碼字的碼重為2最小漢明重量：在非零碼字中，重量最小者稱為最小漢明重量漢明距離漢明距離：碼字x和y之間，對(duì)應(yīng)位取值不同的個(gè)數(shù)，簡稱碼距，用d(x,y)表示。例如：x=(101)，y=(111)則d(x,y)=1漢明距離有以下三個(gè)性質(zhì)：(1)對(duì)稱性：d(C1,C2)＝d(C2,C1)(2)非負(fù)性：d(C1,C2)≥0(3)三角不等式：d(C1,C2)≤d(C1,C3)＋d(C3,C2)最小漢明距離：(n,k)分組碼中任意兩個(gè)碼字之間漢明距離的最小值，用dmin表示最小漢明距離與最小漢明重量的關(guān)系線性分組碼的最小距離等于碼中碼字的最小重量。證明：用(X)表示碼X的重量因?yàn)閐min=min{d(X,Y)|XY}=min{(X+Y)|XY}而X+Y也是碼子所以dmin=min{(X)|X0}碼的檢錯(cuò)及糾錯(cuò)能力檢測e個(gè)錯(cuò)碼，則要求最小碼距：dmin≥e+1糾正t個(gè)錯(cuò)碼，則要求最小碼距為：dmin≥2t+1糾正t個(gè)錯(cuò)碼，同時(shí)能檢測e(e>t)個(gè)錯(cuò)碼，則要求最小碼距為dmin≥e+t+18.4.4生成矩陣和監(jiān)督矩陣接前例即設(shè)C=(c6,c5,c4,c3,c2,c1,c0)，M=(c6,c5,c4)，即C是碼字，M是信息，則編碼規(guī)則可以表示為即C=MG，其中稱為生成矩陣c3=c6+c4c2=c6+c5+c4c1=c6+c5c0=c5+c4

c6=c6c5=c5c4=c4c3=c6+c4c2=c6+c5+c4c1=c6+c5c0=c5+c4

生成矩陣在(n,k)線性分組碼中,每個(gè)碼字C都可以表示為C＝MG則G是該(n,k)線性分組碼的生成矩陣，即生成矩陣G建立了消息與碼矢間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，它起著編碼器的變換作用生成矩陣的每一行都是一個(gè)碼子生成矩陣不惟一不同的生成矩陣可能生成相同的碼字空間這兩個(gè)碼的檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力一樣但是G2是系統(tǒng)碼，G1是非系統(tǒng)碼系統(tǒng)碼的編譯比較簡單，而性能與非系統(tǒng)碼一樣，因此系統(tǒng)碼得到了廣泛的應(yīng)用和研究系統(tǒng)碼的生成矩陣可以表示為G＝[IkP]Ik---k×k階單位方陣監(jiān)督矩陣在線性分組碼(n,k)中，如果矩陣H使得對(duì)任意碼子C都有下式成立則H稱為(n,k)線性碼的一致監(jiān)督矩陣(或校驗(yàn)矩陣)其中監(jiān)督矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)H各行實(shí)行初等變換，將后r列化為單位子陣:H＝[QIr]這種形式的H稱為監(jiān)督矩陣H的標(biāo)準(zhǔn)形式例：(7,3)分組碼，監(jiān)督矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式為生成矩陣與監(jiān)督矩陣的關(guān)系一般關(guān)系：HGT＝0T

或GHT＝0例系統(tǒng)碼的生成矩陣與監(jiān)督矩陣標(biāo)準(zhǔn)形之間的關(guān)系（G=[IkP]、H=[QIr]）：P＝QT

