第三章電路分析中的常用定理

第3章電路分析中的常用定理3.1疊加定理(SuperpositionTheorem)疊加定理:在線性電路中，任一支路電流(或電壓)都是電路中各個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用時(shí)，在該支路產(chǎn)生的電流(或電壓)的代數(shù)和。

當(dāng)一個(gè)電源單獨(dú)作用時(shí)，其余電源不作用，就意味著取零值。即對(duì)電壓源看作短路，而對(duì)電流源看作開路。電源既可是電壓源,也可是電流源。疊加定理是線性電路的一個(gè)基本定理。三個(gè)電源共同作用==us1單獨(dú)作用+us2單獨(dú)作用++us3單獨(dú)作用+us1R1R2us2R3us3i1i2i3+–+–+–iaibR1us1R2R3i1'i2'i3'+–R1R2us2R3i1''i2''i3''+–R1R2R3us3i1'''i2'''i3'''+–例：求電路中各支路電流由上式可見，各支路電流均為各電壓源的一次函數(shù)，所以各支路電流（如i1）均可看成各電壓源單獨(dú)作用時(shí)，產(chǎn)生的電流（如i1'，i1"，i1"'）之疊加。各支路電流為：其中：使用疊加定理時(shí)應(yīng)注意：1、只適用于線性電路，只能用來計(jì)算電流或電壓，原電路的功率不等于各分電路計(jì)算所得的功率。3、每次只看一個(gè)獨(dú)立電源作用，對(duì)不作用的電源處理為：電壓源短路，電流源開路。2、疊加時(shí)注意電壓，電流的參考方向，當(dāng)參考方向一致時(shí)相加；當(dāng)參考方向不同時(shí)要相減。4、含受控源電路亦可用疊加定理，但受控源不能單獨(dú)

作用，受控源應(yīng)始終保留。5、疊加方式是任意的,電源可單獨(dú)作用，也可分組作用。例1.求圖中電壓u。6+–10V4A+–4u解:(1)10V電壓源單獨(dú)作用，4A電流源開路4A6+–4u''u'=4V(2)4A電流源單獨(dú)作用，10V電壓源短路u"=-42.4=-9.6V共同作用：u=u'+u"=4+(-9.6)=-5.6V+–10V6+–4u'注意參考方向！例2

用疊加原理求I

。

解：12V電壓源單獨(dú)作用（如圖a):

12V+-1Ω4ΩI6A2A4Ω4Ω2Ω+-VI＇124Ω4Ω4Ω2Ω1Ω圖a2A單獨(dú)作用(如圖c)：

疊加：

6A單獨(dú)作用(如圖b)：

4Ω6AI＇＇2Ω4Ω1Ω4Ω＇＇２AIΩ＇4Ω4Ω4Ω2Ω1圖b圖c例3計(jì)算電壓u(獨(dú)立源分組作用)3A電流源作用：解:u＋－12V2A＋－13A366V＋－畫出分電路圖＋u''i''＋－12V2A＋－1366V＋－13A36＋－u'其余電源作用：例4

用疊加原理求4V電壓源發(fā)出的功率。

3V電源單獨(dú)作用：解：用疊加原理求電流I。

4V電源單獨(dú)作用：

疊加：4V電壓源發(fā)出的功率：例5.

求電壓Us。(1)10V電壓源單獨(dú)作用：(2)4A電流源單獨(dú)作用：解:Us'=-10I1'+4=-101+4=-6VUs"=-10I1"+2.44=-10(-1.6)+9.6=25.6V共同作用：Us=Us'+Us"=-6+25.6=19.6V+–10V6I14A+–Us+–10I1410V+–6I1'+–Us'+–10I1'46I1''4A+–Us''+–10I1''4例6封裝好的電路如圖，已知下列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：研究激勵(lì)和響應(yīng)關(guān)系的實(shí)驗(yàn)方法解根據(jù)疊加定理代入實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：無源線性網(wǎng)絡(luò)uSi－＋iS例7.解:采用倒推法：設(shè)i'=1A，推出此時(shí)us'=34V。則RL=2R1=1

