回歸直線方程

【核心掃描】1．求回歸直線的方程．(重點(diǎn))2．準(zhǔn)確理解變量的相關(guān)關(guān)系．(易混點(diǎn))2.3.1變量之間的相關(guān)關(guān)系2.3

變量間的相關(guān)關(guān)系2.3.2兩個(gè)變量的線性相關(guān)小明,你數(shù)學(xué)成績不太好,物理怎么樣?也不太好啊.學(xué)不好數(shù)學(xué),物理也是學(xué)不好的?????...你認(rèn)為老師的說法對(duì)嗎?事實(shí)上,我們?cè)诳疾鞌?shù)學(xué)成績對(duì)物理成績影響的同時(shí),還必須考慮到其他的因素:愛好,努力程度如果單純從數(shù)學(xué)對(duì)物理的影響來考慮,就是考慮這兩者之間的相關(guān)關(guān)系我們?cè)谏钪?碰到很多相關(guān)關(guān)系的問題:物理成績數(shù)學(xué)成績學(xué)習(xí)興趣花費(fèi)時(shí)間其他因素1.下列關(guān)系中是相關(guān)關(guān)系的是().A.位移與速度、時(shí)間的關(guān)系 B.燒香的次數(shù)與成績的關(guān)系C.廣告費(fèi)支出與銷售額的關(guān)系D.物體的加速度與力的關(guān)系變量間的相關(guān)關(guān)系在我們的生活中廣泛存在:如:（1）糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系

（2）人體內(nèi)脂肪含量與年齡之間的關(guān)系2、兩個(gè)變量之間產(chǎn)生相關(guān)關(guān)系的原因是受許多不確定的隨機(jī)因素的影響.1.變量之間除了函數(shù)關(guān)系外，還有相關(guān)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系的概念：

兩個(gè)變量之間的關(guān)系可能是確定的關(guān)系（如：函數(shù)關(guān)系），或非確定性關(guān)系。當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量也確定，則為確定關(guān)系；當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量帶有隨機(jī)性，這種變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。

如何研究這種變量間的相關(guān)關(guān)系呢？通過收集大量的數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)數(shù)據(jù)分析，找出其中的規(guī)律，對(duì)其相關(guān)關(guān)系作出一定判斷.知識(shí)探究（二）：散點(diǎn)圖【問題】在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：其中各年齡對(duì)應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個(gè)年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù).年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6思考1：對(duì)某一個(gè)人來說，他的體內(nèi)脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少，但是如果把很多個(gè)體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性.觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6思考2：為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關(guān)系，我們需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過作圖可以對(duì)兩個(gè)變量之間的關(guān)系有一個(gè)直觀的印象.以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標(biāo)系中描出樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的圖形嗎？年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6思考3：上圖叫做散點(diǎn)圖，你能描述一下散點(diǎn)圖的含義嗎？在平面直角坐標(biāo)系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點(diǎn)圖.思考4：觀察散點(diǎn)圖的大致趨勢(shì)，人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關(guān)關(guān)系？思考5：在上面的散點(diǎn)圖中，這些點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān).一般地，如果兩個(gè)變量成正相關(guān)，那么這兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)如何？思考6：如果兩個(gè)變量成負(fù)相關(guān)，從整體上看這兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)如何？其散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)？一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的變大而變小，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域.思考7：你能列舉一些生活中的變量成正相關(guān)或負(fù)相關(guān)的實(shí)例嗎?知識(shí)探究（一）：回歸直線思考1：一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的中心，那么散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)的中心如何確定？它一定是散點(diǎn)圖中的點(diǎn)嗎？思考2：在各種各樣的散點(diǎn)圖中，有些散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是雜亂分布的，有些散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布有一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布有什么特點(diǎn)？

這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近.思考3：如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布，從整體上看大致在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，其回歸直線一定通過樣本點(diǎn)的中心嗎？一定思考4：對(duì)一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，你認(rèn)為其回歸直線是一條還是幾條？一條思考5：在樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，能否用直尺準(zhǔn)確畫出回歸直線？借助計(jì)算機(jī)怎樣畫出回歸直線？知識(shí)探究（二）：回歸方程

在直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都有相應(yīng)的方程，回歸直線的方程稱為回歸方程.對(duì)一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，如果能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個(gè)相關(guān)變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì).思考1：回歸直線與散點(diǎn)圖中各點(diǎn)的位置應(yīng)具有怎樣的關(guān)系？