或Q=PT例8.4.5對(duì)偶碼對(duì)一個(gè)(n,k)線性碼CI，由于HGT＝0T，如果以G作監(jiān)督矩陣，而以H作生成矩陣，可構(gòu)造另一個(gè)碼CJCJ是一個(gè)(n,n-k)線性碼，稱為CI的對(duì)偶碼例：(7,3)碼的生成矩陣和監(jiān)督矩陣為則將兩個(gè)矩陣的作用對(duì)換，得到對(duì)偶碼(7,4)碼的生成矩陣和監(jiān)督矩陣為經(jīng)過變換后為(7,3)碼和(7,4)碼6.3.3伴隨式及錯(cuò)誤檢測伴隨式（監(jiān)督子，校驗(yàn)子）對(duì)接收碼字R，用監(jiān)督矩陣H來檢驗(yàn)R是否滿足監(jiān)督方程，即HRT＝0T是否成立若HRT＝0T成立，則認(rèn)為R是一個(gè)碼字，否則判為碼字在傳輸中發(fā)生了錯(cuò)誤把S＝RHT或ST＝HRT，稱為接收碼字R的伴隨式(或監(jiān)督子，或校驗(yàn)子)伴隨式的錯(cuò)誤圖樣表示設(shè)發(fā)送碼字C＝(cn-1，cn-2，…，c0)，而接收到的碼子為R＝(rn-1,rn-2,…,r0)，則定義E＝(en－1，en－2，…，e0)=R-C，為信道的錯(cuò)誤圖樣

若ei＝0，表示第i位無錯(cuò)，若ei＝1，則表示第i位有錯(cuò)則此時(shí)伴隨式為ST＝HRT＝H(C＋E)T＝HCT+HET＝HET＝h1en－1＋h2en－2＋…+hne0，這叫做伴隨式的錯(cuò)誤圖樣表示由此可以得出結(jié)論伴隨式僅與錯(cuò)誤圖樣有關(guān)，而與發(fā)送的具體碼字無關(guān)，即伴隨式僅由錯(cuò)誤圖樣決定伴隨式是錯(cuò)誤的判別式：若S＝0，則判沒有出錯(cuò)，接收字是一個(gè)碼字，若S≠0，則判有錯(cuò)二元碼伴隨式是H陣中與錯(cuò)誤碼元對(duì)應(yīng)列之和伴隨式譯碼的基本過程例設(shè)(7，3)碼的監(jiān)督矩陣為，可糾1位錯(cuò)發(fā)送碼字C＝(1010011)接收到的碼子R＝(1010011)接收碼字R的伴隨式為譯碼器判接收字無錯(cuò)，即傳輸中沒有發(fā)生錯(cuò)誤接收到的碼子R＝(1110011)接收碼字R的伴隨式為ST≠0，譯碼器判為有錯(cuò)(7，3)碼是糾單個(gè)錯(cuò)誤的碼，且ST等于H的第二列，因此判定接收碼字R的第二位是錯(cuò)的，因此譯碼為(1010011)由于接收字中錯(cuò)誤碼元數(shù)與碼的糾錯(cuò)能力相符，所以譯碼正確伴隨式例（續(xù)）接收碼字R＝(0011011)碼元錯(cuò)誤多于1個(gè)其伴隨式為ST不等于0，但與H陣的任何一列都不相同，無法判定錯(cuò)誤出在哪些位上，即此時(shí)只能發(fā)現(xiàn)有錯(cuò)伴隨式例2(15,7)碼的生成矩陣和監(jiān)督矩陣分別為該碼可以糾正2位錯(cuò)發(fā)送碼字C＝(101001100101110)接收碼字R=(111101100101110)ST不等于0，H陣的第2、4列的和相同，因此錯(cuò)誤出現(xiàn)在第2、4位上，碼字可以糾正為(101001100101110)8.4.7漢明碼漢明碼是1950年由漢明提出的一種能糾正單個(gè)錯(cuò)誤的線性分組碼它不僅性能好而且編譯碼電路非常簡單，易于工程實(shí)現(xiàn)，因此是工程中常用的一種糾錯(cuò)碼二元漢明碼的參數(shù)n，k和d分別為碼長：n=2r-1信息位數(shù)：k=2r-r-1監(jiān)督位數(shù)：r=n-k最小碼距：dmin=3由于dmin=3，因此能糾正1個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤或檢測2個(gè)錯(cuò)誤漢明碼的構(gòu)造漢明碼的監(jiān)督矩陣H的列為所有非零的r維向量組成，所以一旦r給定，就可構(gòu)造出具體的(n，k)漢明碼例：構(gòu)造一個(gè)二元的（7,4,3）漢明碼由于r=7-4=3因此H中共有23-1=7列將該監(jiān)督矩陣進(jìn)行行列交換，得到監(jiān)督矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式H＝[QIr]這種行列交換，對(duì)碼的性能沒有影響。此時(shí)得到的漢明碼為系統(tǒng)漢明碼。