工業(yè)機(jī)器人-運(yùn)動學(xué)

第3章機(jī)器人運(yùn)動學(xué)3.1坐標(biāo)變換3.2運(yùn)動學(xué)方程習(xí)題2/5/2023第3章機(jī)器人運(yùn)動學(xué)2/5/2023運(yùn)動學(xué)研究的問題：

手在空間的運(yùn)動與各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動之間的關(guān)系。正問題：已知關(guān)節(jié)運(yùn)動，求手的運(yùn)動。逆問題：已知手的運(yùn)動，求關(guān)節(jié)運(yùn)動。第3章機(jī)器人運(yùn)動學(xué)2/5/2023數(shù)學(xué)模型：手的運(yùn)動→位姿變化→位姿矩陣M

關(guān)節(jié)運(yùn)動→參數(shù)變化→關(guān)節(jié)變量qi，i=1，…，n運(yùn)動學(xué)方程：

M=f(qi)，i=1，…，n正問題：已知qi，求M。逆問題：已知M，求qi。第3章機(jī)器人運(yùn)動學(xué)2/5/2023預(yù)備知識１、機(jī)器人位姿的表示２、機(jī)器人的坐標(biāo)系

第3章機(jī)器人運(yùn)動學(xué)2/5/2023１、機(jī)器人位姿的表示機(jī)器人的位姿主要是指機(jī)器人手部在空間的位置和姿態(tài)，有時(shí)也會用到其它各個(gè)活動桿件在空間的位置和姿態(tài)。

第3章機(jī)器人運(yùn)動學(xué)2/5/2023１、機(jī)器人位姿的表示位置可以用一個(gè)3×1的位置矩陣來描述。ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)ｚｙｘｏ第3章機(jī)器人運(yùn)動學(xué)2/5/2023１、機(jī)器人位姿的表示姿態(tài)可以用坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸兩兩夾角的余弦值組成3×3的姿態(tài)矩陣來描述。

ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)ｚｙｘｏｚhｙhｘhｏh第3章機(jī)器人運(yùn)動學(xué)2/5/2023１、機(jī)器人位姿的表示例：右圖所示兩坐標(biāo)系的姿態(tài)為：ｚ0ｙ0ｘ0ｏ0ｚ1ｙ1ｘ1ｏ1第3章機(jī)器人運(yùn)動學(xué)2/5/20232、機(jī)器人的坐標(biāo)系手部坐標(biāo)系——參考機(jī)器人手部的坐標(biāo)系，也稱機(jī)器人位姿坐標(biāo)系，它表示機(jī)器人手部在指定坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)。機(jī)座坐標(biāo)系——參考機(jī)器人機(jī)座的坐標(biāo)系，它是機(jī)器人各活動桿件及手部的公共參考坐標(biāo)系。桿件坐標(biāo)系——參考機(jī)器人指定桿件的坐標(biāo)系，它是在機(jī)器人每個(gè)活動桿件上固定的坐標(biāo)系，隨桿件的運(yùn)動而運(yùn)動。絕對坐標(biāo)系——參考工作現(xiàn)場地面的坐標(biāo)系，它是機(jī)器人所有構(gòu)件的公共參考坐標(biāo)系。第3章機(jī)器人運(yùn)動學(xué)2/5/20232、機(jī)器人的坐標(biāo)系手部坐標(biāo)系{h}機(jī)座坐標(biāo)系{0}

桿件坐標(biāo)系{i}

i=1，…，n絕對坐標(biāo)系{B}

3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/20233.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏj坐標(biāo)之間的變換關(guān)系：平移變換旋轉(zhuǎn)變換（1）平移變換設(shè)坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}具有相同的姿態(tài)，但它倆的坐標(biāo)原點(diǎn)不重合，若用矢量表示坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}原點(diǎn)之間的矢量，則坐標(biāo)系{j}就可以看成是由坐標(biāo)系{i}沿矢量平移變換而來的，所以稱矢量為平移變換矩陣，它是一個(gè)3×1的矩陣，即：

