直接證明與間接證明

直接證明與間接證明一、基礎(chǔ)知識(shí)1．直接證明(1)綜合法①定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．綜合法證明題的一般規(guī)律(1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知 (從題設(shè)到結(jié)論 )的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷 (命題)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性．(2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理．②框圖表示： P?Q1―→Q1?Q2―→Q2?Q3―→?―→Qn?Q(其中P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等， Q表示所要證明的結(jié)論 )．③思維過(guò)程：由因?qū)Ч?2)分析法①定義：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件 (已知條件、定理、定義、公理等 )為止，這種證明方法叫做分析法．分析法證明問(wèn)題的適用范圍當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、 直接，或證明過(guò)程中所需用的知識(shí)不太明確、 具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式，常考慮用分析法．②框圖表示：Q?P1―→P1?P2―→P2?P3―→?―→得到一個(gè)明顯(其中Q表示要證成立的條件明的結(jié)論)．③思維過(guò)程：執(zhí)果索因．2．間接證明反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立 (即在原命題的條件下，結(jié)論不成立 )，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立的證明方法．考點(diǎn)一綜合法的應(yīng)用[典例]設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：(1)ab＋bc＋ca≤1；3222a＋b＋c≥1.(2)bca[證明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.當(dāng)且僅當(dāng)“a＝b＝c”時(shí)等號(hào)成立；222a＋b≥2a，b＋c≥2b，c＋a≥2c，(2)因?yàn)閎ca當(dāng)且僅當(dāng)“a2＝b2＝c2”時(shí)等號(hào)成立，故a2＋b2＋c2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，bca即a2＋b2＋c2≥a＋b＋c.bca所以a2＋b2＋c2≥1.bca[變透練清]1.變結(jié)論若本例條件不變，證明2221a＋b＋c≥.3證明：因?yàn)閍＋b＋c＝1，2 2 2 2所以1＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ac，所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)，所以2222221≤a＋b＋c＋2(a＋b＋c)，2221即a＋b＋c≥.32．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；2π(2)若C＝3，求證：5a＝3b.證明：(1)由已知得 sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因?yàn)閟inB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有 a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列．2π(2)由C＝3，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以5a＝3b.考點(diǎn)二 分析法的應(yīng)用[典例] 已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.求證：1＋1＝3.a＋bb＋ca＋b＋c[證明]1＋1＝3，要證a＋bb＋ca＋b＋c即證a＋b＋c＋a＋b＋c＝3，也就是c＋a＝1，a＋bb＋ca＋bb＋c只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需證c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．[解題技法] 利用分析法證明問(wèn)題的思路及格式(1)分析法的證明思路先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí)命題得證．(2)分析法的格式通常采用“要證(欲證)??”“只需證??”“即證??”的格式，在表達(dá)中要注意敘述形式的規(guī)范性．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]已知m＞0，a，b∈R，求證：a＋mb2a2＋mb2≤1＋m.1＋m證明：因?yàn)閙＞0，所以1＋m＞0.所以要證a＋mb2≤a2＋mb21＋m，1＋m只需證m(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立，2故a＋mb2≤a＋mb.1＋m1＋m考點(diǎn)三反證法的應(yīng)用[典例]已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若f(c)0，且0＜x＜c時(shí)，f(x)＞0.1(1)證明：a是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)；1(2)試用反證法證明 a＞c.[證明](1)因?yàn)閒(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，因?yàn)閒(c)＝0，所以x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝c，a11所以x2＝aa≠c，1所以是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)．1(2)因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，所以 a≠c.假設(shè)1＜c，又1＞0，a由0＜x＜c時(shí)，f(x)＞0，知f1＞0，與f1＝0矛盾，a a1所以＜c不成立，又因?yàn)?≠c，所以1>c.aa[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1設(shè)a＞0，b＞0，且a＋b＝a＋b.證明：(1)a＋b≥2；22＋b＜2不可能同時(shí)成立．(2)a＋a＜2與b1 1 a＋b證明：由a＋b＝＋＝ ，a＞0，b＞0，得ab＝1.(1)由基本不等式及 ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.2 2(2)假設(shè)a＋a＜2與b＋b＜2同時(shí)成立，同理，0＜b＜1，從而ab＜1，這與ab＝1矛盾．故a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時(shí)成立．[課時(shí)跟蹤檢測(cè) ]A級(jí)1．用反證法證明命題“設(shè) a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根”時(shí)，假設(shè)為

