2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明章末復(fù)習(xí)課學(xué)案1-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第二章推理與證明章末復(fù)習(xí)課題型一合情推理與演繹推理1。歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進一步證明。2.演繹推理與合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式，也是公理化體系所采用的推理形式。另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性。例1（1）有一個奇數(shù)列1，3，5，7,9，…，現(xiàn)在進行如下分組:第一組含一個數(shù){1}；第二組含兩個數(shù){3,5｝；第三組含三個數(shù){7，9,11}；第四組含四個數(shù)｛13,15,17,19}；…試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和f（n）(n∈N＋)與組的編號數(shù)n的關(guān)系式為________。（2）在平面幾何中，對于Rt△ABC,AC⊥BC,設(shè)AB＝c，AC＝b，BC＝a，則①a2＋b2＝c2;②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圓半徑為r＝eq\f（\r（a2＋b2），2)。把上面的結(jié)論類比到空間寫出相類似的結(jié)論；如果你能證明,寫出證明過程；如果在直角三角形中你還發(fā)現(xiàn)了異于上面的結(jié)論，試試看能否類比到空間？（1）答案f(n）＝n3解析由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n組內(nèi)各數(shù)之和f(n)與組的編號數(shù)n的關(guān)系式為f(n）＝n3.(2)解選取3個側(cè)面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對象。①設(shè)3個兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，底面面積為S，則Seq\o\al（2，1）＋Seq\o\al（2,2）＋Seq\o\al（2，3)＝S2。②設(shè)3個兩兩垂直的側(cè)面與底面所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1。③設(shè)3個兩兩垂直的側(cè)面形成的側(cè)棱長分別為a，b，c，則這個四面體的外接球的半徑為R＝eq\f（\r(a2＋b2＋c2)，2）.反思與感悟（1)歸納推理中有很大一部分題目是數(shù)列內(nèi)容，通過觀察給定的規(guī)律，得到一些簡單數(shù)列的通項公式是數(shù)列中的常見方法.（2）類比推理重在考查觀察和比較的能力，題目一般情況下較為新穎，也有一定的探索性.跟蹤訓(xùn)練1下列推理是歸納推理的是________，是類比推理的是________.①A、B為定點,若動點P滿足|PA｜＋｜PB｜＝2a〉|AB｜,則點P的軌跡是橢圓；②由a1＝1,an＋1＝3an－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的通項an和Sn的表達(dá)式；③由圓x2＋y2＝1的面積S＝πr2，猜想出橢圓的面積S＝πab；④科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇.答案②③④題型二綜合法與分析法綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的證明方法,但兩種證明方法思路截然相反，分析法既可用于尋找解題思路，也可以是完整的證明過程,分析法與綜合法可相互轉(zhuǎn)換，相互滲透,要充分利用這一辯證關(guān)系，在解題中綜合法和分析法聯(lián)合運用，轉(zhuǎn)換解題思路，增加解題途徑。一般以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表示證明過程.例2用綜合法和分析法證明.已知α∈(0，π）,求證：2sin2α≤eq\f(sinα,1－cosα).證明(分析法)要證明2sin2α≤eq\f（sinα,1－cosα）成立.只要證明4sinαcosα≤eq\f(sinα，1－cosα）.∵α∈(0，π），∴sinα>0.只要證明4cosα≤eq\f（1，1－cosα）.上式可變形為4≤eq\f(1，1－cosα）＋4（1－cosα）.∵1－cosα〉0,∴eq\f（1，1－cosα)＋4(1－cosα)≥2eq\r（\f（1,1－cosα）·41－cosα)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)cosα＝eq\f（1,2)，即α＝eq\f（π,3)時取等號.∴4≤eq\f(1,1－cosα）＋4(1－cosα）成立.∴不等式2sin2α≤eq\f(sinα,1－cosα)成立。(綜合法)∵eq\f(1，1－cosα)＋4(1－cosα)≥4，（1－cosα〉0，當(dāng)且僅當(dāng)cosα＝eq\f（1，2），即α＝eq\f(π，3）時取等號)∴4cosα≤eq\f(1,1－cosα）.∵α∈(0，π），∴sinα〉0?！?sinαcosα≤eq\f(sinα,1－cosα）.∴2sin2α≤eq\f（sinα,1－cosα）。跟蹤訓(xùn)練2求證：eq\f(sin2α＋β,sinα)－2cos(α＋β）＝eq\f(sinβ,sinα）.證明∵sin(2α＋β）－2cos（α＋β)sinα＝sin［(α＋β）＋α]－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β）cosα＋cos（α＋β)sinα－2cos（α＋β)sinα＝sin（α＋β）cosα－cos(α＋β)sinα＝sin［(α＋β)－α]＝sinβ，兩邊同除以sinα得eq\f（sin2α＋β，sinα）－2cos(α＋β)＝eq\f(sinβ,sinα）.題型三反證法反證法是一種間接證明命題的方法,它從命題結(jié)論的反面出發(fā)引出矛盾,從而肯定命題的結(jié)論。反證法的理論基礎(chǔ)是互為逆否命題的等價性,從邏輯角度看,命題:“若p則q”的否定是“若p則綈q”，由此進行推理，如果發(fā)生矛盾，那么就說明“若p則綈q"為假，從而可以導(dǎo)出“若p則q”為真，從而達(dá)到證明的目的.例3若x，y都是正實數(shù)，且x＋y〉2，求證:eq\f（1＋x，y）<2或eq\f（1＋y，x)<2中至少有一個成立.證明假設(shè)eq\f（1＋x，y）〈2和eq\f（1＋y,x)〈2都不成立，則有eq\f(1＋x，y）≥2和eq\f(1＋y,x）≥2同時成立.因為x〉0且y〉0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y,所以x＋y≤2。這與已知x＋y>2矛盾。故eq\f(1＋x，y）<2與eq\f（1＋y,x)〈2至少有一個成立。反思與感悟反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命題時，也常用反證法。跟蹤訓(xùn)練3已知：ac≥2(b＋d）.求證：方程x2＋ax＋b＝0與方程x2＋cx＋d＝0中至少有一個方程有實數(shù)根.證明假設(shè)兩方程都沒有實數(shù)根,則Δ1＝a2－4b〈0與Δ2＝c2－4d〈0，有a2＋c2<4（b＋d)，而a2＋c2≥2ac，從而有4(b＋d)>2ac，即ac〈2（b＋d）,與已知矛盾，故原命題成立。[呈重點、現(xiàn)規(guī)律］1.歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理,后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真,有待進一步證明.2.演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式。也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性.3.直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法.直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法:綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；