3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏj3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023（1）平移變換

若空間有一點(diǎn)在坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}中分別用矢量和表示，則它們之間有以下關(guān)系：稱上式為坐標(biāo)平移方程。ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏj（2）旋轉(zhuǎn)變換設(shè)坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}的原點(diǎn)重合，但它倆的姿態(tài)不同，則坐標(biāo)系{j}就可以看成是由坐標(biāo)系{i}旋轉(zhuǎn)變換而來的，旋轉(zhuǎn)變換矩陣比較復(fù)雜，最簡單的是繞一根坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換，下面以此來對旋轉(zhuǎn)變換矩陣作以說明。3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏj（2）旋轉(zhuǎn)變換繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}的原點(diǎn)重合，坐標(biāo)系{j}的坐標(biāo)軸方向相對于坐標(biāo)系{i}繞軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)θ角。θ角的正負(fù)一般按右手法則確定，即由z軸的矢端看，逆時(shí)鐘為正。3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjθθ（2）旋轉(zhuǎn)變換繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角若空間有一點(diǎn)p，則其在坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}中的坐標(biāo)分量之間就有以下關(guān)系：

3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjθ（2）旋轉(zhuǎn)變換繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角若補(bǔ)齊所缺的有些項(xiàng)，再作適當(dāng)變形，則有：

3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023（2）旋轉(zhuǎn)變換繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角將上式寫成矩陣的形式，則有：

3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023（2）旋轉(zhuǎn)變換繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角

再將其寫成矢量形式，則有：稱上式為坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)方程，式中：

——p點(diǎn)在坐標(biāo)系{i}中的坐標(biāo)列陣（矢量）；

——點(diǎn)在坐標(biāo)系{j}中的坐標(biāo)列陣（矢量）；

——坐標(biāo)系{j}變換到坐標(biāo)系{i}的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，也稱為方向余弦矩陣。3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023（2）旋轉(zhuǎn)變換

——旋轉(zhuǎn)變換矩陣，也稱為方向余弦矩陣，是一個(gè)3×3的矩陣，其中的每個(gè)元素就是坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}相應(yīng)坐標(biāo)軸夾角的余弦值，它表明坐標(biāo)系{j}相對于坐標(biāo)系{i}的姿態(tài)（方向）。3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023（2）旋轉(zhuǎn)變換繞x軸旋轉(zhuǎn)α角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023ｙiｚiｘiｏiｚjｙjｘjｏjαα（2）旋轉(zhuǎn)變換繞y軸旋轉(zhuǎn)β角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023ｘiｙiｚiｏiｚjｙjｘjｏjββ（2）旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換矩陣的逆矩陣

旋轉(zhuǎn)變換矩陣的逆矩陣既可以用線性代數(shù)的方法求出，也可以用逆向的坐標(biāo)變換求出。以繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角為例，其逆向變換即為繞z軸旋轉(zhuǎn)-θ角，則其旋轉(zhuǎn)變換矩陣就為：

3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023（2）旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換矩陣的逆矩陣

比較以下兩式：

結(jié)論：

3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023（3）聯(lián)合變換設(shè)坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}之間存在先平移變換，后旋轉(zhuǎn)變換，則空間任一點(diǎn)在坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}中的矢量之間就有以下關(guān)系： 稱上式為直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)聯(lián)合變換方程。3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023（3）聯(lián)合變換若坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}之間是先平移變換，后旋轉(zhuǎn)變換，則上述關(guān)系是應(yīng)如何變化？3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023例：已知坐標(biāo)系{B}的初始位置與坐標(biāo)系{A}重合，首先坐標(biāo)系{B}沿坐標(biāo)系{A}的x軸移動12個(gè)單位，并沿坐標(biāo)系{A}的y軸移動6個(gè)單位，再繞坐標(biāo)系{A}的z軸旋轉(zhuǎn)30°，求平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣。假設(shè)某點(diǎn)在坐標(biāo)系{B}中的矢量為，求該點(diǎn)在坐標(biāo)系{A}中的矢量。

