大學(xué)物理第五章

第五章剛體力學(xué)基礎(chǔ)剛體（理想模型）:在力作用下，大小和形狀都不改變的物體。剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系，其上各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置保持不變。什么是剛體？§1剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一.剛體的運(yùn)動(dòng)形式1.平動(dòng)（translation）平動(dòng)——?jiǎng)傮w內(nèi)兩點(diǎn)作任一直線，運(yùn)動(dòng)時(shí)始終和自身平行。可以證明：各點(diǎn)軌跡相同，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也都相同。即：知道任意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)整個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)。平動(dòng)點(diǎn)（常用質(zhì)心代表）

2.轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation）

▲定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：

▲定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)中各點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，直線——（轉(zhuǎn)軸）。剛體的一般運(yùn)動(dòng)=平動(dòng)+轉(zhuǎn)動(dòng)ZI二.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述（轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)）I——與軸固定PIIII——過(guò)P所做平面——兩平面夾角（自I算起，上看逆正）——角坐標(biāo)

=f(t)

——運(yùn)動(dòng)方程1、角速度

●通過(guò)剛體內(nèi)所做的任意動(dòng)平面，在同一時(shí)間間隔內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度（角位移

）必相等。

●是描述整個(gè)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量。任意時(shí)刻，繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體只有一個(gè)角速度。

ZIPII2、角加速度

●描述整個(gè)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量,任時(shí)刻，繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體只有一個(gè)角加速度。

3、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的勻、勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)

勻：=常，

=0勻變：

=常、、和圓周運(yùn)動(dòng)一樣：

4、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體各點(diǎn)的速度、加速度

（1）速度

（2）加速度

注意（1）（2）

對(duì)剛體上所有點(diǎn)都同，即與半徑夾角都一樣，但注意并非都同。5、角速度的矢量性

（1）定義

沿轉(zhuǎn)軸畫(huà)出：指向——與轉(zhuǎn)向成右手法則長(zhǎng)——的大?。?）用

表示任意點(diǎn)的

：

角速度和角加速度均為矢量，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中其方向沿轉(zhuǎn)軸的方向并滿足右手螺旋定則。小結(jié)xOPrv§2轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能設(shè)t:取

、rk的質(zhì)點(diǎn)k質(zhì)點(diǎn)K

的動(dòng)能為：△Mkrkvk整個(gè)剛體動(dòng)能—是與剛體本身性質(zhì)有關(guān)的量，稱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

即：繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能，等于剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其2之積的一半。二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（rotationalinertia）剛體質(zhì)量連續(xù)分布：V—遍及剛體整個(gè)體積

決定的因素：說(shuō)明：對(duì)形狀復(fù)雜的剛體，理論不易求得，常用實(shí)驗(yàn)測(cè)定。

①、轉(zhuǎn)軸位置②、質(zhì)量③、質(zhì)量對(duì)軸的分布轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布面分布1、對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：例1．

長(zhǎng)l，質(zhì)量M的均勻細(xì)桿，求桿對(duì)通過(guò)中心并與桿垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。xoydxY’O’解：取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，oxy坐標(biāo)系取x處取一個(gè)桿元dx討論：求繞y’軸

例2

半徑R、質(zhì)量M的均質(zhì)圓盤(pán)對(duì)通過(guò)其中心O并垂直盤(pán)面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

oRrdr

解：設(shè)圓盤(pán)分成許多同心環(huán)，每一環(huán)可視很薄，則環(huán)上各點(diǎn)對(duì)o的r相同

取半徑為r的環(huán)，厚dr，則面積:

討論：若要求內(nèi)、外半徑R1、R2繞垂直自己，過(guò)圓心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

—為環(huán)質(zhì)量面密度

看出，將同樣M的材料，制成環(huán)，J增大，在機(jī)械上?？吹斤w輪是為了增大J。負(fù)質(zhì)量法求環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表明：為求內(nèi)、外半徑為

R1

和R2

勻質(zhì)圓環(huán)對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，只要求以R2為半徑的勻質(zhì)圓盤(pán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，再加上一個(gè)假想以R1為半徑質(zhì)量為負(fù)的勻質(zhì)圓盤(pán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即可。常見(jiàn)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄圓盤(pán)球體細(xì)棒細(xì)棒三．平行軸定理質(zhì)心軸-----通過(guò)剛體質(zhì)心的軸?？梢宰C明：即：剛體對(duì)任意已知軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體通過(guò)質(zhì)心并與該已知軸平行的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸垂直距離h平方之積。

設(shè)質(zhì)量M、質(zhì)心C

據(jù)平行軸定理

，在已知?jiǎng)傮w對(duì)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量情況下（可查），可方便地算出該剛體對(duì)與質(zhì)心軸平行的任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

zyxC過(guò)C：JzZ'與Z平行的任意軸，兩軸距h。z′hP如例1中

例2中

看出：剛體在某一方向上的平行軸中，以過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。一、力矩

力—引起質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)。

力矩—引起剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。①

沿轉(zhuǎn)軸，指向按右手法則。

§3力矩

轉(zhuǎn)動(dòng)定律（轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)）

分解為：

2、力不在垂直軸的平面內(nèi)

二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律表明：外力距是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的原因。—轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律牛頓定律三、轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用例1滑輪半徑R質(zhì)量M，兩段懸m1、m2，繩不伸長(zhǎng)，質(zhì)量不計(jì)，繩輪之間無(wú)滑動(dòng)，輪軸間無(wú)摩杈，求：m1、m2的加速度，輪的及繩的張力。

