第二章 質(zhì)點組力學(xué)

理論力學(xué)多媒體課件西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)物理教研室主講：賈偉堯新浪微博：@賈湖居士1第2章質(zhì)點組力學(xué)2§2.1

質(zhì)點組§2.2動量定理與動量守恒律§2.3動量矩定理與動量矩守恒律§2.4動能定理與機械能守恒律

§2.5兩體問題(難點）§2.6質(zhì)心坐標(biāo)系與實驗室坐標(biāo)系(難點）§2.7變質(zhì)量物體的運動(難點）§2.8維里定理

(自學(xué)）本章主要學(xué)習(xí)內(nèi)容§2.1質(zhì)點組第2章質(zhì)點組力學(xué)3教學(xué)基本要求和重點、難點1、教學(xué)基本要求（1）掌握質(zhì)點組的特點和質(zhì)點組動力學(xué)的基本定理和守恒律；（2）掌握質(zhì)心和質(zhì)心坐標(biāo)系中的動力學(xué)基本定理以及質(zhì)心系與實驗坐標(biāo)系的相互關(guān)系；（3）掌握變質(zhì)量物體的運動方程。2、重點、難點重點：質(zhì)點組動量定理與動量守恒律、動量矩定理與動量矩守恒律、動能定理與機械能守恒律。難點：兩體問題；質(zhì)心坐標(biāo)系與實驗室坐標(biāo)系。§2.1質(zhì)點組第2章質(zhì)點組力學(xué)4本章作業(yè)1、5、7、14、§2.1質(zhì)點組第2章質(zhì)點組力學(xué)5§2.1質(zhì)點組第2章質(zhì)點組力學(xué)一、質(zhì)點組的內(nèi)力和外力1、內(nèi)力（internalforce）質(zhì)點組內(nèi)部各質(zhì)點之間的相互作用力（滿足牛頓第三定律）。j對i

的作用力6內(nèi)力的性質(zhì)1：所有內(nèi)力的矢量和等于零。內(nèi)力的性質(zhì)2：所有內(nèi)力對任一點的矩（或?qū)θ我惠S的矩）的矢量和等于零。內(nèi)力§2.1質(zhì)點組第2章質(zhì)點組力學(xué)72、外力（externalforce）質(zhì)點組以外的物體對質(zhì)點組內(nèi)任一質(zhì)點的作用力?！?.1質(zhì)點組第2章質(zhì)點組力學(xué)8在力學(xué)中，如果一個質(zhì)點組不受任何外力作用，則叫做孤立系或閉合系。3、孤立系（閉合系）§2.1質(zhì)點組第2章質(zhì)點組力學(xué)9二、質(zhì)心（centerofmass）1、引入質(zhì)心的目的（簡化問題的處理）2、質(zhì)心(centroid)位置矢量的定義：質(zhì)心的位矢是質(zhì)點組中各質(zhì)點的位置以其質(zhì)量為權(quán)重的平均矢量。它可以代表質(zhì)點組的整體位置?！?.1質(zhì)點組第2章質(zhì)點組力學(xué)10可以證明，質(zhì)心是存在的，而且是唯一的。質(zhì)心的另一定義法：質(zhì)點組質(zhì)量對質(zhì)心的一次矩的矢量和等于零?！?.1質(zhì)點組第2章質(zhì)點組力學(xué)113、質(zhì)心滿足疊加原理：質(zhì)心位矢的分量形式為：§2.1質(zhì)點組第2章質(zhì)點組力學(xué)12