3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023解：由題意可得平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣分別為：，則：

3.1坐標(biāo)變換1、直角坐標(biāo)變換2/5/2023（1）齊次坐標(biāo)的定義空間中任一點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量用表示，若有四個(gè)不同時(shí)為零的數(shù)與三個(gè)直角坐標(biāo)分量之間存在以下關(guān)系：

則稱是空間該點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（1）齊次坐標(biāo)的定義齊次坐標(biāo)的性質(zhì)Ⅰ.空間中的任一點(diǎn)都可用齊次坐標(biāo)表示；Ⅱ.空間中的任一點(diǎn)的直角坐標(biāo)是單值的，但其對應(yīng)的齊次坐標(biāo)是多值的；Ⅲ.k是比例坐標(biāo)，它表示直角坐標(biāo)值與對應(yīng)的齊次坐標(biāo)值之間的比例關(guān)系；Ⅳ.若比例坐標(biāo)k=1，則空間任一點(diǎn)(x,y,z)的齊次坐標(biāo)為(x,y,z)

，以后用到齊次坐標(biāo)時(shí)，一律默認(rèn)k=1

。

3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）若坐標(biāo)系{j}是{i}先沿矢量平移，再繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角得到的，則空間任一點(diǎn)在坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}中的矢量和對應(yīng)的變換矩陣之間就有，寫成矩陣形式則為：3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）再用坐標(biāo)分量等式表示，則有：

3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）引入齊次坐標(biāo)，補(bǔ)齊所缺各項(xiàng)，再適當(dāng)變形，則有：

3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）再將其寫成矩陣形式則有：

3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）由此可得聯(lián)合變換的齊次坐標(biāo)方程為：

式中，——齊次坐標(biāo)變換矩陣，它是一個(gè)4×4的矩陣。3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）①齊次坐標(biāo)變換矩陣的意義若將齊次坐標(biāo)變換矩陣分塊，則有：意義：左上角的3×3矩陣是兩個(gè)坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，它描述了姿態(tài)關(guān)系；右上角的3×1矩陣是兩個(gè)坐標(biāo)系之間的平移變換矩陣，它描述了位置關(guān)系，所以齊次坐標(biāo)變換矩陣又稱為位姿矩陣。

3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）①齊次坐標(biāo)變換矩陣的意義齊次變換矩陣的通式為：

式中，

——{j}的原點(diǎn)在{i}中的坐標(biāo)分量；

——{j}的x軸對{i}的三個(gè)方向余弦；

——{j}的y軸對{i}的三個(gè)方向余弦；

——{j}的z軸對{i}的三個(gè)方向余弦。3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）②單獨(dú)的平移或旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換矩陣

平移變換的齊次矩陣為：3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）②單獨(dú)的平移或旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換矩陣

旋轉(zhuǎn)變換的齊次矩陣為：3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）②單獨(dú)的平移或旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換矩陣

同理可得：3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）③聯(lián)合變換與單步齊次變換矩陣的關(guān)系觀察以下三個(gè)齊次變換矩陣的關(guān)系：

3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）③聯(lián)合變換與單步齊次變換矩陣的關(guān)系經(jīng)觀察可得：

3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）

③聯(lián)合變換與單步齊次變換矩陣的關(guān)系任何一個(gè)齊次坐標(biāo)變換矩陣均可分解為一個(gè)平移變換矩陣與一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換矩陣的乘積，即：

3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）

③聯(lián)合變換與單步齊次矩陣的關(guān)系

當(dāng)空間有任意多個(gè)坐標(biāo)系時(shí)，若已知相鄰坐標(biāo)系之間的齊次坐標(biāo)變換矩陣，則由坐標(biāo)變換原理可知：