整體上最接近思考2：對(duì)于求回歸直線方程，你有哪些想法？(x1，y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)可以用或，其中.思考3：對(duì)一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，設(shè)其回歸方程為可以用哪些數(shù)量關(guān)系來刻畫各樣本點(diǎn)與回歸直線的接近程度？

思考4：為了從整體上反映n個(gè)樣本數(shù)據(jù)與回歸直線的接近程度，你認(rèn)為選用哪個(gè)數(shù)量關(guān)系來刻畫比較合適？(x1，y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)思考5：根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)原理分析，當(dāng)

時(shí)，總體偏差為最小，這樣就得到了回歸方程，這種求回歸方程的方法叫做最小二乘法.思考6：利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為，由此我們可以根據(jù)一個(gè)人個(gè)年齡預(yù)測(cè)其體內(nèi)脂肪含量的百分比的回歸值.若某人37歲，則其體內(nèi)脂肪含量的百分比約為多少？20.9%題型一變量間相關(guān)關(guān)系的判斷下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是________．①正方體的棱長與體積之間的關(guān)系；②人的身高與視力的關(guān)系；③自由落體的物體的質(zhì)量與落地時(shí)間的關(guān)系；④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系．[思路探索]確定兩個(gè)變量是否有關(guān)系，若有關(guān)系，是確定的，還是隨機(jī)的，即可得到結(jié)果．【例1】解析

題號(hào)判斷原因分析①函數(shù)關(guān)系正方體的棱長與體積的關(guān)系為V＝a3，確定性關(guān)系②不是相關(guān)關(guān)系身高與視力無關(guān)，不具有函數(shù)關(guān)系，也不具有相關(guān)關(guān)系③不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系自由落體的物體的質(zhì)量與落地時(shí)間無關(guān)，不具有相關(guān)關(guān)系④相關(guān)關(guān)系降雪量越大，交通事故發(fā)生率越高，不確定性的關(guān)系答案④規(guī)律方法

(1)函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，如勻速直線運(yùn)動(dòng)中路程s與時(shí)間t的關(guān)系；相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，如一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系．(2)判斷兩個(gè)變量是否是相關(guān)關(guān)系的關(guān)鍵是看這兩個(gè)變量之間是否具有不確定性．下列關(guān)系中，帶有隨機(jī)性相關(guān)關(guān)系的是________．①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系；②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；③人一生的身高與年齡之間的關(guān)系；④某餐點(diǎn)熱飲銷售的數(shù)量與氣溫的關(guān)系．解析①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系；②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系；③人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因?yàn)槿说哪挲g達(dá)到一定時(shí)期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而他們不具備相關(guān)關(guān)系；④一般來說，氣溫越高，售出的熱飲越少．因此填②④.答案②④【變式1】某地10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下：題型二

求線性回歸方程【例2】年收入x(萬元)24466677810年飲食支出y(萬元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，確定家庭的年收入和年飲食支出的相關(guān)關(guān)系；(2)如果某家庭年收入為9萬元，預(yù)測(cè)其年飲食支出．[思路探索]畫出散點(diǎn)圖，判斷其線性相關(guān)性，求出回歸直線方程．解

(1)由題意知，年收入x為解釋變量，年飲食支出y為預(yù)報(bào)變量，作散點(diǎn)圖如圖所示．從圖中可以看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，年收入和年飲食支出有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用回歸直線方程刻畫它們之間的關(guān)系．一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下：【變式2】零件數(shù)x(個(gè))102030405060708090100加工時(shí)間y(分)626875818995102108115122(1)畫出散點(diǎn)圖．(2)求加工時(shí)間y關(guān)于零件數(shù)x的回歸直線方程．解(1)畫出散點(diǎn)圖如圖．由圖可知y與x是線性相關(guān)的．(2)列表、計(jì)算：序號(hào)12345678910∑x102030405060708090100550y626875818995102108115122917xy6201360225032404450570071408640103501220055950x21004009001600250036004900640081001000038500下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)．題型三

求回歸直線方程并對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)【例3】x3456y2.5344.5[規(guī)范解答](1)散點(diǎn)圖如圖所示：(3)現(xiàn)在生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品用煤y＝0.7×100＋0.35＝70.35(噸)，∴90－70.35＝19.65，∴降低19.65噸標(biāo)準(zhǔn)煤． (12分)假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)，有如下的統(tǒng)計(jì)資料：【變式3】使用年限x23456維修費(fèi)用y2.23.85.56.57.0解

(1)先把數(shù)據(jù)列成表．序號(hào)12345xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3xi24916253690數(shù)形結(jié)合是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來解決問題的一種方法，它能使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化．本章的數(shù)形結(jié)合