知識講解-數(shù)列的全章復(fù)習(xí)與鞏固-提高

數(shù)列的全章復(fù)習(xí)與鞏固編稿：李霞 審稿：張林娟【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．系統(tǒng)掌握數(shù)列的有關(guān)概念和公式；2．掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式，并運(yùn)用這些知識解決問題；3．了解數(shù)列的通項(xiàng)公式 an與前n項(xiàng)和公式Sn的關(guān)系，能通過前 n項(xiàng)和公式Sn求出數(shù)列的通項(xiàng)公式an；4．掌握常見的幾種數(shù)列求和方法 .【知識網(wǎng)絡(luò)】數(shù)列的通項(xiàng)anS1,(n1)SnSn1,(n數(shù)列的遞推公式2)通項(xiàng)公式等差數(shù)列 等差中項(xiàng) 性質(zhì)應(yīng)前n項(xiàng)和公式數(shù)列通項(xiàng)公式用等比數(shù)列 等比中項(xiàng) 性質(zhì)前n項(xiàng)和公式數(shù)列前n項(xiàng)和【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的通項(xiàng)公式一個數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，如果可以用一個公式 an f(n)來表示，我們就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式 .要點(diǎn)詮釋：①不是每個數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式.如數(shù)列1，2，3，―1，4，―2，就寫不出通項(xiàng)公式；②有的數(shù)列雖然有通項(xiàng)公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：數(shù)列―1，1，―1，1，?的通項(xiàng)公式可以寫成an(1)n，也可以寫成ancosn；③僅僅知道一個數(shù)列的前面的有限項(xiàng)，無其他說明，數(shù)列是不能確定的 .通項(xiàng)a與前n項(xiàng)和S的關(guān)系：nn任意數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sna1a2an；S1(n1)anSn1(n2)Sn要點(diǎn)詮釋：由前n項(xiàng)和Sn求數(shù)列通項(xiàng)時，要分三步進(jìn)行：1）求a1S1，2）求出當(dāng)n≥2時的an，（3）如果令 n≥2時得出的an中的n=1時有a1 S1成立，則最后的通項(xiàng)公式可以統(tǒng)一寫成一個形式，否則就只能寫成分段的形式 .數(shù)列的遞推式：如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)或前若干項(xiàng)，且任一項(xiàng) an與它的前一項(xiàng) an1或前若干項(xiàng)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式，簡稱遞推式 .要點(diǎn)詮釋：利用遞推關(guān)系表示數(shù)列時，需要有相應(yīng)個數(shù)的初始值，可用湊配法、換元法等 .要點(diǎn)二：等差數(shù)列判定一個數(shù)列為等差數(shù)列的常用方法①定義法：an1and（常數(shù)）{an}是等差數(shù)列；②中項(xiàng)公式法：2an1anan2(nN*){an}是等差數(shù)列；③通項(xiàng)公式法：anpnq（p，q為常數(shù)）{an}是等差數(shù)列；④前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn（A，B為常數(shù)）{an}是等差數(shù)列.要點(diǎn)詮釋：對于探索性較強(qiáng)的問題，則應(yīng)注意從特例入手，歸納猜想一般特性.等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)：（1）通項(xiàng)公式的推廣：anam+(n－m）d（2）若mnpq(m、n、p、qN*)，則amanapaq；特別，若mn2p，則aman2ap（3）等差數(shù)列an中，若m、n、（pm、n、pN*）成等差數(shù)列，則am、an、ap成等差數(shù)列.（4）公差為d的等差數(shù)列中，連續(xù)k項(xiàng)和Sk,S2kSk,S3kS2k，?組成新的等差數(shù)列.（5）等差數(shù)列{an}，前n項(xiàng)和為Sn①當(dāng)n為奇數(shù)時，Snnan1；S奇S偶an1；S奇n1；S偶22n1anan11dn；S奇an②當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn(22)；S偶S奇2.n22S偶an12（6）等差數(shù)列{an}，前n項(xiàng)和為Sn，則SmSnSmn（m、n∈N*，且m≠n）.mnmnSmSnSpSq（7）等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），則npq.m（8）等差數(shù)列{an}中，公差d，依次每SkS2kSkS3kS2k2k項(xiàng)和：成等差數(shù)列，新公差d'kd.，，等差數(shù)列前 n項(xiàng)和Sn的最值問題：等差數(shù)列{an}中①若a1＞0，d＜0，S有最大值，可由不等式組an0來確定n；nan01②若a1＜0，d＞0，Sn有最小值，可由不等式組an0n，也可由前n項(xiàng)和公式an來確定10Sndn2(a1d)n來確定n.22要點(diǎn)詮釋：等差數(shù)列的求和中的函數(shù)思想是解決最值問題的基本方法.要點(diǎn)三：等比數(shù)列判定一個數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法（1）定義法：an1q（q是不為0的常數(shù)，n∈N*）{an}是等比數(shù)列；an（2）通項(xiàng)公式法：ancqn（c、q均是不為0的常數(shù)n∈N*）{an}是等比數(shù)列；（3）中項(xiàng)公式法：a2aa2（anan1an20，nN*）{an}是等比數(shù)列.n1nn等比數(shù)列的主要性質(zhì)：（1）通項(xiàng)公式的推廣：anamqnm（2）若mnpq(m、n、p、qN*)，則amanapaq.特別，若mn2p，則amanap2（3）等比數(shù)列an中，若m、n、（pm、n、pN*）成等差數(shù)列，則am、an、ap成等比數(shù)列.（4）公比為q的等比數(shù)列中，連續(xù)k項(xiàng)和Sk,S2kSk,S3kS2k，?組成新的等比數(shù)列.（5）等比數(shù)列{an}，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n為偶數(shù)時，S偶S奇q.（6）等比數(shù)列{an}中，公比為q，依次每k項(xiàng)和：Sk，S2kSk，S3kS2k?成公比為qk的等比數(shù)列.