由此可知，建立機(jī)器人的坐標(biāo)系，可以通過齊次坐標(biāo)變換，將機(jī)器人手部在空間的位置和姿態(tài)用齊次坐標(biāo)變換矩陣描述出來，從而建立機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)方程。

3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023{0}{i-1}{i}{n}（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）

④相對變換兩個(gè)坐標(biāo)系之間總的齊次坐標(biāo)變換矩陣等于每次單獨(dú)變換的齊次坐標(biāo)變換矩陣的乘積，而相對變換則決定這些矩陣相乘的順序，稱其為左乘和右乘原則：Ⅰ.若坐標(biāo)系之間的變換是始終相對于原來的參考坐標(biāo)系，則齊次坐標(biāo)變換矩陣左乘；Ⅱ.若坐標(biāo)系之間的變換是相對于當(dāng)前新的坐標(biāo)系，則齊次坐標(biāo)變換矩陣右乘。

3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）④相對變換例：已知坐標(biāo)系{B}是繞坐標(biāo)系{A}的zA軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞{A}的xA軸旋轉(zhuǎn)90°，最后沿矢量平移得到的，求坐標(biāo)系{A}與坐標(biāo)系{B}之間的齊次坐標(biāo)變換矩陣。

3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）④相對變換解：由于變換始終是相對于原來的參考坐標(biāo)系，所以滿足左乘原則，即有：

3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）④相對變換解：若例中的變換是相對于每次變換后新的當(dāng)前坐標(biāo)系，其就滿足右乘原則，即有：

3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）⑤逆變換已知{i}通過先平移，后旋轉(zhuǎn)變成{j}，則變換矩陣為：3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏj（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）⑤逆變換逆變換時(shí)：變換順序顛倒；先平移，后旋轉(zhuǎn)→先旋轉(zhuǎn)，后平移。變換參數(shù)取反。旋轉(zhuǎn)（θ）

→（

-θ），平移（px，py，pz）

→（-px，-py，-pz）。3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）⑤逆變換則{j}到{i}的變換矩陣為：3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏj（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）⑤逆變換3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）⑤逆變換3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）⑤逆變換若齊次坐標(biāo)變換矩陣為：則：

3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/2023（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）⑤逆變換若齊次坐標(biāo)變換矩陣為：3.1坐標(biāo)變換2、齊次坐標(biāo)變換2/5/20233.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟（1）建立坐標(biāo)系（2）確定參數(shù)（3）相鄰桿件的位姿矩陣（4）建立方程2、運(yùn)動學(xué)方程的解2/5/20233.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023運(yùn)動學(xué)方程的模型：

M=f(qi)，i=1，…，nM——機(jī)器人手在空間的位姿

qi——機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)變量3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（1）建立坐標(biāo)系

①機(jī)座坐標(biāo)系{0}②桿件坐標(biāo)系{i}i=1，2，…，n③手部坐標(biāo)系{h}3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（1）建立坐標(biāo)系

①機(jī)座坐標(biāo)系{0}

建立原則：z軸垂直，x軸水平，方向指向手部所在平面。x0z0o03.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（1）建立坐標(biāo)系②桿件坐標(biāo)系{i}，i=1，2，…，n

建立原則：

z軸與關(guān)節(jié)軸線重合，x軸與兩關(guān)節(jié)軸線的距離重合，方向指向下一個(gè)桿件。桿件坐標(biāo)系有兩種：

第一種：z軸與i+1關(guān)節(jié)軸線重合；

第二種：z軸與i關(guān)節(jié)軸線重合。3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（1）建立坐標(biāo)系②桿件坐標(biāo)系{i}

