廣東省汕頭市高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征課件新人教A版必修3

第2課時(shí)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(1)如何通過(guò)頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征（中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)）？快樂(lè)回憶估計(jì)眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點(diǎn)數(shù)字.（最高矩形的中點(diǎn)）估計(jì)中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等.估計(jì)平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是,有時(shí)平均數(shù)也會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷.某地區(qū)的統(tǒng)計(jì)顯示,該地區(qū)的中學(xué)生的平均身高為176cm,給我們的印象是該地區(qū)的中學(xué)生生長(zhǎng)發(fā)育好,身高較高.但是,假如這個(gè)平均數(shù)是從五十萬(wàn)名中學(xué)生抽出的五十名身高較高的學(xué)生計(jì)算出來(lái)的話(huà),那么,這個(gè)平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有中學(xué)生的身體素質(zhì).因此,只有平均數(shù)難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài)所以我們學(xué)習(xí)從另外的角度來(lái)考察樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量——標(biāo)準(zhǔn)差(1)有甲、乙兩種鋼筋,現(xiàn)從中各抽取一個(gè)標(biāo)本（如下表）檢查它們的抗拉強(qiáng)度（單位：kg/mm2）,通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn),兩個(gè)樣本的平均數(shù)均為125.甲110120130125120125135125135125乙115100125130115125125145125145哪種鋼筋的質(zhì)量較好？

由上圖可以看出,乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110,乙樣本的最大值145高于甲樣本的最大值135,這說(shuō)明乙種鋼筋沒(méi)有甲種鋼筋的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)定.

我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱(chēng)為極差（range）.由上圖可以看出,乙的極差較大,數(shù)據(jù)點(diǎn)較分散；甲的極差小,數(shù)據(jù)點(diǎn)較集中,這說(shuō)明甲比乙穩(wěn)定.運(yùn)用極差對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,操作簡(jiǎn)單方便,但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí),就不容易得出結(jié)論.應(yīng)以什么來(lái)衡量數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性呢？應(yīng)以什么來(lái)刻畫(huà)數(shù)據(jù)的離散程度？

我們先來(lái)幫下面這個(gè)教練來(lái)解決問(wèn)題,尋找答案!第一次第二次第三次第四次第五次甲命中環(huán)數(shù)78889乙命中環(huán)數(shù)1061068甲，乙兩名射擊手的測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：⑴請(qǐng)分別計(jì)算兩名射手的平均成績(jī)；教練的煩惱？甲乙⑶現(xiàn)要挑選一名射擊手參加比賽，若你是教練，你認(rèn)為挑選哪一位比較適宜？為什么？成績(jī)（環(huán)）射擊次序012234546810⑵請(qǐng)根據(jù)這兩名射擊手的成績(jī)?cè)谙聢D中畫(huà)出折線統(tǒng)計(jì)圖；根據(jù)計(jì)算我們可以知道甲、乙兩名射擊手的平均成績(jī)都是8環(huán)，但是相比之下,甲射擊手的成績(jī)大部分都集中在8環(huán)附近，而乙射擊手的成績(jī)與其平均值的離散程度較大.通常,如果一組數(shù)據(jù)與其平均值的離散程度較小,我們就說(shuō)它比較穩(wěn)定.請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)一步思考，什么樣的數(shù)據(jù)能反映一組數(shù)據(jù)與其平均值的離散程度？從上面的表和可以看到，甲的射擊成績(jī)與平均成績(jī)的偏差較小，而乙的較大。那么如何說(shuō)明呢？可以直接將各數(shù)據(jù)與平均值的差進(jìn)行累加嗎？在下表中寫(xiě)出你的計(jì)算結(jié)果并進(jìn)行小結(jié)，可以用它們來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)圍繞其平均值的波動(dòng)情況（離散程度）嗎？第一次第二次第三次第四次第五次求和甲射擊成績(jī)78889每次成績(jī)與平均成績(jī)之差乙射擊成績(jī)1061068每次成績(jī)與平均成績(jī)之差-1000102-22-200你的小結(jié)是什么？能用上面的方法比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況嗎？不能，每次相減的差有正有負(fù)，求和時(shí)可能同為0，或是其它的同一數(shù)字，這樣就無(wú)法比較了！如果將每次的差都平方再求和，能解決上面的問(wèn)題嗎？試一下……此時(shí)甲求和后為2，乙求和后為16，可以解決上面的問(wèn)題。那么這種方法適用于所有的情況嗎？看一下下面的問(wèn)題，想一想，算一算，再來(lái)給出你的結(jié)論吧！如果一共進(jìn)行了七次射擊測(cè)試，而甲因故缺席了兩次，怎樣比較誰(shuí)的成績(jī)更穩(wěn)定呢？用上面的方法計(jì)算一下填入下面的表格中，然后想一下這種方法適用嗎？如果不適用，應(yīng)該如何改進(jìn)呢？1234567求和甲成績(jī)7888缺席9缺席差的平方∕∕乙成績(jī)106106879差的平方100012444401118對(duì)，有的同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這種方法在這里看似是適用的，但仔細(xì)想來(lái)兩組數(shù)據(jù)并不一樣多，這樣對(duì)數(shù)據(jù)多的一組來(lái)說(shuō)不公平！那么應(yīng)該怎樣解決呢？對(duì)，咱們的同學(xué)真聰明！求平均數(shù)就可以解決了！標(biāo)準(zhǔn)差：s=通常改用如下公式來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差:意義：標(biāo)準(zhǔn)差用來(lái)表示穩(wěn)定性,

標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度就越大,也就越不穩(wěn)定.

標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度就越小,也就越穩(wěn)定.從標(biāo)準(zhǔn)差的定義可以看出,標(biāo)準(zhǔn)差s≥0,當(dāng)s=0時(shí),意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù).方差：從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2——方差來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)差，作為測(cè)量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具：計(jì)算公式：一般步驟：求平均－再求差－然后平方－最后再平均預(yù)習(xí)結(jié)果展示例1畫(huà)出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖,說(shuō)明它們的異同點(diǎn).(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.例:

為了考察甲、乙兩種小麥的長(zhǎng)勢(shì),分別從中抽出10株苗，測(cè)得苗高如下(單位:cm):甲:12131415101613111511乙:111617141319681016問(wèn)哪種小麥長(zhǎng)得比較整齊?方差越大,

波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定。比比誰(shuí)最快（1）在一次歌手大獎(jiǎng)賽上,七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為_(kāi)___________.（2）若給定一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,方差為s2,則ax1,ax2,…,axn的方差是____________.3)在相同條件下對(duì)自行車(chē)運(yùn)動(dòng)員甲、乙兩人進(jìn)行了6次測(cè)試,測(cè)得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據(jù)如下：甲273830373531乙332938342836

試判斷選誰(shuí)參加某項(xiàng)重大比賽更合適？（1）9.5,0.016（2）a2s2(3)＝33，＝33,乙的成績(jī)比甲穩(wěn)定,應(yīng)選乙參加比賽更合適.顯然，在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的離散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.課堂小結(jié)2.用樣本估計(jì)總體的兩個(gè)手段（用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征）,需要從總體中抽取一個(gè)質(zhì)量較高的樣本,才能不會(huì)產(chǎn)生較大的估計(jì)偏差,且樣本容量越大,估