8.5循環(huán)碼循環(huán)碼是一類最主要、最有用的線性分組碼1957年普朗格(Prange)首先開始研究循環(huán)碼循環(huán)碼具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，在理論和實(shí)踐中都是十分重要的8.5.1循環(huán)碼的基本概念設(shè)C是一個(gè)(n,k)線性碼如果C中的任意一個(gè)碼字經(jīng)任意循環(huán)移位之后仍然是C中的一個(gè)碼字，那么就稱此碼是一個(gè)循環(huán)碼循環(huán)左移與循環(huán)右移是等價(jià)的循環(huán)左移i位等于循環(huán)右移n-i位因此可以默認(rèn)循環(huán)移位為循環(huán)左移碼字C=(cn－1,cn－2,…,c1,c0)循環(huán)移位i位之后為C(i)＝(cn－i－1,cn－i－2,…,c0,cn－1,…,cn－i＋1,cn－i)循環(huán)碼例8.5.2循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式和監(jiān)督多項(xiàng)式碼字的多項(xiàng)式設(shè)碼字C=(cn－1,cn－2,…,c1,c0)，用各個(gè)分量作為系數(shù)，可以寫出一個(gè)多項(xiàng)式C(x)=cn-1xn－1＋cn-2xn－2＋…＋c1x＋c0則C(x)就是相應(yīng)碼字的多項(xiàng)式碼字C與多項(xiàng)式C(x)是一一對(duì)應(yīng)的碼字循環(huán)移位之后，碼字多項(xiàng)式的變化：C1的多項(xiàng)式C1(x)=x5+x4+x3+xC2的多項(xiàng)式C2(x)=x6+x5+x4+x2C3的多項(xiàng)式C3(x)=x6+x5+x3+1三者的關(guān)系為C2(x)=xC1(x)=C1(1)(x)，C3(x)=x2C1(x)mod(x7+1)=C1(2)(x)這表明C(i)C(i)(x)C(i)(x)≡xiC(x)mod(xn＋1)左移循環(huán)循環(huán)碼的多項(xiàng)式舉例(7，3)循環(huán)碼可由任一個(gè)碼字，比如0011101經(jīng)過循環(huán)移位，得到其他6個(gè)非0碼字(7，3)循環(huán)碼也可由碼多項(xiàng)式x4+x3＋x2＋1，乘以xi，再模x7＋1得到其他6個(gè)非0碼多項(xiàng)式生成多項(xiàng)式循環(huán)碼可由一個(gè)非零碼字經(jīng)過循環(huán)移位得到其他非0碼字因此在(n，k)循環(huán)碼的2k個(gè)碼多項(xiàng)式中，只要給出一個(gè)就可以推得其它選擇其中前k-1位皆為0的碼多項(xiàng)式g(x)(次數(shù)r＝n-k)，這個(gè)多項(xiàng)式叫做(n，k)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g(x)＝gn－kxn－k＋gn－k－1xn－k－1＋…＋g1x＋g0生成多項(xiàng)式的構(gòu)造分解xn+1，其中次數(shù)為n-k的因式就是生成多項(xiàng)式例（7,3）循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式x7+1=(x+1)(x3+x2+1)(x3+x+1)因此生成多項(xiàng)式為：g(x)=(x+1)(x3+x2+1)=x4+x2+x+1或者g(x)=(x+1)(x3+x+1)=x4+x3+x2+1監(jiān)督多項(xiàng)式如果g(x)為(n，k)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式，則必為xn＋1的因式，因此xn＋1＝h(x)·g(x)如果多項(xiàng)式h(x)滿足xn＋1＝h(x)·g(x)，且hk＝1,h0＝１，則稱h(x)為(n，k)循環(huán)碼的監(jiān)