第一種坐標(biāo)系：

z軸與i+1關(guān)節(jié)軸線重合。x0z0o00123關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2關(guān)節(jié)3z2x2o2x1y1o1z3x3o3x0z0o00123關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2關(guān)節(jié)3x2y2o2z3x3o3x1z1o13.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（1）建立坐標(biāo)系②桿件坐標(biāo)系{i}

第二種坐標(biāo)系：

z軸與i關(guān)節(jié)軸線重合。3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（1）建立坐標(biāo)系③手部坐標(biāo)系{h}

在第一種桿件坐標(biāo)系下，{h}與{n}坐標(biāo)系重合。x0z0o00123關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2關(guān)節(jié)3z2x2o2x1y1o1Z3hx3ho3h3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（1）建立坐標(biāo)系③手部坐標(biāo)系{h}

在第二種桿件坐標(biāo)系下，{h}與{n}坐標(biāo)系的方向保持一致。ohx0z0o00123關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2關(guān)節(jié)3x2y2o2z3x3o3x1z1o1Zhxh3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（2）確定參數(shù)①桿件幾何參數(shù)（不變）

I、桿件長度li：兩關(guān)節(jié)軸線的距離。

II、桿件扭角αi：兩關(guān)節(jié)軸線的夾角。iliαi3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（2）確定參數(shù)②關(guān)節(jié)運(yùn)動參數(shù)

I、關(guān)節(jié)平移量di：相鄰桿件的長度在關(guān)節(jié)軸線上的距離。

II、關(guān)節(jié)回轉(zhuǎn)量θi：相鄰桿件的長度在關(guān)節(jié)軸線上的夾角。ili-1i-1liθi關(guān)節(jié)idi3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（2）確定參數(shù)②關(guān)節(jié)運(yùn)動參數(shù)關(guān)節(jié)變量：

di——平移關(guān)節(jié)；

θi——回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。ili-1i-1liθi關(guān)節(jié)idi3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（3）相鄰桿件位姿矩陣①第一種坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系{i-1}、{i}，試分析{i-1}→{i}的變換過程。ii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（3）相鄰桿件位姿矩陣①第一種坐標(biāo)系

I、{i-1}→{i}變換過程

a、Trans（0，0，di）；

b、Rot（z，θi）；c、Trans（li，0，0）；

d、Rot（x，αi）。ii-1liθi關(guān)節(jié)idiXi-1Zi-1Oi-1XiZiOiαi3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（3）相鄰桿件位姿矩陣①第一種坐標(biāo)系

II、單步齊次變換矩陣3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（3）相鄰桿件位姿矩陣①第一種坐標(biāo)系

III、相鄰桿件的位姿矩陣3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（3）相鄰桿件位姿矩陣①第一種坐標(biāo)系

III、相鄰桿件的位姿矩陣3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（3）相鄰桿件位姿矩陣①第一種坐標(biāo)系

注意：特例?。。?.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（3）相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系{i-1}、{i}，試分析{i-1}→{i}的變換過程。ii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（3）相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標(biāo)系

I、{i-1}→{i}變換過程

a、Trans（li-1，0，0）；

b、Rot（x，αi-1）；c、Trans（0，0，di）；

d、Rot（z，θi）。ili-1i-1θi關(guān)節(jié)idiXi-1Zi-1Oi-1XiZiOiαi-13.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（3）相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標(biāo)系

II、單步齊次變換矩陣3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（3）相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標(biāo)系

III、相鄰桿件的位姿矩陣3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（3）相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標(biāo)系