4、對于質(zhì)量連續(xù)分布的物體，上述公式中的求和號應(yīng)改為積分：(線，面，體)§2.1質(zhì)點組第2章質(zhì)點組力學(xué)13例1：求均勻扇形薄片的質(zhì)心。此扇形的半徑為r=a，所對的圓心角為2θ，并證明半圓片的質(zhì)點離圓心的距離為。證法1：14證法2：15證法3：16證法4：半圓形薄片如右圖所示：古魯金定理：有一塊平面圖形，繞這平面上的一條不穿過這圖形的直線為軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積，等于這圖形的面積與它的重心在旋轉(zhuǎn)時所經(jīng)過的路徑長度的乘積。這里半圓形薄片繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的球的體積，半圓形薄片的面積，由于對稱性，，為質(zhì)心（或者重心）到O點的距離，其旋轉(zhuǎn)一周時所過的路徑的長度為，根據(jù)古魯金定理，則有17§2.2動量定理與動量守恒律第2章質(zhì)點組力學(xué)一、質(zhì)點組動量定理18稱為質(zhì)點組的動量，質(zhì)點組中所有質(zhì)點動量的向量和。質(zhì)點組動量定理19質(zhì)點組動量定理分量表達(dá)式質(zhì)系動量對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在該質(zhì)點組上的外力主向量－質(zhì)點組動量定理。20實例分析人騎自行車在水平路面上由靜止出發(fā)開始前進(jìn)。是什么力使它有向前運動的速度？

內(nèi)力雖可改變質(zhì)點組中質(zhì)點的動量，但不能改變整個質(zhì)點組的動量。21根據(jù)質(zhì)點組的質(zhì)心公式（2）質(zhì)心運動定理質(zhì)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點組上外力主向量—質(zhì)心運動定理。

22對于質(zhì)點：牛頓第二定律，描述單個質(zhì)點運動與力之間的關(guān)系對于質(zhì)點系：質(zhì)心運動定理，描述質(zhì)點系整體運動與力之間的關(guān)系在研究質(zhì)心的運動時，可以將質(zhì)點組的質(zhì)量及所受的外力均集中到質(zhì)心。質(zhì)心運動定理揭示了動量定理的實質(zhì)：外力主向量只能改變質(zhì)點組質(zhì)心運動狀態(tài)。23實例分析質(zhì)心的運動決定于外力主向量。只受力偶作用的剛體總是圍繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動24（3）質(zhì)點組動量守恒律質(zhì)點組動量守恒質(zhì)心運動守恒C1、C2

均為常向量，由初始條件確定。25實例分析1太空中拔河，誰勝誰負(fù)？系統(tǒng)不受外力作用，所以動量守恒不分勝負(fù)！第2章質(zhì)點組力學(xué)§2.2動量定理與動量守恒律26實例分析2第2章質(zhì)點組力學(xué)§2.2動量定理與動量守恒律27實例分析3炮彈在空中爆炸第一塊炮彈碎片落地前和落地后質(zhì)心的運動軌跡？第2章質(zhì)點組力學(xué)§2.2動量定理與動量守恒律28解：本題沿水平方向（設(shè)為x方向）無外力作用，因為火藥爆炸力是內(nèi)力，故沿x方向動量守恒，即UVαxy（1）（用絕對速度，不能用相對速度）第2章質(zhì)點組力學(xué)§2.2動量定理與動量守恒律

例一門大炮停在鐵軌上，炮彈質(zhì)量為m，炮身和炮車質(zhì)量和等于M，炮車可以自由地在鐵軌上反沖。如炮身與地面成一角度α，炮彈相對炮身的速度為V，試求炮彈離開炮身時對地面的速度v

