第19講 圓的弧長及扇形面積

第19課圓的弧長和圖形面積的計算要點梳理1．圓的弧長及扇形面積(1)半徑為r，弧為n°的圓心角所對的弧長公式：

l＝____________；(2)半徑為r，孤為n°的圓心角所對的扇形面積公式：S＝____________．首頁1．如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在格點上，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，則頂點A所經(jīng)過的路徑長為(

)A．10π

B.

C.

π

D．πC題型分類題型一圓弧長【例1】(2013·玉林)如圖，實線部分是半徑為15m的兩條等弧組成的游泳池，若每條弧所在的圓都經(jīng)過另一個圓的圓心，則游泳池的周長是________m.40π如圖，連接O1O2，CD，CO1，CO2，DO1，DO2.∵O1O2＝CO2＝CO1＝15cm，∴∠CO2O1＝60°，∴CD所對的圓心角＝360°－120°＝240°，∴∠CO2D＝120°，首頁1．(2013·宜賓)如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF…叫做“正三角形的漸開線”，其中CD，DE，EF，…的圓心按點A，B，C循環(huán)．如果AB＝1，那么曲線CDEF的長是

(結(jié)果保留π)．︵︵︵4π例2(2013·黃岡)如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l作無滑動翻滾，當點A第一次翻滾到點A1位置時，則點A經(jīng)過的路線長為________．【思路分析】如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，點A經(jīng)過的路線長是三段：①以90°為圓心角，AD長為半徑的扇形的弧長；②以90°為圓心角，AB長為半徑的扇形的弧長；③以90°為圓心角，矩形ABCD的對角線長為半徑的扇形的弧長．圖34－1忽視關鍵位置的運動路徑【問題】如圖，將半徑為2cm的圓形紙板沿著長和寬分別為16cm和12cm的矩形的外側(cè)滾動一周并回到開始的位置，圓心所經(jīng)過的路線長是____cm.【分析】錯誤解答是圓心所經(jīng)過的路線長為2×(16＋12)＝56(cm)．錯誤在于圓形紙板繞矩形外側(cè)滾動一周，其圓心運動路程實際上不是一個矩形的周長，而是原矩形周長和圓的周長和，如圖．【正解】圓心所經(jīng)過的路線長為2×(16＋12)＋2π×2＝(4π＋56)(cm)．(2)(2013·貴陽)在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，有一個半徑為1的硬幣與邊AB、AD相切，硬幣從如圖所示的位置開始，在矩形內(nèi)沿著邊AB、BC、CD、DA滾動到開始的位置為止，硬幣自身滾動的圈數(shù)大約是()A．1圈B．2圈C．3圈D．4圈解析如圖，作OE⊥AD，OF⊥AB，則E、F為AD、AB與⊙O的切點，易證四邊形OEAF是正方形，則AF＝OE＝1.首頁(2)(2013·貴陽)在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，有一個半徑為1的硬幣與邊AB、AD相切，硬幣從如圖所示的位置開始，在矩形內(nèi)沿著邊AB、BC、CD、DA滾動到開始的位置為止，硬幣自身滾動的圈數(shù)大約是()A．1圈B．2圈C．3圈D．4圈∵⊙O的周長＝2π×1＝2π，硬幣從如圖所示的位置開始，在矩形內(nèi)沿著邊AB、BC、CD、DA滾動到開始的位置為止，硬幣自身滾動的路程是：2(AB＋BC)－8AF＝20－8＝12，∴硬幣自身滾動的圈數(shù)大約是：12÷2π≈2(圈)．故選B.B首頁要點梳理2．求陰影部分面積的幾種常見方法(1)公式法；(2)割補法；(3)拼湊法；(4)等積變形構造方程法；(5)去重法．首頁例3、如圖，以矩形ABCD的邊AB為直徑的半圓切CD于點E，已知AB=a，則夾在BD、DE及弧EB間的陰影部分面積為ABCDO題型分類

題型二扇形面積公式1．如圖，四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，則圖中陰影部分的面積是(

)A.

B.

C．π－

D．π－第2題圖例5．（’１４樂山）如圖，正方形ABCD的邊長為３，以A為圓心，２為半徑作圓弧，以D為圓心，３為半徑作圓?。魣D中陰影部分的面積分別為S１、Ｓ２．則Ｓ１－Ｓ２＝．要點梳理圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，若設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr.(1)圓錐側(cè)面積公式：S圓錐側(cè)＝___________；(2)圓錐全面積公式：S圓錐全＝___________；(3)圓錐側(cè)面展開圖扇形圓心角公式：θ＝___________．πrl

πrl＋πr2

首頁3．圓錐的側(cè)面積和全面積助學微博三個等量關系(1)展開圖扇形的弧長＝圓錐下底的周長；(2)展開圖扇形的面積＝圓錐的側(cè)面積；(3)展開圖扇形的半徑＝圓錐的母線．首頁題型分類題型三圓錐【例7】如圖，如果從半徑為9cm的圓形紙片剪去圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐(接縫處不疊合)，求這個圓錐的高．首頁知能遷移3(1)(2013·綏化)直角三角形兩直角邊長是3cm和4cm，以該三角形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的表面積是_________________cm2.(結(jié)果保留π)當以3的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時，其所得到的幾何體的表面積當以4的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時，其所得到的幾何體的表面積首頁知能遷移3(1)(2013·綏化)直角三角形兩直角邊長是3cm和4cm，以該三角形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的表面積是_________________cm2.(結(jié)果保留π)當以5的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時，其所得到的幾何體為共一個底面的兩圓錐，其底面圓的面積半徑＝，所以此幾何體的表面積首頁(2)(2013·佛山)如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，求母線AB與高AO的夾角．(參考公式：圓錐的側(cè)面積

S＝πrl，其中r為底面半徑，l為母線長．)分析設出圓錐的半徑與母線長，利用圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長得到圓錐的半徑與母線長，進而表示出母線與高的夾角的正弦值，也就求出了夾角的度數(shù)．首頁(2)(2013·佛山)如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，求母線AB與高AO的夾角．(參考公式：圓錐的側(cè)面積

S＝πrl，其中r為底面半徑，l為母線長．)解設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則πl(wèi)＝2πr，l＝2r，∴母線AB與高AO的夾角為30°.首頁答題規(guī)范12.圓錐中容易混淆的概念考題再現(xiàn)扇形的半徑為30cm，圓心角為120°，用它做成一個圓錐的側(cè)面，求圓錐的側(cè)面積是