一、

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體動(dòng)能第

i個(gè)質(zhì)元的動(dòng)能剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)慣量說(shuō)明o剛體平動(dòng)動(dòng)能§4繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

動(dòng)能定理

二、

力矩的功力矩做功等于(積分形式

）od三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理對(duì)于一有限過(guò)程討論外力做功等于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能增量(3)剛體動(dòng)能的增量，等于外力的功。(2)剛體的內(nèi)力做功之和為零；為什么？(1)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能變化取決于所有外力做功及內(nèi)力做功；剛體重力勢(shì)能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的機(jī)械能質(zhì)心的勢(shì)能對(duì)于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機(jī)械能守恒定律仍成立四、剛體的機(jī)械能解例1滑輪

r、M，在繩的一端掛一重物

m，開(kāi)始時(shí)靜止，不計(jì)摩擦力。hm的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為滑輪和m

的動(dòng)能求

重物下落高度

h時(shí)重物的速度v

。均勻細(xì)直棒m

、l

，可繞軸

O

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)它在水平位置.求

它由此下擺

角時(shí)的

。Olm解一

機(jī)械能守恒(以初始位置為0勢(shì)能點(diǎn))例2ch=解二

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理

m動(dòng)能的增量等于重力做的功重力矩其大小質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及位矢(取決于固定點(diǎn)的選擇)有關(guān)特例：質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)OS慣性參照系§5動(dòng)量矩(角動(dòng)量)和動(dòng)量矩守恒定律

1、質(zhì)點(diǎn)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩（對(duì)o點(diǎn)）一、

動(dòng)量矩動(dòng)量矩與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量

對(duì)比，

Jz—m，—

v2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩（對(duì)z軸）o剛體對(duì)z軸的動(dòng)量矩第

i個(gè)質(zhì)元對(duì)z軸的動(dòng)量矩z說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理：

對(duì)t求導(dǎo)

表明：在慣性系中，質(zhì)點(diǎn)對(duì)任意固定點(diǎn)o的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上所有力的合力對(duì)同一點(diǎn)之矩--------質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理。二、

質(zhì)點(diǎn)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理向

z

軸投影—外力矩，—質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩三、

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩剛體動(dòng)量矩變化的快慢取決于外力矩

Mz定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩定理說(shuō)明

若Jz

=恒量，有轉(zhuǎn)動(dòng)定律

四、

質(zhì)點(diǎn)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩守恒定律證明：有心力作用下，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒？

當(dāng)

力矩為0時(shí)，由知不變，則動(dòng)量矩守恒。五、

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩守恒定律當(dāng)

時(shí)，剛體動(dòng)量矩

守恒說(shuō)明當(dāng)變形體所受合外力矩為零時(shí)，變形體的動(dòng)量矩也守恒解：對(duì)象―衛(wèi)星

有心力作用，動(dòng)量矩守恒

例1

人造地球衛(wèi)星在地球引力作用下沿平面橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，地心可視為固定點(diǎn)，且為橢圓之一焦點(diǎn)。衛(wèi)星近地點(diǎn)A距地面距４３９km，遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面距２３８４km，其中

VA=8.12km/s,地球半徑R=6370km求衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度大小？

例2

質(zhì)量m的小球系繩一端，繩穿過(guò)一鉛直套管，使小球限制在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)。先使小球以v0繞管心做半徑為r0的圓周運(yùn)動(dòng)，然后向下拉繩，使小球運(yùn)動(dòng)最后成為半經(jīng)為r1的圓。求：①小球距管心r1時(shí)速度v的大小?②由r0縮短到r1過(guò)程中，力所做的功?解：繩子作用為有心力，對(duì)o點(diǎn)之矩為0--------動(dòng)量矩守恒可見(jiàn)，速度增加了，動(dòng)能也增大了。動(dòng)能增加是由于作了功，據(jù)動(dòng)能定理例3

質(zhì)量為m，長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)棒，豎直懸掛于一水平光滑軸，現(xiàn)用力F打擊棒的中部(如圖)，打擊時(shí)間為t.求：打擊后棒的角速度?解：由動(dòng)量矩定理:即例4

一長(zhǎng)L，質(zhì)量M的勻質(zhì)桿，可繞過(guò)一端的水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，最初桿靜止于豎直位置?，F(xiàn)有一質(zhì)量m的子彈以水平速度

射入桿中部并嵌在桿中，求：(1)子彈射入瞬間桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度（2）桿能擺動(dòng)的最大角度φφv0解：（1）以m、M為系統(tǒng)子彈射入的過(guò)程,系統(tǒng)對(duì)o軸的合外力矩為零.由動(dòng)量矩守恒定律（1）(2)子彈射入后的擺動(dòng)過(guò)程M、m和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒以豎直位置桿質(zhì)心所在平面為零勢(shì)能面將（1）式代入，化簡(jiǎn)后即可得。[例5]質(zhì)量為M、半徑為R的圓盤(pán)水平放置在轉(zhuǎn)臺(tái)上，兩質(zhì)量均為m的電動(dòng)汽車(chē)模型可分別沿半徑為R和r(R＞r)兩軌道運(yùn)行。最初小車(chē)和轉(zhuǎn)臺(tái)都不動(dòng)，令外軌道小車(chē)作反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，內(nèi)軌道小車(chē)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)的速率均為