數(shù)列極限的定義

第二節(jié)數(shù)列極限的定義一、數(shù)列定義正整數(shù)集N*上的函數(shù)稱為數(shù)列.記為.

由定義，對每個(gè)正整數(shù)，數(shù)列都確定了一個(gè)相應(yīng)的實(shí)數(shù)

，這些可按下標(biāo)從小到大依次排成一個(gè)序列例

一般項(xiàng).數(shù)列中的第

個(gè)數(shù)又稱為數(shù)列的第項(xiàng)，又叫作一般項(xiàng).例

一般項(xiàng)

例

一般項(xiàng).例

一般項(xiàng)

.二、極限的描述在上面的這些例中，前三例一般項(xiàng)都有明確的變化趨勢：最后一例的一般項(xiàng)卻沒有明確的變化趨勢.如何用定量化的數(shù)學(xué)方法來刻畫數(shù)列的極限？從本質(zhì)上看，數(shù)列的極限反映了數(shù)列當(dāng)

趨于無窮大時(shí)，數(shù)列中的項(xiàng)與某一個(gè)定數(shù)充分接近.而兩個(gè)數(shù)

和

的接近程度可用兩數(shù)差的絕對值來刻畫.故只要

充分大，就充分小.考察，，即：當(dāng)時(shí),可使例如要使只要即從第101項(xiàng)開始的以后所有項(xiàng)都滿足；即：當(dāng)時(shí),可使又如要使只要即從第10001項(xiàng)開始的以后所有項(xiàng)都滿足；即：當(dāng)時(shí),可使一般要使只要即從第

項(xiàng)開始的以后所有項(xiàng)都滿足：更一般，要使（其中是任意小的正數(shù)）只要即可，即：當(dāng)時(shí),可使即從第

項(xiàng)開始的以后所有項(xiàng)都滿足：都可以小于該數(shù).對上例的分析，可以看到，無論一個(gè)正數(shù)取得多么小，總可以找到自然數(shù)n，在這項(xiàng)以后的所有項(xiàng)與1的距離數(shù)學(xué)上用

來表示一個(gè)任意小的正數(shù).由此得到極限的精確定義:三、極限的定義定義設(shè)數(shù)列，如果存在常數(shù)，使得對任意給都成立，那么稱常數(shù)

是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)定的正數(shù)

(不論它多么小)，總存在自然數(shù)

，只要不等式列收斂于

，記為又記為注定義中的自然數(shù)

，實(shí)際上是某一項(xiàng)下標(biāo)的序號，如果這樣的常數(shù)

不存在，就說數(shù)列沒有極限，或稱數(shù)注定義中的正數(shù)

是一個(gè)任意小的數(shù)，不能把它和一列是發(fā)散的.個(gè)很小的數(shù)混為一談.

，表示自該項(xiàng)以后的所有項(xiàng).四、極限的幾何意義

設(shè)數(shù)列收斂于

，則由定義，對任意給定的正數(shù)，一定存在正整數(shù)

，當(dāng)時(shí)，所有的都落在一個(gè)以

為中心，

為半徑的空心鄰域中.五、例數(shù)列極限的定義實(shí)際上也給出了證明極限的方法：即對給定的任意正數(shù)

，去尋找滿足不等式的.尋找辦法是從經(jīng)過不等式的變形，逐步解出

.例1證明數(shù)列的極限是1.要使證記，取,則當(dāng)

時(shí)，有所以例2證明.證因故取,則當(dāng)

時(shí)，有即：例3證明.證因取,則當(dāng)

時(shí)，有所以：所以例4設(shè)