理論力學(xué)第12章動(dòng)能定理

第十二章動(dòng)能定理理論力學(xué)

1第十二章動(dòng)能定理動(dòng)能定理動(dòng)能的改變與作用力的功之間的關(guān)系

引言：本章討論機(jī)械運(yùn)動(dòng)的另一種度量——?jiǎng)幽芤约皠?dòng)能的改變與作用力的功之間的關(guān)系（動(dòng)能定理）。機(jī)械運(yùn)動(dòng)除保持機(jī)械運(yùn)動(dòng)的傳遞形式外，還可轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降倪\(yùn)動(dòng)（如熱、電、光等）。前面討論了物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一種度量——?jiǎng)恿?，并建立了?dòng)量的改變與作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的力之間的關(guān)系。2§12-1力的功

一、

常力在直線運(yùn)動(dòng)中的功單位J（焦耳）1J=1N·m

第十二章動(dòng)能定理θ＞90°時(shí)，功為負(fù)值；當(dāng)θ＜90°時(shí)，功為正值；當(dāng)θ=90°時(shí)，即力和位移方向垂直，力在此位移上不作功。3二、變力在曲線運(yùn)動(dòng)中的功1、元功：變力F在無(wú)限小位移dr上所作的功。第十二章動(dòng)能定理自然軸系的元功：直角坐標(biāo)形式的元功：2、功當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從M1運(yùn)動(dòng)到M2時(shí)，力F所作的功W就等于在這段路程中所有元功之和。4三、合力的功合力之功定理第十二章動(dòng)能定理合力所作的元功等于各分力的元功的代數(shù)和；合力在質(zhì)點(diǎn)任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的代數(shù)和。則51、重力的功質(zhì)點(diǎn)系由重力的功只與始、末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。得第十二章動(dòng)能定理四、幾種常見(jiàn)力的功62、彈性力的功彈簧自然長(zhǎng)度L0，一段固定于O，另一端系一質(zhì)點(diǎn)M。彈簧剛度系數(shù)k(N/m)彈性力的功為第十二章動(dòng)能定理—單位矢量彈性力7得即彈性力的功也與路徑無(wú)關(guān)第十二章動(dòng)能定理時(shí)彈簧的變形量和始末位置分別表示質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的21022011,MMlrlr-=-=dd83.作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力及力偶的功則若常量由得從角轉(zhuǎn)動(dòng)到角過(guò)程中力的功為第十二章動(dòng)能定理設(shè)剛體繞固定軸Z轉(zhuǎn)動(dòng)，一力F作用在剛體上M點(diǎn)。若剛體有微小轉(zhuǎn)角dφ，則力F在弧長(zhǎng)ds上所作的元功為：即作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的元功等于該力對(duì)于轉(zhuǎn)軸的力矩與剛體微小轉(zhuǎn)角的乘積。94.摩擦力的功第十二章動(dòng)能定理摩擦力阻礙物體的運(yùn)動(dòng)，摩擦力做負(fù)功；有時(shí)摩擦力對(duì)物體起著主動(dòng)力的作用，這時(shí)摩擦力做正功。如果純滾動(dòng)時(shí)（只滾不滑）：剛體與固定軌道的接觸點(diǎn)為剛體的速度瞬心，因而該點(diǎn)的速度為零，同時(shí)該點(diǎn)也為摩擦力的作用點(diǎn)。剛體沿固定軌道作純滾動(dòng)時(shí)（只滾不滑），其接觸點(diǎn)處的摩擦力不作功。105.內(nèi)力的功第十二章動(dòng)能定理剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的內(nèi)力的功之和恒等于0。11§12-2動(dòng)能二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能瞬時(shí)量，動(dòng)能標(biāo)量，動(dòng)量mv矢量單位第十二章動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系在某一位置時(shí)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系在該位置的動(dòng)能。12第十二章動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)做任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接利用上式較復(fù)雜，可將質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)分解為隨質(zhì)心C的平動(dòng)和相對(duì)于質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)。設(shè)質(zhì)心速度vC，任一質(zhì)點(diǎn)Mi相對(duì)于質(zhì)心C的的速度為vir，根據(jù)速度合成定理，Mi的絕對(duì)速度為：二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能于是有：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于質(zhì)點(diǎn)系隨同質(zhì)心C的平動(dòng)的動(dòng)能與質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心C運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和?！履嵯６ɡ怼?3三．剛體的動(dòng)能riZ3．平面運(yùn)動(dòng)剛體2．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體1．平動(dòng)剛體P第十二章動(dòng)能定理作平面運(yùn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能，等于剛體隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和?；虻扔趧傮w繞速度瞬心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能。14§12-3動(dòng)能定理1．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式第十二章動(dòng)能定理15對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的一質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，有:2．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式即:第十二章動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上的所有力在同一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所作的功的代數(shù)和?！|(zhì)點(diǎn)系積分形式動(dòng)能定理161．質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功

只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。第十二章動(dòng)能定理2．理想約束反力的功剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的內(nèi)力的功之和恒等于0。不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力功之和等于零。關(guān)于功的討論173、理想約束

光滑固定面固定鉸支座、光滑鉸鏈、柔索類(lèi)等約束的約束力作功等于零.稱(chēng)約束力作功等于零的約束為理想約束.

