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§3.5晶格熱容一、晶格振動(dòng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn)

一個(gè)頻率為j的振動(dòng)模對(duì)熱容的貢獻(xiàn)子體系處于量子態(tài)的概率1在一定溫度下,頻率為j的簡(jiǎn)諧振子的統(tǒng)計(jì)平均能量為:23其中——平均聲子數(shù)于是,在一定溫度下,晶格振動(dòng)的總能量為:4將對(duì)j的求和改為積分其中:——晶體的零點(diǎn)能與溫度有關(guān)的能量5g()為晶格振動(dòng)的模式密度。g()d表示頻率在-+d之間的振動(dòng)模式數(shù);m為截止頻率。晶格熱容:如果某種晶體的晶格振動(dòng)模式密度g()已知,我們即可根據(jù)上式求出晶格熱容來。6二、晶格熱容模型Dulong-Petit定律

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),在常溫下大多數(shù)固體的熱容量差不多都等于6cal/mol.K,這個(gè)結(jié)果就稱為Dulong-Petit定律。經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論的解釋:根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的能量均分定理,每一個(gè)簡(jiǎn)諧振子的統(tǒng)計(jì)平均能量為kBT,一摩爾固體中有N0個(gè)原子,有3N0個(gè)簡(jiǎn)諧振子。所以,晶體的振動(dòng)能為:7因此,經(jīng)典的能量均分定理可以很好地解釋室溫下晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。困難:低溫下晶格熱容的實(shí)驗(yàn)值明顯偏小,且當(dāng)T0時(shí),CV0,經(jīng)典的能量均分定理無法解釋。2.Einstein模型

假設(shè):晶體中各原子的振動(dòng)相互獨(dú)立,且所有原子都

以同一頻率0振動(dòng)。在一定溫度下,由N個(gè)原子組成的晶體的總振動(dòng)能為:8定義:Einstein溫度高溫下:T>>E,即9這表明,在高溫下,Einstein模型所得的結(jié)果與Dulong-Petit定律一致。10在低溫下:T<<E當(dāng)T0時(shí),CV0,與實(shí)驗(yàn)結(jié)果定性符合。但實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,當(dāng)溫度很低時(shí),CV∝T3,而根據(jù)Einstein模型,當(dāng)T0時(shí),11顯然,CV隨溫度下降的速度比實(shí)驗(yàn)曲線快得多??梢?,在低溫下Einstein模型所得的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)符合得并不理想。3.Debye模型假設(shè):晶體是各向同性的連續(xù)彈性介質(zhì),格波可以看成連續(xù)

介質(zhì)的彈性波。為簡(jiǎn)單起見,設(shè)橫波和縱波的傳播速

度相同,均為c。即:這表明,在q空間中,等頻率面為球面。在q-q+dq之間的體積為:4q2dq12在-+d之間晶格振動(dòng)的模式數(shù)為由可求出m13定義:Debye溫度對(duì)于大多數(shù)固體材料,D?幾百K。作變換:有:14在高溫下:T>>D,即xD015這一結(jié)果與Dulong-Petit定律一致。在低溫下:T<<D,即xD∞16利用Taylor展開式:利用積分公式和求和公式:17這表明,Debye模型可以很好地解釋在很低溫度下晶格熱容CV∝T3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。由此可見,用Debye模型來解釋晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是相當(dāng)成功的,尤其是在低溫下,溫度越低,Debye近似就越好。18qyqxmTqmqT實(shí)際上,經(jīng)簡(jiǎn)單的數(shù)量級(jí)估算即可得出在Debye近似下,在很低溫度下晶格熱容與T3成正比的結(jié)果。