R2=1us=51VR1R1R1R2R2RL+–usiR22A+–2V5A13A3A8A21A+–3V+–8V+–21V+–us'=34Vi'=1A推論：當(dāng)電路中只有一個(gè)獨(dú)立電源時(shí)，由疊加定理推知，該電路中各處電壓或電流，都與該獨(dú)立電源成正比關(guān)系。這個(gè)關(guān)系稱為齊性定理。求電流i。1.5A在電路分析中，有時(shí)只需要研究電路中某一條支路的電壓或電流。對(duì)所研究的支路來說，電路的其余部分就成為一個(gè)有源二端網(wǎng)絡(luò)，可等效變換為較簡(jiǎn)單的含源支路(電壓源與電阻串聯(lián)或電流源與電阻并聯(lián)支路),使分析和計(jì)算簡(jiǎn)化。戴維南定理和諾頓定理正是給出了等效含源支路及其計(jì)算方法。戴維南定理和諾頓定理合稱為等效電源定理。R3R1R5R4R2iRxab+–us

3.2戴維南定理與諾頓定理1、定理內(nèi)容:任何一個(gè)線性含有獨(dú)立電源、線性電阻和線性受控源的二端網(wǎng)絡(luò)，對(duì)外電路來說，可以用一個(gè)電壓源(Uoc)和電阻Req的串聯(lián)組合來等效置換；此電壓源的電壓等于一端口的開路電壓，而電阻等于一端口中全部獨(dú)立電源置零后的輸入電阻。

(對(duì)外等效！)AabiiabReqUoc+-

3.2.1戴維南定理(TheveninEquivalent)2.證明:(a)(b)(對(duì)a)利用替代定理，將外部電路用電流源替代，此時(shí)u,i值不變。計(jì)算u值。=+根據(jù)疊加定理，可得電流源i為零網(wǎng)絡(luò)A中獨(dú)立源全部置零12Ai+–uN'iUoc+–uN'12+–Req12Ai+–u12A+–u'12Pi+–u''Requ'=

Uoc(外電路開路時(shí)1

、2間開路電壓)

u"=

-

Reqiu=u'+u"=

Uoc

-

Reqi此關(guān)系式恰與圖(b)電路相同。例1010+–20V+–Uocab+–10V1A52A+–Uocab515VabReqUoc+-應(yīng)用電源等效變換I例(1)

求開路電壓Uoc(2)

求輸入電阻Req1010+–20V+–Uocab+–10V515VabReqUoc+-應(yīng)用戴維南定理

兩種解法結(jié)果一致，戴維南定理更具普遍性。注意3小結(jié)：(1)戴維南等效電路中電壓源電壓等于將外電路斷開時(shí)的開路電壓Uoc，電壓源方向與所求開路電壓方向有關(guān)。(2)

串聯(lián)電阻為將一端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部獨(dú)立電源全部置零(電壓源短路，電流源開路)后，所得無源一端口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。(3)

外電路發(fā)生改變時(shí)，含源一端口網(wǎng)絡(luò)的等效電路不變(伏-安特性等效)。(4)

當(dāng)一端口內(nèi)部含有受控源時(shí)，其控制電路也必須包含在被化簡(jiǎn)的一端口中。

注意：u與i

的方向向內(nèi)部關(guān)聯(lián)

求等效電阻的一般方法

外加激勵(lì)法（原二端網(wǎng)絡(luò)中獨(dú)立源全為零值）

N0iu+_N0iu+_i

注意：uoc與isc的方向在開路與短路支路上關(guān)聯(lián)

求等效電阻的一般方法

開路短路法Nuoc+_..Nisc

求等效電阻Req時(shí)，若電路為純電阻網(wǎng)絡(luò)，可以用串、并聯(lián)化簡(jiǎn)時(shí)，直接用串、并聯(lián)化簡(jiǎn)的方法求

