2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章平面向量5從力做的功到向量的數(shù)量積(一)學(xué)案4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE5從力做的功到向量的數(shù)量積（一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解平面向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功。2。掌握平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，理解其幾何意義.3.會用兩個(gè)向量的數(shù)量積求兩個(gè)向量的夾角以及判斷兩個(gè)向量是否垂直．知識點(diǎn)一兩向量的夾角思考1平面中的任意兩個(gè)向量都可以平移至同一起點(diǎn),它們存在夾角嗎？若存在，向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？思考2△ABC為正三角形，設(shè)eq\o(AB，\s\up6（→））＝a,eq\o（BC，\s\up6（→）)＝b，則向量a與b的夾角是多少？梳理（1）夾角：已知兩個(gè)____________a和b，作eq\o（OA,\s\up6（→))＝a，eq\o(OB,\s\up6（→））＝b，則__________＝θ（0°≤θ≤180°)叫作向量a與b的夾角（如圖所示）．當(dāng)θ＝0°時(shí),a與b________；當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b________。（2）垂直：如果a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作a⊥b.規(guī)定零向量可與任一向量垂直．知識點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的物理背景及其定義一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,如圖．思考1如何計(jì)算這個(gè)力所做的功?思考2力做功的大小與哪些量有關(guān)？梳理(1）數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ，我們把______________叫作a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積)，記作a·b,即a·b＝____________。（2）數(shù)量積的特殊情況當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí)，a·a＝__________。當(dāng)兩個(gè)向量e1，e2是單位向量時(shí),e1·e2＝________________________。知識點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的幾何意義思考1什么叫作向量b在向量a上的射影？什么叫作向量a在向量b上的射影？思考2向量b在向量a上的射影與向量a在向量b上的射影相同嗎？梳理（1)射影:若非零向量a，b的夾角為θ，則________叫作向量b在a方向上的射影(簡稱為投影)．(2）a·b的幾何意義：a與b的數(shù)量積等于a的長度|a｜與b在a方向上的射影________的乘積，或b的長度|b|與a在b方向上的射影____________的乘積．知識點(diǎn)四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)思考1向量的數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果和向量的線性運(yùn)算的結(jié)果有什么區(qū)別?思考2非零向量的數(shù)量積是否可為正數(shù)，負(fù)數(shù)和零，其數(shù)量積的符號由什么來決定?梳理向量的數(shù)量積的性質(zhì)(1）若e是單位向量，則e·a＝____________＝____________.(2）a⊥b?____________.(3)________＝eq\r(a·a）.（4)cosθ＝eq\f（a·b，|a｜｜b｜）(|a||b|≠0)．（5）對任意兩個(gè)向量a，b，有｜a·b|____｜a|｜b|，當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號成立．類型一求兩向量的數(shù)量積例1已知|a｜＝4，｜b｜＝5，當(dāng)（1）a∥b；（2)a⊥b；（3)a與b的夾角為30°時(shí)，分別求a與b的數(shù)量積．反思與感悟求平面向量數(shù)量積的步驟：(1）求a與b的夾角θ，θ∈［0°,180°]；（2）分別求｜a|和|b|；（3)求數(shù)量積，即a·b＝|a|｜b｜c(diǎn)osθ，要特別注意書寫時(shí)a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)“·”連接，而不能用“×"連接，也不能省去．跟蹤訓(xùn)練1已知菱形ABCD的邊長為a,∠ABC＝60°,則eq\o（BD，\s\up6（→)）·eq\o（CD,\s\up6(→)）等于(）A．－eq\f（3，2）a2B．－eq\f(3,4)a2C.eq\f（3,4)a2D.eq\f（3,2)a2類型二求向量的模例2已知|a｜＝｜b|＝5，向量a與b的夾角為eq\f(π，3)，求|a＋b｜,｜a－b｜.引申探究若本例中條件不變，求|2a＋b｜，｜a－2b|。反思與感悟此類求解向量模的問題就是要靈活應(yīng)用a2＝｜a｜2，即｜a｜＝eq\r(a2)，勿忘記開方．跟蹤訓(xùn)練2已知｜a｜＝｜b｜＝5，且|3a－2b｜＝5，求|3a＋b｜的值．類型三求向量的夾角例3設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量,其夾角是60°，求向量a＝2m＋n與b＝2n－3m的夾角．反思與感悟當(dāng)求向量夾角時(shí)，應(yīng)先根據(jù)公式把涉及到的量先計(jì)算出來再代入公式求角，注意向量夾角的范圍是[0，π]．跟蹤訓(xùn)練3已知a·b＝－9，a在b方向上的射影為－3，b在a方向上的射影為－eq\f（3,2)，求a與b的夾角θ。1．已知|a|＝8,|b｜＝4，<a，b〉＝120°，則向量b在a方向上的射影為（）A．4B．－4C．2D．－22．設(shè)向量a，b滿足｜a＋b｜＝eq\r(10)，｜a－b｜＝eq\r（6）,則a·b等于()A．1B．2C．3D．53．若a⊥b，c與a及與b的夾角均為60°，｜a｜＝1,|b｜＝2,｜c(diǎn)｜＝3，則（a＋2b－c)2＝________.4．在△ABC中，|eq\o(AB，\s\up6（→))｜＝13，|eq\o（BC,\s\up6(→)）|＝5，｜eq\o(CA,\s\up6（→)）|＝12，則eq\o（AB,\s\up6(→))·eq\o（BC,\s\up6（→)）的值是________．5．已知正三角形ABC的邊長為1，求：(1)eq\o(AB,\s\up6（→）)·eq\o(AC,\s\up6(→））；(2)eq\o(AB,\s\up6（→））·eq\o(BC,\s\up6（→));（3)eq\o(BC，\s\up6(→））·eq\o（AC,\s\up6(→)）。1．兩向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量，其值可以為正（當(dāng)a≠0，b≠0,0°≤θ<90°時(shí)），也可以為負(fù)（當(dāng)a≠0，b≠0,90°〈θ≤180°時(shí)），還可以為0(當(dāng)a＝0或b＝0或θ＝90°時(shí)）．2．兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算,與實(shí)數(shù)乘實(shí)數(shù)、實(shí)數(shù)乘向量的乘法運(yùn)算是有區(qū)別的，在書寫時(shí)一定要把它們嚴(yán)格區(qū)分開來，絕不可混淆．3．在a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ中，｜b|cosθ和｜a｜c(diǎn)osθ分別叫作b在a方向上的射影和a在b方向上的射影,要結(jié)合圖形嚴(yán)格區(qū)分．4．求射影有兩種方法(1）b在a方向上的射影為|b|cosθ（θ為a，b的夾角)，a在b方向上的射影為｜a|cosθ。(2)b在a方向上的射影為eq\f（a·b，|a｜),a在b方向上的射影為eq\f(a·b，|b|）。5．兩非零向量a，b,a⊥b?a·b＝0，求向量模時(shí)要靈活運(yùn)用公式|a｜＝eq\r(a2).