及炮車反沖的速度U

。29又由相對運動關(guān)系，知：（2）UVαxy由（1）及（2）得：第2章質(zhì)點組力學(xué)§2.2動量定理與動量守恒律30由于炮車反沖

而UVθxyαv第2章質(zhì)點組力學(xué)§2.2動量定理與動量守恒律31例2已知:為常量,均質(zhì)桿OA

=AB

=,兩桿質(zhì)量皆為,滑塊B質(zhì)量.求:質(zhì)心運動方程、軌跡及系統(tǒng)動量.第2章質(zhì)點組力學(xué)§2.2動量定理與動量守恒律32解:設(shè)，質(zhì)心運動方程為消去t得軌跡方程第2章質(zhì)點組力學(xué)§2.2動量定理與動量守恒律33系統(tǒng)動量沿x,y軸的投影為:系統(tǒng)動量的大小為:第2章質(zhì)點組力學(xué)§2.2動量定理與動量守恒律34質(zhì)量分別為mA和mB的兩個物塊A和B，用剛度系數(shù)為k的彈簧聯(lián)結(jié)。B塊放在地面上，靜止時A塊位于O位置。如將A塊壓下，使其具有初位移X0，此后突然松開，如所示。求地面對B塊的約束力NB。又X0多大時，B塊將跳起？BkxOA靜止平衡位置XO例3第2章質(zhì)點組力學(xué)§2.2動量定理與動量守恒律35例2解取系統(tǒng)為研究對象，畫受力圖。kBx平衡位置靜止AONBxAmAgmBg系統(tǒng)的動量為A作簡諧振動，初始條件為所以質(zhì)系動量定理第2章質(zhì)點組力學(xué)§2.2動量定理與動量守恒律36B塊跳起的條件為NB=0，即kBx平衡位置靜止AONBxAmAgmBg第2章質(zhì)點組力學(xué)§2.2動量定理與動量守恒律37§2.3質(zhì)系的動量矩定理和動量矩守恒律（1）質(zhì)系中各質(zhì)點對固定點O的動量矩定理（2）質(zhì)系中各質(zhì)點對固定點O的動量矩守恒律（3）質(zhì)點組對質(zhì)心的動量矩定理（4）質(zhì)系對任意動點的動量矩定理（5）質(zhì)點組對任意點的動量矩與對質(zhì)心的動量矩之間的關(guān)系§2.3動量矩定理與動量矩守恒律第2章質(zhì)點組力學(xué)38（1）質(zhì)系中各質(zhì)點對固定點O的動量矩定理3940質(zhì)系對定軸的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)系的外力對同軸的合力矩。41（2）質(zhì)系中各質(zhì)點對固定點O的動量矩守恒律42實例分析芭蕾舞演員花樣滑冰運動員§2.3動量矩定理與動量矩守恒律第2章質(zhì)點組力學(xué)4344（3）質(zhì)點組對質(zhì)心的動量矩定理

'y'yiirCrxyzC'x'zOivCviirCrxyzC'x'zOivCv45討論：質(zhì)點組每個質(zhì)點受到的慣性力的合力通過質(zhì)心，所以對質(zhì)心的力矩為零。動量矩是一個向量，它與矩心O的選擇有關(guān)。如果M’=0，則對質(zhì)點組質(zhì)心的動量矩J’守恒46（4）質(zhì)系對任意動點的動量矩定理zmiviAiCrirCxyAriOrA47（5）質(zhì)點組對固定點的動量矩與對質(zhì)心的動量矩之間的關(guān)系iviviirCrxyzC'x'zOCviirCrxyzC'x'zOCv'y48思考題一半徑為r的勻質(zhì)圓盤在水平面上純滾動，如圖所示。已知圓盤對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為Io，角速度為，質(zhì)心O點的速度為vo。試求圓盤對水平面上O1點的動量矩。49質(zhì)量均為m的A和B兩人同時從靜止開始爬繩。已知A的體質(zhì)比B的體質(zhì)好，因此A相對于繩的速率u1大于B相對于繩的速率u2。試問誰先到達(dá)頂端并求繩子的移動速率u。例150例1解取滑輪與A和B兩人為研究對象，因為外力為兩人所受重力，故外力合力矩為零，系統(tǒng)對O點動量矩守恒：設(shè)繩子移動的速率為u又因為初始動量矩為零，所以任何時間動量矩均為零，即51例1總結(jié)西南大學(xué)52質(zhì)量均為m的兩小球C和D用長為2l的無質(zhì)量剛性桿連接，并以其中點固定在鉛垂軸AB上，桿與AB軸之間的夾角為

，軸AB以勻角速度轉(zhuǎn)動。A、B軸承間的距離為h。求(1).系統(tǒng)對O點的動量矩；(2).A、B軸承的約束反力。例253例2解(1).系統(tǒng)對O點的動量矩角速度向量兩小球的矢徑它們的速度由質(zhì)系的動量矩的定義可得取整體系統(tǒng)為研究對象，建立固結(jié)桿坐標(biāo)系54例2解(2).求A、B軸承的約束力55由質(zhì)系的質(zhì)心運動定理得外力對O點的主矩為質(zhì)系對質(zhì)心的動量矩定理：56例2以x軸的定軸轉(zhuǎn)動(非慣性系)加慣性力，畫受力圖由質(zhì)心運動定理57§2.4動能定理與機械能守恒定律

