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第3章電路分析中的常用定理3.1疊加定理(SuperpositionTheorem)疊加定理:在線性電路中,任一支路電流(或電壓)都是電路中各個獨立電源單獨作用時,在該支路產(chǎn)生的電流(或電壓)的代數(shù)和。

當一個電源單獨作用時,其余電源不作用,就意味著取零值。即對電壓源看作短路,而對電流源看作開路。電源既可是電壓源,也可是電流源。疊加定理是線性電路的一個基本定理。三個電源共同作用==us1單獨作用+us2單獨作用++us3單獨作用+us1R1R2us2R3us3i1i2i3+–+–+–iaibR1us1R2R3i1'i2'i3'+–R1R2us2R3i1''i2''i3''+–R1R2R3us3i1'''i2'''i3'''+–例:求電路中各支路電流由上式可見,各支路電流均為各電壓源的一次函數(shù),所以各支路電流(如i1)均可看成各電壓源單獨作用時,產(chǎn)生的電流(如i1',i1",i1"')之疊加。各支路電流為:其中:使用疊加定理時應注意:1、只適用于線性電路,只能用來計算電流或電壓,原電路的功率不等于各分電路計算所得的功率。3、每次只看一個獨立電源作用,對不作用的電源處理為:電壓源短路,電流源開路。2、疊加時注意電壓,電流的參考方向,當參考方向一致時相加;當參考方向不同時要相減。4、含受控源電路亦可用疊加定理,但受控源不能單獨

作用,受控源應始終保留。5、疊加方式是任意的,電源可單獨作用,也可分組作用。例1.求圖中電壓u。6+–10V4A+–4u解:(1)10V電壓源單獨作用,4A電流源開路4A6+–4u''u'=4V(2)4A電流源單獨作用,10V電壓源短路u"=-42.4=-9.6V共同作用:u=u'+u"=4+(-9.6)=-5.6V+–10V6+–4u'注意參考方向!例2

用疊加原理求I

解:12V電壓源單獨作用(如圖a):

12V+-1Ω4ΩI6A2A4Ω4Ω2Ω+-VI'124Ω4Ω4Ω2Ω1Ω圖a2A單獨作用(如圖c):

疊加:

6A單獨作用(如圖b):

4Ω6AI''2Ω4Ω1Ω4Ω''2AIΩ'4Ω4Ω4Ω2Ω1圖b圖c例3計算電壓u(獨立源分組作用)3A電流源作用:解:u+-12V2A+-13A366V+-畫出分電路圖+u''i''+-12V2A+-1366V+-13A36+-u'其余電源作用:例4

用疊加原理求4V電壓源發(fā)出的功率。

3V電源單獨作用:解:用疊加原理求電流I。

4V電源單獨作用:

疊加:4V電壓源發(fā)出的功率:例5.

求電壓Us。(1)10V電壓源單獨作用:(2)4A電流源單獨作用:解:Us'=-10I1'+4=-101+4=-6VUs"=-10I1"+2.44=-10(-1.6)+9.6=25.6V共同作用:Us=Us'+Us"=-6+25.6=19.6V+–10V6I14A+–Us+–10I1410V+–6I1'+–Us'+–10I1'46I1''4A+–Us''+–10I1''4例6封裝好的電路如圖,已知下列實驗數(shù)據(jù):研究激勵和響應關系的實驗方法解根據(jù)疊加定理代入實驗數(shù)據(jù):無源線性網(wǎng)絡uSi-+iS例7.解:采用倒推法:設i'=1A,推出此時us'=34V。則RL=2R1=1

R2=1us=51VR1R1R1R2R2RL+–usiR22A+–2V5A13A3A8A21A+–3V+–8V+–21V+–us'=34Vi'=1A推論:當電路中只有一個獨立電源時,由疊加定理推知,該電路中各處電壓或電流,都與該獨立電源成正比關系。這個關系稱為齊性定理。求電流i。1.5A在電路分析中,有時只需要研究電路中某一條支路的電壓或電流。對所研究的支路來說,電路的其余部分就成為一個有源二端網(wǎng)絡,可等效變換為較簡單的含源支路(電壓源與電阻串聯(lián)或電流源與電阻并聯(lián)支路),使分析和計算簡化。戴維南定理和諾頓定理正是給出了等效含源支路及其計算方法。戴維南定理和諾頓定理合稱為等效電源定理。R3R1R5R4R2iRxab+–us

3.2戴維南定理與諾頓定理1、定理內(nèi)容:任何一個線性含有獨立電源、線性電阻和線性受控源的二端網(wǎng)絡,對外電路來說,可以用一個電壓源(Uoc)和電阻Req的串聯(lián)組合來等效置換;此電壓源的電壓等于一端口的開路電壓,而電阻等于一端口中全部獨立電源置零后的輸入電阻。