說明

無法用串并聯(lián)化簡(jiǎn)時(shí)，則用一般方法求

當(dāng)電路中含受控源時(shí)，則一定要用一般方法求其戴維南等效電阻例.計(jì)算Rx分別為1.2、5.2時(shí)的I.IRxab+–10V4664解：保留Rx支路，將其余一端口網(wǎng)絡(luò)化為戴維南等效電路：ab+–10V466–+U24+–U1IRxIabUoc+–RxReq(1)求開路電壓Uoc=U1+U2

=-104/(4+6)+106/(4+6)=-4+6=2Vab+–10V466–+U24+–U1+-Uoc(2)求等效電阻ReqReq=4//6+6//4=4.8(3)Rx

=1.2時(shí)，I=Uoc/(Req+Rx)=2/6=0.333ARx=5.2時(shí)，I=Uoc/(Req+Rx)=2/10=0.2AReqab4664

例

圖示電路，當(dāng)R分別為1、3、5時(shí)，求相應(yīng)R支路電流。解：

求uoc：IR12V+-2Ω4A8V+-2Ω8V+-4Ω4Ω+-6V將左邊電路作電源等效變換后，有：去掉全部電源求R0：

+

-uoc0IR16V+-3Ω戴維南等效電路如右圖：當(dāng)R=1時(shí)：當(dāng)R=3時(shí)：當(dāng)R=5時(shí)：含受控源電路中戴維南定理的應(yīng)用求U0。+–336I+–9V+–U0ab6I例.abUoc+–Req3U0-+解：(1)求開路電壓UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9VUocab36I+–9V+–+–6I(2)求等效電阻Req方法1：加壓求流U0=6I+3I=9II=I06/(6+3)=(2/3)I0U0=9(2/3)I0=6I0Req=U0/I0=6方法2：開路電壓、短路電流(注意方向)(Uoc=9V)6I1+3I=9I=-6I/3=-2II=0Isc=9/6=1.5AReq=Uoc/Isc=9/1.5=666I3I+–9VIscab+–I1ⅠⅡU0I036I+–ab+–6I(3)等效電路abUoc+–Req3U0-+69V例

求流過9Ω電阻的電流。+-uoc49+-Ωixi6+-V620ΩΩixiΩR+-ixou646+-ixΩKVL:求Req：方法一:將20V短接,外加電源u。解：斷開9Ω支路求UocKVL：

方法二:將a、b短路，此時(shí)ix=0Ω30V69+-iΩVΩ4sc+-+-6206xiabiixΩ則：6ix=0所以戴維南等效電路如有圖：00例.解：(1)a、b開路，I=0，Uoc=10V(2)求Req：加壓求流法U0=(I0-0.5I0)+I0

=1.5I0Req=U0/I0=1.5kabUoc+–+–U

R0.5kReq(含受控源電路)用戴維南定理求U+–10V1k1k0.5Iab

R0.5k+–UI1k1k0.5Iab+–U0II0U=Uoc

500/(1500+500)=2.5VIsc=-I，(I-0.5I)103+I103+10=01500I=-10I=-1/150A即Isc=1/150A

Req=Uoc/Isc=10150=1500ab10V+–+–U

R0.5k1.5k(3)等效電路：開路電壓Uoc、短路電流Isc法求Req：Req=Uoc/IscUoc=10V（已求出）求短路電流Isc(將a、b短路)：另：+–10V1k1k0.5IabIIsc加流求壓法求ReqI=I0U0=0.5I0103+I0103=1500I0Req=U0/I0=15001k1k0.5Iab+–U0II0解畢！任何一個(gè)含獨(dú)立電源，線性電阻和線性受控源的一端口，對(duì)外電路來說，可以用一個(gè)電流源和電導(dǎo)(電阻)的并聯(lián)組合來等效置換；電流源的電流等于該一端口的短路電流，而電導(dǎo)(電阻)等于把該一端口的全部獨(dú)立電源置零后的輸入電導(dǎo)(電阻)。3.2.2諾頓定理(NortonEquivalent)戴維南定理和諾頓定理也常稱為等效發(fā)電機(jī)定理。AababGi(Ri)Isc諾頓等效電路可由戴維南等效電路經(jīng)電源等效變換得到。例.求電流I。12V1024Va42+–bI+–4IabGi(Ri)Isc(1)求IscI1=12/2=6A