（1）質(zhì)點動能定理（2）機械能守恒定律（3）柯尼希定理

（4）對質(zhì)心的動能定理§2.5兩體問題§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質(zhì)點組力學(xué)58質(zhì)系動能的微分等于作用在質(zhì)系上所有力的元功之和。質(zhì)點動能定理（1）質(zhì)系動能定理§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質(zhì)點組力學(xué)59注意：一般內(nèi)力的功不為0，因為一對內(nèi)力的功為：質(zhì)系動能定理的積分形式質(zhì)系從狀態(tài)1到狀態(tài)2的運動過程中，其動能的改變量等于作用于質(zhì)系的所有力在這段路程中所作功的代數(shù)和?！?.4動能定理與機械能守恒律第2章質(zhì)點組力學(xué)60內(nèi)力雖然不能改變質(zhì)系的動量和動量矩，但可能改變它的能量:實例分析炮彈爆炸碰撞若外力是保守力（如重力）,則能量不變,但是可以改變動量和動量矩.§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質(zhì)點組力學(xué)61當(dāng)質(zhì)系在勢力場中運動，有勢力所作的功：機械能守恒：（2）機械能守恒定律（3）柯尼希定理（質(zhì)點組對固定點的動能定理）§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質(zhì)點組力學(xué)62（4）對質(zhì)心的動能定理慣性力的功為0對質(zhì)心的動能定理表明：質(zhì)點組所受全部外力和內(nèi)力對質(zhì)心的位移的功等于質(zhì)點組對質(zhì)心動能的改變.

63小結(jié)質(zhì)點組的三個動力學(xué)基本定理（靜系）動量定理動量矩定理動能定理或或§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質(zhì)點組力學(xué)64質(zhì)點組的三個動力學(xué)基本定理（C系）動量定理動量矩定理動能定理或§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質(zhì)點組力學(xué)65質(zhì)點組的三個守恒律動量動量矩機械能作用在質(zhì)點組上的所有外力及內(nèi)力都是保守力§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質(zhì)點組力學(xué)66三個動力學(xué)基本定理在分量形式下共有上面七個方程：質(zhì)點組的獨立變量通常大于7，所以這些方程不能確定質(zhì)點系中每一質(zhì)點的運動（剛體除外）;這些方程可以得出質(zhì)點組運動的總趨向和某些特征，特別是與質(zhì)點有關(guān)的總趨向和某些特征；若質(zhì)點組由兩個質(zhì)點組成，特殊情況下利用動力學(xué)定理或者相關(guān)守恒律可以求解它們的運動。67例1P96兩自由質(zhì)點互相吸引,力與質(zhì)量成正比,與距離平方成反比.開始時,兩質(zhì)點靜止,距離為a.求兩質(zhì)點距離為開始距離一半時,兩質(zhì)點的速度.解:動量守恒方法一：由機械能守恒求解§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質(zhì)點組力學(xué)68方法二：由動能定理求解積分得補充例題2.2和2.3P111－P112（自學(xué)）§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質(zhì)點組力學(xué)69§2.5兩體問題第2章質(zhì)點組力學(xué)因為太陽并非靜止，故開普勒定律是近似的。一、（P,S）系統(tǒng)的運動特點對太陽:對行星：①+②式，得70而質(zhì)心：因此，§2.5兩體問題第2章質(zhì)點組力學(xué)71討論①質(zhì)心不受力，作慣性運動。

(萬有引力是內(nèi)力，質(zhì)點組動量、能量守恒）②太陽、行星繞質(zhì)心作圓錐曲線運動。證明：令行星對C的運動學(xué)方程為：§2.5兩體問題第2章質(zhì)點組力學(xué)72同理，太陽對C的運動學(xué)方程為：