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考1存在夾角,不一樣．思考2如圖，延長AB至點(diǎn)D，使AB＝BD，則eq\o（BD,\s\up6（→）)＝a，∵△ABC為等邊三角形,∴∠ABC＝60°，則∠CBD＝120°，故向量a與b的夾角為120°.梳理（1）非零向量∠AOB同向反向知識點(diǎn)二思考1W＝｜F||s｜c(diǎn)osθ.思考2與力的大小、位移的大小及它們之間的夾角有關(guān)．梳理(1）｜a｜|b｜c(diǎn)osθ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ(2）｜a|2｜e1|｜e2｜c(diǎn)osθ＝cosθ知識點(diǎn)三思考1如圖所示，eq\o(OA，\s\up6（→）)＝a，eq\o(OB，\s\up6（→））＝b，過B作BB1垂直于直線OA,垂足為B1,則OB1＝｜b|cosθ.｜b｜c(diǎn)osθ叫作向量b在a方向上的射影，|a|cosθ叫作向量a在b方向上的射影．思考2由射影的定義知,二者不一定相同．梳理（1)｜b|cosθ（2）|b|cosθ|a|cosθ知識點(diǎn)四思考1向量的線性運(yùn)算的結(jié)果是向量，而向量的數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量．思考2由兩個(gè)非零向量的夾角決定．當(dāng)0°≤θ＜90°時(shí)，非零向量的數(shù)量積為正數(shù)．當(dāng)θ＝90°時(shí)，非零向量的數(shù)量積為零．當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí),非零向量的數(shù)量積為負(fù)數(shù)．梳理（1）a·e|a｜c(diǎn)osθ（2）a·b＝0（3）|a|(5)≤題型探究例1解(1)a∥b，若a與b同向，則θ＝0°，a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os0°＝4×5＝20；若a與b反向，則θ＝180°,∴a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os180°＝4×5×（－1）＝－20。(2)當(dāng)a⊥b時(shí)，θ＝90°，∴a·b＝|a|｜b|cos90°＝0.(3)當(dāng)a與b的夾角為30°時(shí)，a·b＝｜a｜|b|cos30°＝4×5×eq\f（\r(3），2)＝10eq\r（3）.跟蹤訓(xùn)練1D例2解a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×eq\f（1，2)＝eq\f（25,2)。｜a＋b｜＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(|a|2＋2a·b＋｜b|2)＝eq\r(25＋2×\f(25，2)＋25）＝5eq\r（3).｜a－b|＝eq\r(a－b2）＝eq\r（｜a｜2－2a·b＋|b｜2)＝eq\r(25－2×\f(25，2）＋25）＝5.引申探究解a·b＝|a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝5×5×eq\f（1,2)＝eq\f(25，2），｜2a＋b｜＝eq\r（2a＋b2）＝eq\r(4｜a|2＋4a·b＋｜b｜2)＝eq\r(4×25＋4×\f(25，2)＋25)＝5eq\r(7)。｜a－2b|＝eq\r(a－2b2）＝eq\r（｜a｜2－4a·b＋4｜b|2）＝eq\r（25－4×\f（25,2)＋4×25)＝5eq\r(3）。跟蹤訓(xùn)練220例3解∵|n|＝|m｜＝1且m與n的夾角是60°，∴m·n＝|m|｜n｜c(diǎn)os60°＝1×1×eq\f（1,2)＝eq\f（1,2)。｜a|＝｜2m＋n|＝eq\r(2m＋n2)＝eq\r（4×1＋1＋4m·n）＝eq\r(4×1＋1＋4×\f(1，2))＝eq\r（7)，|b｜＝|2n－3m｜＝eq\r(2n－3m2）＝eq\r(4×1＋9×1－12m·n）＝eq\r(4×1＋9×1－12×\f(1,2))＝eq\r(7），a·b＝(2m＋n）·(2n－3m）＝m·n－6m2＋2n2＝eq\f(1,2）－6×1＋2×1＝－eq\f(7，2）.設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,｜a|｜b｜)＝eq\f(－\f(7,2），\r（7)