I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A解：210+–24VabIsc+–I1I212V(2)求Req：串并聯(lián)Req=102/(10+2)=1.67(3)諾頓等效電路:I=-

Isc1.67/(4+1.67)=9.61.67/5.67=2.83AReq210abb4Ia1.67-9.6A解畢！

最大功率傳輸定理

一個(gè)含源線性二端網(wǎng)絡(luò)，總可以用一條戴維南等效電路對(duì)外部等效。當(dāng)此含源線性二端網(wǎng)絡(luò)外接一個(gè)負(fù)載電阻時(shí)，其中等效電源發(fā)出的功率將由等效電阻與負(fù)載電阻共同所吸收。在電子技術(shù)中，總希望負(fù)載電阻上所獲得的功率越大越好。那么，在什么條件下，負(fù)載電阻方可獲得最大功率？負(fù)載電阻的最大功率值Pmax=？

NiRLUoc+_ReqiRL負(fù)載電阻的功率：而：故：利用數(shù)學(xué)中求極值的方法：令,得Uoc+_ReqiRL

當(dāng)負(fù)載電阻R

L與戴維寧等效電阻Req相等時(shí)，負(fù)載電阻可從含源線性二端網(wǎng)絡(luò)獲得最大功率。此時(shí)最大功率為：

而戴維寧等效電路中電源UOC的效率:

可見此時(shí)等效電源Uoc的效率只達(dá)50%，而Uoc所產(chǎn)生的功率有一半白白地?fù)p耗在等效電阻Req上，這在電力系統(tǒng)中是決不允許的，故電力系統(tǒng)中通常取RL>>Req。負(fù)載電阻吸收的功率和電源Uoc的效率隨負(fù)載電阻變化的曲線如圖所示

注意：此時(shí)是指可調(diào)負(fù)載RL可獲最大功率的條件為

RL=Req，而不是Req可調(diào)

50%PmaxP,η

P~RLη～RL0RL

定理內(nèi)容:3.3替代定理(SubstitutionTheorem)在任意的線性或非線性網(wǎng)絡(luò)中，若已知第k條支路的電壓和電流為Uk和Ik，則不論該支路是何元件組成的，總可以用下列的任何一個(gè)元件去替代：3、電阻值為的理想電阻元件Rk

1、電壓值為Uk的理想電壓源2、電流值為Ik的理想電流源

替代后電路中全部電壓和電流都將保持原值不變

替代定理如圖所示電路說明

NIkUk+_可替代為NIkUk+_NIkUk+_可替代為NIkUk+_NIkUk+_可替代為NIkUk+_Rk注：1.替代定理既適用于線性電路，也適用于非線性電路。3.替代后其余支路及參數(shù)不能改變。2.若支路中的電壓或電流為其余電路中受控源的控制量，則該支路不能被替代。4.分析電路時(shí)，對(duì)電路中各等電位點(diǎn)可以看作短路，對(duì)其零電流支路可以當(dāng)作開路處理。例.求圖示電路中R的值。I3=8/5A124812AΩRIRI2ΩΩΩUR+-+4.84A48V4Ω-

用4A電流源替代R，且電路化簡(jiǎn)后如圖示。解：有：1、疊加定理線性電路中，如果激勵(lì)為多個(gè)獨(dú)立源，每個(gè)支路的響應(yīng)可以看作是每個(gè)獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)，在該支路上產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。a.疊加定理只適用于線性電路。b.在各分電路中只有一個(gè)電源作用，其余電源置零，電阻和受控源要保留在分電路中。電壓源為零電流源為零—短