力與距離平方成反比，故太陽、行星均繞（P,S）系統(tǒng)的質(zhì)心作圓錐曲線運動?！?.5兩體問題第2章質(zhì)點組力學(xué)行星對C的運動學(xué)方程為：073兩體問題74③地球?qū)μ柕南鄬\動方程（2）－（1）式，得定義：折合質(zhì)量則§2.5兩體問題第2章質(zhì)點組力學(xué)a.太陽質(zhì)量變大（m+M）；b.地球質(zhì)量變小(折合質(zhì)量)a.地球相對太陽的動力學(xué)方程b.地球相對太陽的動力學(xué)方程75④開普勒第三定理的修正即：只有當(dāng)行星質(zhì)量遠(yuǎn)小于太陽質(zhì)量時，開普勒第三定律才是精確的?！?.5兩體問題第2章質(zhì)點組力學(xué)⑤兩體問題：不考慮行星間的相互吸引。多體問題：天體力學(xué)、量子力學(xué)中經(jīng)常用到，用微擾法（攝動法）求解。76§2.6質(zhì)心坐標(biāo)系與實驗室坐標(biāo)系第2章質(zhì)點組力學(xué)散射碰撞兩體問題令其中一個不動另一個為折合質(zhì)量單體問題散射角θc散射角θr（可在實驗室觀察出來）（需由等值單體問題計算出來）77觀測散射過程時所采用的靜止的坐標(biāo)系。一、實驗室坐標(biāo)系單體問題，為實驗工作者采用。散射角為觀測值§2.6質(zhì)心坐標(biāo)系與實驗室坐標(biāo)系第2章質(zhì)點組力學(xué)78兩體問題；為理論工作者采用。二、質(zhì)心坐標(biāo)系觀測散射過程時所采用的隨質(zhì)心運動的坐標(biāo)系。散射角為計算值。

:兩質(zhì)點相對位矢散射前后所偏轉(zhuǎn)的角度；§2.6質(zhì)心坐標(biāo)系與實驗室坐標(biāo)系第2章質(zhì)點組力學(xué)79質(zhì)心運動的坐標(biāo)系80三、θc與θr的關(guān)系設(shè)質(zhì)量為m1的質(zhì)點1以速度v1被另一質(zhì)量為m2

的靜止質(zhì)點2散射。此兩質(zhì)點的質(zhì)心在散射前后都將沿v1方向以速度V運動，在散射前，有而，所以質(zhì)心速度§2.6質(zhì)心坐標(biāo)系與實驗室坐標(biāo)系第2章質(zhì)點組力學(xué)81§2.6質(zhì)心坐標(biāo)系與實驗室坐標(biāo)系第2章質(zhì)點組力學(xué)此時質(zhì)點1相對于質(zhì)心的速度的量值為而質(zhì)點2

相對于質(zhì)心的速度的量值則為故有兩質(zhì)點在質(zhì)心坐標(biāo)系動量守恒82從質(zhì)心坐標(biāo)系看，由動量守恒律，兩質(zhì)點散射后必將沿相反方向運動，而質(zhì)點1

散射后的速度與散射前的速度之間的夾角就是§2.6質(zhì)心坐標(biāo)系與實驗室坐標(biāo)系第2章質(zhì)點組力學(xué)83從實驗室坐標(biāo)系看,質(zhì)點1散射后的速度為，它與之間的夾角為.

由相對運動速度變換關(guān)系其分量形式為§2.6質(zhì)心坐標(biāo)系與實驗室坐標(biāo)系第2章質(zhì)點組力學(xué)84（2）cox