(對外等效!)AabiiabReqUoc+-

3.2.1戴維南定理(TheveninEquivalent)2.證明:(a)(b)(對a)利用替代定理,將外部電路用電流源替代,此時u,i值不變。計算u值。=+根據(jù)疊加定理,可得電流源i為零網(wǎng)絡A中獨立源全部置零12Ai+–uN'iUoc+–uN'12+–Req12Ai+–u12A+–u'12Pi+–u''Requ'=

Uoc(外電路開路時1

、2間開路電壓)

u"=

-

Reqiu=u'+u"=

Uoc

-

Reqi此關系式恰與圖(b)電路相同。例1010+–20V+–Uocab+–10V1A52A+–Uocab515VabReqUoc+-應用電源等效變換I例(1)

求開路電壓Uoc(2)

求輸入電阻Req1010+–20V+–Uocab+–10V515VabReqUoc+-應用戴維南定理

兩種解法結果一致,戴維南定理更具普遍性。注意3小結:(1)戴維南等效電路中電壓源電壓等于將外電路斷開時的開路電壓Uoc,電壓源方向與所求開路電壓方向有關。(2)

串聯(lián)電阻為將一端口網(wǎng)絡內(nèi)部獨立電源全部置零(電壓源短路,電流源開路)后,所得無源一端口網(wǎng)絡的等效電阻。(3)

外電路發(fā)生改變時,含源一端口網(wǎng)絡的等效電路不變(伏-安特性等效)。(4)

當一端口內(nèi)部含有受控源時,其控制電路也必須包含在被化簡的一端口中。

注意:u與i

的方向向內(nèi)部關聯(lián)

求等效電阻的一般方法

外加激勵法(原二端網(wǎng)絡中獨立源全為零值)

N0iu+_N0iu+_i

注意:uoc與isc的方向在開路與短路支路上關聯(lián)

求等效電阻的一般方法

開路短路法Nuoc+_..Nisc

求等效電阻Req時,若電路為純電阻網(wǎng)絡,可以用串、并聯(lián)化簡時,直接用串、并聯(lián)化簡的方法求

說明

無法用串并聯(lián)化簡時,則用一般方法求

當電路中含受控源時,則一定要用一般方法求其戴維南等效電阻例.計算Rx分別為1.2、5.2時的I.IRxab+–10V4664解:保留Rx支路,將其余一端口網(wǎng)絡化為戴維南等效電路:ab+–10V466–+U24+–U1IRxIabUoc+–RxReq(1)求開路電壓Uoc=U1+U2

=-104/(4+6)+106/(4+6)=-4+6=2Vab+–10V466–+U24+–U1+-Uoc(2)求等效電阻ReqReq=4//6+6//4=4.8(3)Rx

=1.2時,I=Uoc/(Req+Rx)=2/6=0.333ARx=5.2時,I=Uoc/(Req+Rx)=2/10=0.2AReqab4664

圖示電路,當R分別為1、3、5時,求相應R支路電流。解:

求uoc:IR12V+-2Ω4A8V+-2Ω8V+-4Ω4Ω+-6V將左邊電路作電源等效變換后,有:去掉全部電源求R0:

+

-uoc0IR16V+-3Ω戴維南等效電路如右圖:當R=1時:當R=3時:當R=5時:含受控源電路中戴維南定理的應用求U0。+–336I+–9V+–U0ab6I例.abUoc+–Req3U0-+解:(1)求開路電壓UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9VUocab36I+–9V+–+–6I(2)求等效電阻Req方法1:加壓求流U0=6I+3I=9II=I06/(6+3)=(2/3)I0U0=9(2/3)I0=6I0Req=U0/I0=6方法2:開路電壓、短路電流(注意方向)(Uoc=9V)6I1+3I=9I=-6I/3=-2II=0Isc=9/6=1.5AReq=Uoc/Isc=9/1.5=666I3I+–9VIscab+–I1ⅠⅡU0I036I+–ab+–6I(3)等效電路abUoc+–Req3U0-+69V例

求流過9Ω電阻的電流。+-uoc49+-Ωixi6+-V620ΩΩixiΩR+-ixou646+-ixΩKVL:求Req:方法一:將20V短接,外加電源u。解:斷開9Ω支路求UocKVL:

方法二:將a、b短路,此時ix=0Ω30V69+-iΩVΩ4sc+-+-6206xiabiixΩ則:6ix=0所以戴維南等效電路如有圖:00例.解:(1)a、b開路,I=0,Uoc=10V(2)求Req:加壓求流法U0=(I0-0.5I0)+I0