督多項(xiàng)式h(x)＝hkxk＋hk－１xk－１＋…＋h1x＋h0對(duì)偶碼以n-k次多項(xiàng)式g(x)為生成多項(xiàng)式，則生成一個(gè)(n，k)循環(huán)碼以h(x)為生成多項(xiàng)式，則生成(n，n-k)循環(huán)碼這兩個(gè)循環(huán)碼互為對(duì)偶碼生成矩陣(n,k)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g(x)經(jīng)k-1次循環(huán)移位，共得到k個(gè)碼多項(xiàng)式：

g(x)，xg(x)，…，xk－1g(x)這k個(gè)碼多項(xiàng)式的系數(shù)可作為生成矩陣G(x)的k行，即生成矩陣舉例設(shè)(7,4)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g(x)＝x3＋x＋1，求其生成矩陣G及生成的碼字監(jiān)督矩陣(n，k)循環(huán)碼的監(jiān)督多項(xiàng)式為h(x)＝hkxk＋hk－１xk－１＋…＋h1x＋h0則(n，k)循環(huán)碼的監(jiān)督矩陣為循環(huán)碼的監(jiān)督矩陣舉例(7，3)碼：x7＋1＝(x3＋x＋1)(x4＋x2＋x＋1)4次多項(xiàng)式為生成多項(xiàng)式：g(x)＝x4＋x2＋x＋1＝g4x4＋g3x3＋g2x2＋g1x＋g03次多項(xiàng)式則是監(jiān)督多項(xiàng)式：h(x)＝x3＋x＋1＝h3x3＋h2x2＋h1x＋h0則生成矩陣和監(jiān)督矩陣分別為8.5.3循環(huán)碼的譯碼循環(huán)碼的譯碼包括三個(gè)步驟計(jì)算伴隨式求伴隨式對(duì)應(yīng)的錯(cuò)誤圖樣用錯(cuò)誤圖樣糾錯(cuò)（譯碼）相比于一般線形分組碼，循環(huán)碼的譯碼更加簡單易行伴隨式一般線性分組碼的伴隨式（矩陣形式）：S=RHT或ST=HRT這對(duì)循環(huán)碼也是適用的循環(huán)碼伴隨式的特殊求法（多項(xiàng)式形式）(P157)S(x)≡R(x)modg(x)即循環(huán)碼的伴隨式是接收多項(xiàng)式R(x)除以g(x)的余式循環(huán)碼譯碼例設(shè)(7,4)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g(x)＝x3＋x＋1，一個(gè)碼字為0001011，若接收到的碼字為1001011，則R(x)=x6+x3+x+1S(x)≡R(x)modg(x)=x2+1，即S=[101]T而h(x)=x4+x2+x+1，即因此碼字的第1位出錯(cuò)，譯碼為0001011，正確譯碼8.5.4BCH碼BCH碼是迄今為止所發(fā)現(xiàn)的一類性能較優(yōu)的碼是糾隨機(jī)錯(cuò)誤的循環(huán)碼BCH碼的糾錯(cuò)能力很強(qiáng)，且構(gòu)造方便，對(duì)它的分析研究也很透徹BCH的歷史1959年霍昆格姆(Hocgenghem)和1960年博斯(Bose)及查德胡里(Chaudhuri)分別提出的糾正多個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤的循環(huán)碼，稱為BCH碼1960年彼得森(Pelerson)找到了二元BCH碼的第一個(gè)有效算法，后經(jīng)多人的推廣和改進(jìn)1967年由伯利坎普(Berlekamp)提出了BCH碼譯碼的迭代算法，從而將BCH碼由理論研究推向?qū)嶋H應(yīng)用階段，使它成為應(yīng)用廣泛而有效的一類線性碼BCH碼的基本參數(shù)對(duì)任何正整數(shù)m(3)和t(<2m-1)，存在一個(gè)二元BCH碼，具有下面的參數(shù)碼長：n=2m-1一致校驗(yàn)位的數(shù)目：n-kmt最小碼距：dmin2t+1能糾正n=2m-1個(gè)碼元中任意不超過t個(gè)錯(cuò)誤即給定符合條件m3、t<2m-1的m和t之后，總能設(shè)計(jì)出一個(gè)二元BCH，滿足碼長為2m-1，并能糾正t個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤。BCH碼的定義g(x)是一個(gè)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式，如果g(x)=0的根中包括2t個(gè)連續(xù)根,2,3,…,2t，則由g(x)生成的循環(huán)碼叫做BCH碼。此時(shí)g(x)=(x-)(x-2)…(x-2t)=0如何構(gòu)造出滿足該條件的生成多項(xiàng)式g(x)是比較困難的，有興趣的同學(xué)可以自學(xué)部分常用BCH碼的生成多項(xiàng)式nktg(x)（八進(jìn)制）7411315111231572721155324673126145312123551311631076573111554233253167313365047312617563571103如果信息元為1101，則對(duì)應(yīng)的碼字為1101001如果接收到的碼字為1101000，則伴隨式為001，是監(jiān)督矩陣的最后一列，則譯碼結(jié)果為11010018.5.5RS碼里德-索羅蒙（Reed-Solomon）碼，簡稱RS碼RS碼是q元BCH碼編碼方式類似RS碼是以數(shù)據(jù)塊進(jìn)行編碼例如如果q=4，數(shù)據(jù)塊的長度就是2如果q=8，數(shù)據(jù)塊的長度就是3RS碼即可以糾隨機(jī)錯(cuò)誤，又可以糾突發(fā)錯(cuò)誤8.6卷積碼1955年埃里亞斯(Elias)最早提出卷積碼的概念卷積碼(又稱連環(huán)碼)指的是在任意給定時(shí)刻，編碼器輸出的

n0個(gè)碼元中，每一個(gè)碼元不僅和此時(shí)刻輸入的k0個(gè)信息元有關(guān)，還與前面連續(xù)m0個(gè)時(shí)刻輸入的信息元有關(guān)，可以用（n0,k0,m0）表示典型的卷積碼一般選較小的n0和k0(k0<n0)，但存儲(chǔ)器數(shù)m0則取較大的值(m0<10)卷積碼的編碼效率為R＝k0/n0在同樣的編碼效率R下，卷積碼的性能優(yōu)于分組碼，至少不低于分組碼但是卷積碼不像分組碼有嚴(yán)格的代數(shù)結(jié)構(gòu)，至今沒有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)手段將糾錯(cuò)能力與碼的結(jié)構(gòu)十分有規(guī)律的聯(lián)系起來。8.6.2卷積碼的編碼設(shè)卷積碼編碼器輸入碼序列為U=[u0(1)u0(2)…u0(k0)u1(1)u1(2)…u1(k0)…us(1)us(2)…us(k0)…]編碼器輸出碼序列為C=[c0(1)c0(2)…c0(n0)c1(1)c1(2)…c1(n0)…cs(1)cs(2)…cs(n0)…]則非系統(tǒng)碼的編碼為系統(tǒng)碼的編碼為即前k0*k0個(gè)其中g(shù)(i,j)=[g0(i,j)g1(i,j)…gm0(i,j)]是卷積碼的生成序列，共有k0*n0個(gè)生成序列，每個(gè)序列的長度為m0+1比特，它的作用與線性分組碼中的生成矩陣類似，表明如何由信息元構(gòu)成校驗(yàn)元。卷積碼編碼例(3,1,2)系統(tǒng)卷積碼則n0=3，k0=1，m0=2U=[us-2(1)us-1(1)us(1)]因此它有3個(gè)生成序列g(shù)(1,1)、g(1,2)、g(1,3)，他們的值分別為g(1,1)=[100]g(1,2)=[110]g(1,3)=[101]則編碼方法為卷積碼編碼例(3,2,2)系統(tǒng)卷積碼則n0=3，k0=2，m0=2U=[us-2(1)us-2(2)us-1(1)us-1(2)u