ym1

m2（3）（1）§2.6質(zhì)心坐標(biāo)系與實驗室坐標(biāo)系第2章質(zhì)點組力學(xué)85由（1）、（2）、（3）可得§2.6質(zhì)心坐標(biāo)系與實驗室坐標(biāo)系第2章質(zhì)點組力學(xué)86討論還可求得：（P.102）當(dāng)時，粒子將把所有能量轉(zhuǎn)移給粒子。中子減速劑原理§2.6質(zhì)心坐標(biāo)系與實驗室坐標(biāo)系第2章質(zhì)點組力學(xué)87§2.7變質(zhì)量物體的運動第2章質(zhì)點組力學(xué)一、變質(zhì)量物體的運動方程討論質(zhì)量m是時間的函數(shù)，求這種變質(zhì)量物體的動力學(xué)方程。設(shè)t時刻物體質(zhì)量為m，速度為v。另有一微小質(zhì)量Δm，速度為u。在t+Δt時間間隔內(nèi)Δm與m相合并，合并后的共同速度為v+Δv。作用在m及Δm上的合外力為F。由質(zhì)點組動量定理（廣義的牛頓定律）可得88略去二階小量，則變質(zhì)量物體運動的基本方程為：⊿m未與m合并前或自m分出后瞬間的速度§2.7變質(zhì)量物體的運動第2章質(zhì)點組力學(xué)89若u=v，則若u=0，則§2.7變質(zhì)量物體的運動第2章質(zhì)點組力學(xué)90例(P137)

雨點開始自由下落時質(zhì)量M，在下落過程中,單位時間內(nèi)凝結(jié)在它上面的水汽質(zhì)量λ，略去空氣阻力,求雨點在t秒后所下落的距離。解:積分91再積分92方程可改寫為即——密歇爾斯基方程

二、火箭§2.7變質(zhì)量物體的運動第2章質(zhì)點組力學(xué)93是放出物質(zhì)(廢氣)相對于運動物體(火箭)的速度是每秒鐘放出的質(zhì)量是放出物質(zhì)引起的反作用力(即噴射廢氣產(chǎn)生的推力)故要增加火箭的推力，應(yīng)從提高或著手?！?.7變質(zhì)量物體的運動第2章質(zhì)點組力學(xué)94中國重型火箭有望2014年立項具備載人登月能力未來的重型火箭運載能力將達(dá)到百噸級，起飛動力達(dá)到3000噸級，一次就可完成100噸的空間站發(fā)射。95§2.8維里定理第2章質(zhì)點組力學(xué)對有n個質(zhì)點的質(zhì)點組，其中任一質(zhì)點的基本運動方程為：設(shè)求G對時間的導(dǎo)數(shù)，得96而右邊第二項可變?yōu)橛疫叺谝豁椏勺優(yōu)椤?.8維里定理第2章質(zhì)點組力學(xué)97因此對上式求時間的平均值，得由積分中值定理或§2.8維里定理第2章質(zhì)點組力學(xué)98維里定理的物理意義：在長時間間隔內(nèi)，質(zhì)點組的動能對時間的平均值取負(fù)號后等于作用在此質(zhì)點組上力的維里?？藙谛匏狗Q為維里（也叫均功）。若為周期運動（τ為一周期），或所有質(zhì)點的坐標(biāo)和動量均為有限值但取τ足夠長時，則上式左邊很小，幾乎為零。故在這兩種情況下，均有：維里定理（VirialTheorem）§2.8維里定理第2章質(zhì)點組力學(xué)99討論1.系統(tǒng)中的耗散力對<T>無貢獻(xiàn).（反證法）2.對有心力系統(tǒng)（屬保守力系），質(zhì)點勢能：§2.8維里定理第2章質(zhì)點組力學(xué)100思考題2.1一均勻物體假如由幾個有規(guī)則的物體并合（或剜去）而成，你覺得怎樣去求它的質(zhì)心？

答：因均勻物體質(zhì)量密度處處相等，規(guī)則形體的幾何中心即為質(zhì)心，故先找出各規(guī)則形體的質(zhì)心把它們看作質(zhì)點組，然后求質(zhì)點組的質(zhì)心即為整個物體的質(zhì)心。對被割去的部分，先假定它存在，后以其負(fù)質(zhì)量代入質(zhì)心公式即可。2.2一均勻物體如果有三個對稱面，并且此三對稱面交于一點，則此質(zhì)點即均勻物體的質(zhì)心，何故？答：物體具有三個對稱面已足以確定該物體的規(guī)則性，該三平面的交點即為該物體的幾何對稱中心