=1.5I0Req=U0/I0=1.5kabUoc+–+–U

R0.5kReq(含受控源電路)用戴維南定理求U+–10V1k1k0.5Iab

R0.5k+–UI1k1k0.5Iab+–U0II0U=Uoc

500/(1500+500)=2.5VIsc=-I,(I-0.5I)103+I103+10=01500I=-10I=-1/150A即Isc=1/150A

Req=Uoc/Isc=10150=1500ab10V+–+–U

R0.5k1.5k(3)等效電路:開路電壓Uoc、短路電流Isc法求Req:Req=Uoc/IscUoc=10V(已求出)求短路電流Isc(將a、b短路):另:+–10V1k1k0.5IabIIsc加流求壓法求ReqI=I0U0=0.5I0103+I0103=1500I0Req=U0/I0=15001k1k0.5Iab+–U0II0解畢!任何一個含獨立電源,線性電阻和線性受控源的一端口,對外電路來說,可以用一個電流源和電導(電阻)的并聯(lián)組合來等效置換;電流源的電流等于該一端口的短路電流,而電導(電阻)等于把該一端口的全部獨立電源置零后的輸入電導(電阻)。3.2.2諾頓定理(NortonEquivalent)戴維南定理和諾頓定理也常稱為等效發(fā)電機定理。AababGi(Ri)Isc諾頓等效電路可由戴維南等效電路經(jīng)電源等效變換得到。例.求電流I。12V1024Va42+–bI+–4IabGi(Ri)Isc(1)求IscI1=12/2=6A

I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A解:210+–24VabIsc+–I1I212V(2)求Req:串并聯(lián)Req=102/(10+2)=1.67(3)諾頓等效電路:I=-

Isc1.67/(4+1.67)=9.61.67/5.67=2.83AReq210abb4Ia1.67-9.6A解畢!

最大功率傳輸定理

一個含源線性二端網(wǎng)絡,總可以用一條戴維南等效電路對外部等效。當此含源線性二端網(wǎng)絡外接一個負載電阻時,其中等效電源發(fā)出的功率將由等效電阻與負載電阻共同所吸收。在電子技術中,總希望負載電阻上所獲得的功率越大越好。那么,在什么條件下,負載電阻方可獲得最大功率?負載電阻的最大功率值Pmax=?

NiRLUoc+_ReqiRL負載電阻的功率:而:故:利用數(shù)學中求極值的方法:令,得Uoc+_ReqiRL

當負載電阻R

L與戴維寧等效電阻Req相等時,負載電阻可從含源線性二端網(wǎng)絡獲得最大功率。此時最大功率為:

而戴維寧等效電路中電源UOC的效率:

可見此時等效電源Uoc的效率只達50%,而Uoc所產(chǎn)生的功率有一半白白地損耗在等效電阻Req上,這在電力系統(tǒng)中是決不允許的,故電力系統(tǒng)中通常取RL>>Req。負載電阻吸收的功率和電源Uoc的效率隨負載電阻變化的曲線如圖所示

注意:此時是指可調(diào)負載RL可獲最大功率的條件為

RL=Req,而不是Req可調(diào)

50%PmaxP,η

P~RLη~RL0RL

定理內(nèi)容:3.3替代定理(SubstitutionTheorem)在任意的線性或非線性網(wǎng)絡中,若已知第k條支路的電壓和電流為Uk和Ik,則不論該支路是何元件組成的,總可以用下列的任何一個元件去替代:3、電阻值為的理想電阻元件Rk

1、電壓值為Uk的理想電壓源2、電流值為Ik的理想電流源

替代后電路中全部電壓和電流都將保持原值不變

替代定理如圖所示電路說明

NIkUk+_可替代為NIkUk+_NIkUk+_可替代為NIkUk+_NIkUk+_可替代為NIkUk+_Rk注:1.替代定理既適用于線性電路,也適用于非線性電路。3.替代后其余支路及參數(shù)不能改變。2.若支路中的電壓或電流為其余電路中受控源的控制量,則該支路不能被替代。4.分析電路時,對電路中各等電位點可以看作短路,對其零電流支路可以當作開路處理。例.求圖示電路中R的值。I3=8/5A124812AΩRIRI2ΩΩΩUR+-+4.84A48V4Ω-

用4A電流源替代R,且電路化簡后如圖示。解:有:1、疊加定理線性電路中,如果激勵為多個獨立源,每個支路的響應可以看作是每個獨立源單獨作用時,在該支路上產(chǎn)生的響應的疊加。a.疊加定理只適用于線性電路。b.在各分電路中只有一個電源作用,其余電源置零,電阻和受控源要保留在分電路中。電壓源為零電流源為零—短

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