在非常低的溫度下,由于短波聲子的能量太高,不會(huì)被熱激發(fā),而被“冷凍”下來。所以的聲子對(duì)熱容幾乎沒有貢獻(xiàn);只有那些

的長(zhǎng)波聲子才會(huì)被熱激發(fā)。19因此,低溫下晶格熱容的貢獻(xiàn)主要來自于的長(zhǎng)波聲子的貢獻(xiàn)。在q空間中,被熱激發(fā)的聲子所占的體積比約為而每個(gè)被激發(fā)的振動(dòng)模式(聲子)具有的能量為kBT。因此,由于熱激發(fā),系統(tǒng)所獲得的能量為:20就實(shí)際晶體而言,CV∝T3必須在很低的溫度下才成立,大約要低到T~D/50,即約10K以下才能觀察到CV隨T3變化。

Debye模型在解釋晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果方面已經(jīng)證明是相當(dāng)成功的,特別是在低溫下,Debye理論是嚴(yán)格成立的。但是,需要指出的是Debye模型仍然只是一個(gè)近似的理論,仍有它的局限性,并不是一個(gè)嚴(yán)格的理論。21三、模式密度g()dSdqqxqy0在q空間中,處在-+d兩等頻面之間的振動(dòng)模式數(shù)為(只考慮其中第j支格波)而由于22qj(q)表示沿等頻率面的法線方向j(q)的變化率。如果有一支晶格振動(dòng)的色散關(guān)系已知,即可根據(jù)上式計(jì)算g()。例:求一維單原子鏈的模式密度

23一維單原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系:2425§3.6非簡(jiǎn)諧效應(yīng)在前幾節(jié),我們討論了晶格振動(dòng)的簡(jiǎn)諧近似,也就是在晶體的3N個(gè)振動(dòng)模式中,每一個(gè)振動(dòng)模式都近似地認(rèn)為是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。這實(shí)際上是認(rèn)為每個(gè)原子偏離其平衡位置都很小,因而在其勢(shì)能展開式中只保留到平方項(xiàng),而略去了三次方及其以上項(xiàng),稱為簡(jiǎn)諧近似。但在處理有些問題時(shí),如熱膨脹、熱傳導(dǎo)等,就必須考慮非簡(jiǎn)諧項(xiàng)的影響,否則就不能對(duì)這些現(xiàn)象作出解釋。一、晶格的自由能與狀態(tài)方程在晶格的熱力學(xué)基本函數(shù)中,晶格自由能是最基本的物理量。如果晶格的自由能F(T,V)已知,即可容易求26出狀態(tài)方程f(p,V,T)=0。根據(jù)自由能的定義:F=U-TS而由熱力學(xué)第一定律:

dU=TdS-pdV

有dF=dU-d(TS)=-pdV-SdT得晶格自由能可以看成由兩部分組成:第一部分F1=U(V)只與晶體的體積有關(guān),而與溫度(或晶格振動(dòng))無關(guān)。U(V)實(shí)際上是T=0時(shí)晶體的內(nèi)能;第二部分F2與晶格振動(dòng)有關(guān)。由統(tǒng)計(jì)物理可知,F(xiàn)2=-kBTlnZ27這里Z是晶格振動(dòng)的配分函數(shù)。對(duì)于頻率為j的格波,其配分函數(shù)為如果忽略格波間的相互作用,那么系統(tǒng)的總配分函數(shù)為28于是,晶格自由能為:29由于非簡(jiǎn)諧振動(dòng),當(dāng)體積改變時(shí),振動(dòng)頻率j也隨之變化,所以,j是體積的函數(shù)。30其中為頻率為j的格波的平均振動(dòng)能,是表征頻率隨體積變化的量,假設(shè)它對(duì)所有格波都相同。于是得晶格狀態(tài)方程為其中——Grüneisenconst.31一般情況下,由于V時(shí),,所以>0。與晶格振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧性有關(guān)。二、熱膨脹熱膨脹指的是在不加壓的情況下,晶體體積隨溫度升高而增大的現(xiàn)象。令p=0,有:由于U(V)是T=0時(shí)晶體的內(nèi)能,只與V有關(guān)。當(dāng)原子不振動(dòng)時(shí),晶體的32平衡體積為V0,有對(duì)于大多數(shù)固體,溫度變化時(shí),其體積變化不大,因此可將在靜止晶格的平衡體積V0展開如只保留V的一次項(xiàng),則有:33其中為靜止晶格的壓縮模量當(dāng)溫度變化時(shí),上式右邊主要是振動(dòng)能發(fā)生變化,對(duì)溫度求微商可得體積膨脹系數(shù):——Grüneisen定律對(duì)許多固體材料的測(cè)量結(jié)果證實(shí)了Grüneisen定律,的值一般在1~2之間。34這表明當(dāng)溫度發(fā)生變化時(shí),熱膨脹系數(shù)近似與熱容量成正比,由于與晶格振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧性有關(guān),若晶格振動(dòng)是嚴(yán)格的簡(jiǎn)諧振動(dòng),就不會(huì)有熱膨脹。我們以雙原子分子為例來定性討論熱膨脹問題。將左邊的原子固定,右邊的原子可以自由振動(dòng)。如果勢(shì)能曲線關(guān)于原子的平衡位置對(duì)稱,那么,原子振動(dòng)后,其平均位置與振幅無關(guān)。如果這種振動(dòng)是熱振動(dòng),那么,兩原子的間距就與溫度無關(guān)。但是實(shí)際上兩原子的互作用能曲線并不是拋物線,而是不對(duì)稱的復(fù)雜函數(shù),平衡位置35左邊的曲線較陡,而右邊較平緩。當(dāng)原子偏離其平衡位置后,原子間的相互作用力為由于勢(shì)能曲線在平衡位置左邊的曲線較陡,即斜率

較大,因此右邊的原子受到較大的排斥力;而平衡位置右邊勢(shì)能曲線較平緩,斜率較小,即原子受到的吸引力較小,因此,平均位置向右移動(dòng)。也就是說,隨溫度升高,原子振動(dòng)的振幅增大,平均位置向右移動(dòng),導(dǎo)致熱膨脹。因此,物體的熱膨脹源于勢(shì)能曲線的不對(duì)稱,即振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧性所致。36三、晶格的熱傳導(dǎo)當(dāng)固體中溫度分布不均勻時(shí),就會(huì)有熱流從高溫處流向低溫處,這種現(xiàn)象稱為熱傳導(dǎo)。固體中的熱傳導(dǎo)既可以通過電子的運(yùn)動(dòng),也可以通過格波的傳播(聲子的運(yùn)動(dòng))來完成。在金屬中,熱傳導(dǎo)以電子遷移的貢獻(xiàn)為主;而在絕緣體和一般半導(dǎo)體中則以聲子的貢獻(xiàn)為主。聲子的熱傳導(dǎo)也稱為晶格的熱導(dǎo)。一、晶格熱傳導(dǎo)實(shí)驗(yàn)表明,如果在各向同性的均勻絕緣棒的兩端保持一定的溫差,即有一穩(wěn)定的溫度梯度,那么,通過棒的熱流密度與溫度梯度成正比:1.晶格熱傳導(dǎo)37K稱為熱導(dǎo)率,負(fù)號(hào)表明熱流總是從高溫流向低溫的。我們可以用聲子的輸運(yùn)過程半定量地說明這問題。我們可將固體中原子的熱振動(dòng)系統(tǒng)看成一個(gè)“聲子氣體”系統(tǒng),通過聲子與聲子的相互作用同外界建立熱平衡。在一定溫度下,聲子按能量的分布遵從Bose-Einstein統(tǒng)計(jì),即頻率為j的聲子熱平衡時(shí)的平均聲子數(shù)為當(dāng)棒的兩端存在溫度梯度時(shí),其平衡聲子濃度也存在相應(yīng)的濃度梯度,高溫處的“聲子”密度高;低溫處的38“聲子”密度低。根據(jù)經(jīng)典的氣體運(yùn)動(dòng)論,“聲子氣體”就會(huì)在無規(guī)運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生一平均的定向運(yùn)動(dòng),即聲子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng),因而在固體棒中產(chǎn)生定向的聲子擴(kuò)散流。由于聲子是晶格振動(dòng)的能量量子,聲子的定向運(yùn)動(dòng)就意味著有一熱流,熱流的方向就是聲子定向運(yùn)動(dòng)的方向。設(shè)S為棒中的一單位橫截面,分別為前后距S面一個(gè)聲子平均自由程的兩個(gè)單位橫截面,S1和S2面處的溫度分別為T1和T2(設(shè)T1>T2