對(duì)理想約束,在動(dòng)能定理中只計(jì)入主動(dòng)力的功即可.

應(yīng)用動(dòng)能定理求解例12-2，P197第十二章動(dòng)能定理18解:例

已知:m,h,k,其它質(zhì)量不計(jì).求:第十二章動(dòng)能定理19例

已知：輪O的R1

、m1,質(zhì)量分布在輪緣上;均質(zhì)輪C

的R2、m2純滾動(dòng),初始靜止;θ,M

為常力偶。求:輪心C

走過(guò)路程S時(shí)的速度和加速度第十二章動(dòng)能定理20輪C與輪O共同作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系解:第十二章動(dòng)能定理21第十二章動(dòng)能定理22上式兩端對(duì)t求導(dǎo),得第十二章動(dòng)能定理23§12-4勢(shì)力場(chǎng)、勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律2．有勢(shì)力：在勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)所受的力。簡(jiǎn)稱(chēng)勢(shì)力。

重力場(chǎng)、萬(wàn)有引力場(chǎng)、彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)。1．勢(shì)力場(chǎng)：如上面兩個(gè)例子，在力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，做的功只于位置有關(guān)與路徑無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)叫勢(shì)力場(chǎng)。

一．勢(shì)力場(chǎng)第十二章動(dòng)能定理力場(chǎng)：設(shè)存在一空間，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入該部分空間時(shí)，就受到一個(gè)大小和方向都完全由所在的位置確定的力的作用，這部分空間就叫力場(chǎng)。如質(zhì)點(diǎn)在地球表面受重力作用，地球表面空間叫重力場(chǎng)。離地球表面較遠(yuǎn)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)受萬(wàn)有引力作用，在地球表面較遠(yuǎn)的空間叫引力場(chǎng)。24

稱(chēng)勢(shì)能零點(diǎn)二．勢(shì)能：有勢(shì)力對(duì)零勢(shì)點(diǎn)的功用V表示。

第十二章動(dòng)能定理1.重力場(chǎng)中的勢(shì)能質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系有勢(shì)力所作的功稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M相對(duì)于基準(zhǔn)點(diǎn)M0的勢(shì)能。質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)中從位置M運(yùn)動(dòng)到M0時(shí)，有勢(shì)力的功為：252.彈性力場(chǎng)的勢(shì)能第十二章動(dòng)能定理δ

為質(zhì)點(diǎn)在位置M時(shí)的彈簧的變形量。26三.機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒.T+V稱(chēng)為機(jī)械能第十二章動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系在非有勢(shì)力作用下運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能不守恒。在質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能和其他形式的能量之和仍保持不變，這就是能量守恒定律。質(zhì)點(diǎn)系在僅有勢(shì)力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，其機(jī)械能保持不變。27

例

：已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s勻速下降，鋼索

k=3.35×N/m.不計(jì)輪重.求:輪D突然卡住時(shí)，鋼索的最大張力.δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D第十二章動(dòng)能定理28卡住前

卡住前:解:δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D第十二章動(dòng)能定理卡住后29得由有δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D第十二章動(dòng)能定理即30選桌面高度為重力場(chǎng)勢(shì)能零點(diǎn)12-71

應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求解例12-2第十二章動(dòng)能定理l-bb31§12-5動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用

一、動(dòng)力學(xué)普遍定理:動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理。第十二章動(dòng)能定理二、動(dòng)力學(xué)兩類(lèi)問(wèn)題：1.已知力求運(yùn)動(dòng)，優(yōu)先用動(dòng)能定理、動(dòng)量矩定理2.已知運(yùn)動(dòng)求力，用動(dòng)量、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理三、綜合問(wèn)題：已知力求力力動(dòng)能定理動(dòng)量矩定理運(yùn)動(dòng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理動(dòng)量定理力32求：重物下降h時(shí),v、a及滾輪與地面的摩擦力.

長(zhǎng)處無(wú)初速釋放.例:已知兩均質(zhì)輪m,R

;物塊m,ｋ,純滾動(dòng),于彈簧原第十二章動(dòng)能定理33解:第十二章動(dòng)能定理α34將式（a）對(duì)t

求導(dǎo)（a）第十二章動(dòng)能定理得35其中第十二章動(dòng)能定理求地面的摩擦力，取滾輪為研究對(duì)象：36例

已知：均質(zhì)桿長(zhǎng)l，質(zhì)量

m，靜止