(

)A．方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根33解析：選A “至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根 ”的否定是“一個(gè)實(shí)數(shù)根也沒(méi)有根”．2．在△ABC中，sinAsinC<cosAcosC，則△ABC一定是( )A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定

”，即“沒(méi)有實(shí)數(shù)解析：選C 由sinAsinC<cosAcosC，得cosAcosC－sinAsinC>0，即cos(A＋C)>0，所以A＋C是銳角，π從而B>2，故△ABC必是鈍角三角形．3．分析法又稱執(zhí)果索因法，已知x>0，用分析法證明1＋x<1＋x時(shí)，索的因是()2A．x2>2B．x2>422C．x>0D．x>1解析：選C因?yàn)閤>0，所以要證 1＋x<1＋x2，1＋x2只需證(1＋x)2<2，即證0<x，24即證x2>0，因?yàn)閤>0，所以x2>0成立，故原不等式成立．4．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證b2－ac＜3a”索的因應(yīng)是()A．a(chǎn)－b＞0B．a(chǎn)－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0解析：選C由題意知b2－ac＜3a?b2－ac＜3a2?(a＋c)2－ac＜3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0?－2a2＋ac＋c2＜0?2a2－ac－c2＞0?(a－c)(2a＋c)＞0?(a－c)(a－b)＞0.選C.5．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值()A．恒為負(fù)值B．恒等于零C．恒為正值D．無(wú)法確定正負(fù)解析：選A由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，則f(x1)＋f(x2)<0.6．(2019·太原模擬)用反證法證明“若 x2－1＝0，則 x＝－1或x＝1”時(shí)，應(yīng)假設(shè)____________________．解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．答案：x≠－1且x≠17．設(shè)a＞b＞0，m＝ a－ b，n＝ a－b，則m，n的大小關(guān)系是________．解析：(分析法) a－ b＜ a－b? a＜ b＋ a－b?a＜b＋2 b·a－b＋a－b?b·a－b＞0，顯然成立．答案：m＜n8．若二次函數(shù)22在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)f(x)＝4x－2(p－2)x－2p－p＋10，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________．解析：(補(bǔ)集法)f－1＝－22p＋p＋1≤0，解得p≤－3或p≥3，令2f1＝－2p－3p＋9≤0，23故滿足條件的p的取值范圍為－3，2.答案：－3，329．已知x，y，z是互不相等的正數(shù)，且x＋y＋z＝1，求證：1－11－11－1>8.xyz證明：因?yàn)閤，y，z是互不相等的正數(shù)，且x＋y＋z＝1，所以1－1＝1－x＝y(tǒng)＋z2yz，xxx>x1－yx＋z2xzy－1＝y(tǒng)＝y(tǒng)>y，1－zx＋y2xyz－1＝z＝z>z，又x，y，z為正數(shù)，由① ×②×③，

①②③得1x－1 1y－11z－1>8.23n－n *10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝ ，n∈N.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明：對(duì)任意的 n>1，都存在 m∈N*，使得a1，an，am成等比數(shù)列．3n2－n解：(1)由Sn＝ ，得a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，當(dāng)n＝1時(shí)也適合．所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an＝3n－2.(2)證明：要使得 a1，an，am成等比數(shù)列，只需要a2n＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2，而此時(shí)m∈N*，且m>n.所以對(duì)任意的 n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比數(shù)列．B級(jí)1.如圖所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn) C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)．求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線A1F∥平面ADE.證明：(1)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱，所以 CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.因?yàn)锳D⊥DE，CC1∩DE＝E，CC1?平面BCC1B1，DE?平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因?yàn)锳1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以 A1F⊥B1C1.因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因?yàn)镃C1∩B1C1＝C1，CC1?平面BCC1B1，B1C1?平面BCC1B1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE.12．設(shè)函數(shù) f(x)定義在(0，＋∞)上，f(1)＝0，導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；1(2)討論g(x)與gx的大小關(guān)系；1(3)是否存在 x0＞0，使得|g(x)－g(x0)|＜x對(duì)任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1解：(1)由題設(shè)易知 f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋，x－1∴g′(x)＝ x2，令g′(x)＝0得x＝1，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，因此，x＝1是g(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為g(1)＝1.1(2)gx＝－lnx＋x，設(shè)h(x)＝g(x)－g1＝2lnx－x＋1，x xx－12則h