)。而和分別為T1T2S1S2SS1和S2處頻率為I的聲子濃度。由于棒各向同性,可用Debye模型討論。設(shè)所有聲子在各個(gè)方向的速度均為v0

。39可以設(shè)想,單位時(shí)間內(nèi),有個(gè)聲子和個(gè)聲子分別從S1面和S2面通過S面。這樣,由i聲子貢獻(xiàn)的熱流為于是,總熱流密度為:40所以,熱流密度為:比較得從上式可以看出,晶格的熱導(dǎo)率與聲子的平均自由程成正比,而影響聲子平均自由程的因素有許多,主要有以下幾方面:

聲子與聲子間的相互散射;固體中的缺陷對(duì)聲子的散射;聲子與固體外部邊界的碰撞等。412.聲子間相互作用對(duì)聲子平均自由程的影響在簡(jiǎn)諧近似下,我們可通過引入簡(jiǎn)正坐標(biāo),經(jīng)正則變換,消除勢(shì)能表達(dá)式中的交叉項(xiàng)。這樣,不同簡(jiǎn)正坐標(biāo)就沒有交叉項(xiàng),因而可以得到3N個(gè)彼此獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方程。這時(shí),不同格波的運(yùn)動(dòng)是彼此獨(dú)立的,因此不存在不同聲子間的相互碰撞。這種情況就類似于在氣體運(yùn)動(dòng)論中,完全忽略了氣體分子之間的相互作用。但實(shí)際情況如果果真如此,格波就不可能達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡。實(shí)際上,由于勢(shì)能函數(shù)不僅含有二次方的簡(jiǎn)諧項(xiàng),而且還有三次方以及三次方以上的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)。因此,引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)后,也不可能完全消除不同簡(jiǎn)正坐標(biāo)的交叉項(xiàng)。這意味著不同格波的運(yùn)動(dòng)并不是完全獨(dú)立的,不同格波間存在相互作用。正是由于這種非簡(jiǎn)諧作用,42使得不同格波間可以交換能量,才能達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡的。用“聲子”語言表述,不同格波間的相互作用,表示為聲子間的“碰撞”。勢(shì)能展開式中的三次方項(xiàng)對(duì)應(yīng)于三聲子過程:兩個(gè)聲子碰撞產(chǎn)生第三個(gè)聲子或者一個(gè)聲子分裂成兩個(gè)聲子;而勢(shì)能展開式的四次方項(xiàng)則對(duì)應(yīng)于四聲子過程。在熱傳導(dǎo)問題中,聲子的碰撞起著限制聲子平均自由程的作用。與中子(或光子)受聲子的非彈性散射一樣,聲子間的相互碰撞也須滿足能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒。以兩個(gè)聲子碰撞產(chǎn)生另一個(gè)聲子的三聲子過程為例。a.聲子間的相互作用{43若Gn=0,有這時(shí),q1、q2和q1+q2都在同一布里淵區(qū)中,這表示在碰撞過程中,聲子的準(zhǔn)動(dòng)量沒有發(fā)生變化,這種過程稱為正規(guī)過程,或N過程(normalprocesses)。N過程只改變動(dòng)量的分布,而不改變熱流的方向,不影響聲子的平均自由程,這種過程不產(chǎn)生熱阻。0q

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