III、相鄰桿件的位姿矩陣3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023（4）建立方程3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023例：已知三自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人如圖所示，設(shè)機(jī)器人桿件1、2、3的長度為l1，l2，l3。建立機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)方程。

l1l3l23.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（1）建立坐標(biāo)系(第一種)a、機(jī)座坐標(biāo)系｛0｝

b、桿件坐標(biāo)系｛i｝

c、手部坐標(biāo)系｛h｝（與末端桿件坐標(biāo)系｛n｝重合）

l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3hx3h3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（2）確定參數(shù)l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3hx3hidiθiliαiqi10θ1l10θ120θ2l20θ230θ3l30θ3θ3θ2θ13.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（3）相鄰桿件位姿矩陣l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3hx3hθ3θ2θ13.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（3）相鄰桿件位姿矩陣l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3hx3hθ3θ2θ13.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（3）相鄰桿件位姿矩陣l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3hx3hθ3θ2θ13.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（4）建立方程將相鄰桿件位姿矩陣依次相乘，則有：

3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（4）建立方程若用矩陣形式表示，則為：

3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（4）建立方程若用方程組形式表示，則為：

3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（1）建立坐標(biāo)系(第二種)a、機(jī)座坐標(biāo)系｛0｝

b、桿件坐標(biāo)系｛i｝

c、手部坐標(biāo)系｛h｝（與末端桿件坐標(biāo)系｛n｝方向一致）

l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3x3yhxh3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（2）確定參數(shù)ili-1αi-1diθiqi1

000θ1θ12l100θ2θ23l200θ3θ3l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3x3yhxhθ3θ2θ13.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（3）相鄰桿件位姿矩陣l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3x3yhxhθ3θ2θ13.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（3）相鄰桿件位姿矩陣l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3x3yhxhθ3θ2θ13.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（3）相鄰桿件位姿矩陣l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3x3yhxhθ3θ2θ13.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（3）相鄰桿件位姿矩陣l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3x3yhxhθ3θ2θ13.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（4）建立方程將相鄰桿件位姿矩陣依次相乘，則有：

3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（4）建立方程若用矩陣形式表示，則為：

3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立1、運(yùn)動學(xué)方程建立步驟2/5/2023解：（4）建立方程若用方程組形式表示，則為：

3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立2、運(yùn)動學(xué)方程的解2/5/2023運(yùn)動學(xué)方程的模型：

M0h=f(qi)，i=1，…，n正問題：已知關(guān)節(jié)變量qi的值，求手在空間的位姿M0h。逆問題：已知手在空間的位姿M0h，求關(guān)節(jié)變量qi的值。3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立2、運(yùn)動學(xué)方程的解2/5/2023（1）運(yùn)動學(xué)方程的正解正問題：已知關(guān)節(jié)變量qi的值，求手在空間的位姿M0h。正解特征：唯一性。用處：檢驗(yàn)、校準(zhǔn)機(jī)器人。3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立2、運(yùn)動學(xué)方程的解2/5/2023（2）運(yùn)動學(xué)方程的逆解逆問題：已知手在空間的位姿M0h，求關(guān)節(jié)變量qi的值。逆解特征分三種情況：多解、唯一解、無解。多解的選擇原則：最近原則。計(jì)算方法：遞推逆變換法，即3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立2、運(yùn)動學(xué)方程的解2/5/2023例：已知四軸平面關(guān)節(jié)SCARA機(jī)器人如圖所示，試計(jì)算：（1）機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)方程；（2）當(dāng)關(guān)節(jié)變量取qi=[30°，-60°，－120，90°]T時(shí)，機(jī)器人手部的位置和姿態(tài)；（3）機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆解的數(shù)學(xué)表達(dá)式。8004003002003.2運(yùn)動學(xué)方程的建立2、運(yùn)動學(xué)方程的解2/5/2023解：（1）運(yùn)動學(xué)方程a、建立坐標(biāo)系（第一種）機(jī)座坐標(biāo)系｛0｝桿件坐標(biāo)系｛i｝手部坐標(biāo)系｛h｝800400300200x0z0x1z1x2z2x3z3x4hz4h3.2運(yùn)動學(xué)方程的建立2、運(yùn)動學(xué)方程的解2/5/2023解：（1）運(yùn)動學(xué)方程b、確定參數(shù)idiθiliαiqi1800θ14000θ120θ2300