（7）若}為正項(xiàng)等比數(shù)列，則（＞且a≠1）為等差數(shù)列；反之，若為等差數(shù)an{logaan}{an}a0列，則{aan}（a＞0且a≠1）為等比數(shù)列.a1nqn(n1)（8）等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)積為Vn，則Vn2(nN*)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與函數(shù)：an a1qn1①方程觀點(diǎn)：知二求一；②函數(shù)觀點(diǎn)：aaqn1a1qnn1q0且q1時，是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)；1時，是常數(shù)函數(shù)；要點(diǎn)詮釋：當(dāng)q1時，若a10，等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；若a10，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)0q1時，若a10，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；若a10，等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)q0時，等比數(shù)列{an}是擺動數(shù)列；當(dāng)q1時，等比數(shù)列{an}是非零常數(shù)列.要點(diǎn)四：常見的數(shù)列求和方法公式法：如果一個數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列，直接用其前 n項(xiàng)和公式求和 .分組求和法：將通項(xiàng)拆開成等差數(shù)列和等比數(shù)列相加或相減的形式，然后分別對等差數(shù)列和等比數(shù)列求和 .如：an=2n+3n.裂項(xiàng)相消求和法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，正負(fù)相消，剩下首尾若干項(xiàng)的方法 .一般通項(xiàng)的分子為非零常數(shù)，分母為非常數(shù)列的等差數(shù)列的兩項(xiàng)積的形式 .若an1，分子為非零常數(shù)，分母為非常數(shù)列的等差數(shù)列的兩項(xiàng)積的形式,B)(An(AnC)則an1111111B)(AnC)CB(AnC)，如an=nn1(AnAnBn(n1)錯位相減求和法：通項(xiàng)為非常數(shù)列的等差數(shù)列與等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)的積的形式：anbncn,其中bn是公差d≠0等差數(shù)列，cn是公比q≠1等比數(shù)列，如an=(2n-1)2n.一般步驟：Snb1c1b2c2bn1cn1bncn，則qSnb1c2bn1cnbncn1所以有(1q)Sbc(c2cc)dbcn1n113nn要點(diǎn)詮釋：求和中觀察數(shù)列的類型，選擇合適的變形手段，注意錯位相減中變形的要點(diǎn).要點(diǎn)五：數(shù)列應(yīng)用問題數(shù)列應(yīng)用問題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個重要內(nèi)容,解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型,有關(guān)平均增長率、利率（復(fù)利）以及等值增減等實(shí)際問題，需利用數(shù)列知識建立數(shù)學(xué)模型.建立數(shù)學(xué)模型的一般方法步驟.①認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意，達(dá)到如下要求：⑴明確問題屬于哪類應(yīng)用問題；⑵弄清題目中的主要已知事項(xiàng)；⑶明確所求的結(jié)論是什么.②抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量或適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá).③將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將已知與所求聯(lián)系起來，據(jù)題意列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式（如函數(shù)關(guān)系、方程、不等式）.要點(diǎn)詮釋：數(shù)列的建模過程是解決數(shù)列應(yīng)用題的重點(diǎn)，要正確理解題意，恰當(dāng)設(shè)出數(shù)列的基本量.【典型例題】類型一：數(shù)列的概念與通項(xiàng)例1．寫出數(shù)列： 1，3，5，7，??的一個通項(xiàng)公式.5 10 17 26【思路點(diǎn)撥】從各項(xiàng)符號看，負(fù)正相間，可用符號(1)n表示；數(shù)列各項(xiàng)的分子：1，3，5，7，??是個奇數(shù)列，可用2n 1表示；數(shù)列各項(xiàng)的分母：5，10，17，26，??恰是22 1,32 1,42 1,52 1,?可用(n 1)2 1表示.【解析】通項(xiàng)公式為：an(1)n2n1.(n1)21【總結(jié)升華】①求數(shù)列的通項(xiàng)公式就是求數(shù)列中第n項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式.如果把數(shù)列的第1，2，3，?項(xiàng)分別記作f(1)，f(2)，f(3)，?，那么求數(shù)列的通項(xiàng)公式就是求以正整數(shù)n(項(xiàng)數(shù))為自變量的函數(shù)(n)的表達(dá)式；②通項(xiàng)公式若不要求寫多種形式，一般只寫出一個常見的公式即可；③給出數(shù)列的構(gòu)造為分式時，可從各項(xiàng)的符號、分子、分母三方面去分析歸納，還可聯(lián)想常見數(shù)列的通項(xiàng)公式，以此參照進(jìn)行比較.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,,則5是此數(shù)列中的（）2132143216A.第48項(xiàng)B.第49項(xiàng)C.第50項(xiàng)D.第51項(xiàng)【答案】C將數(shù)列分為第1組1個，第2組2個，?，第組n個，(1)，(1,2)，(1,2,3),，(1,2,,n)，121321nn11則第n組中每個數(shù)的分子分母的和為n＋1，則5為第10組中的第5個，其項(xiàng)數(shù)為(1＋2＋3＋＋69)＋5＝50.故選C.【變式2】根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列中的前4項(xiàng)，并歸納猜想其通項(xiàng)公式：（1）a13,an12an1(2)a1a,an112an【答案】（1）a13,a27,a315,a431，猜想得an2n11.(2)a1=a,a2=1a,a3=2a,a4=32a，232a43a猜想得an=(n1)(n2)an(n1)a.類型二：等差、等比數(shù)列概念及其性質(zhì)的應(yīng)用例2.在1和n1之間插入n個正數(shù)，使這n2個數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n個數(shù)之積；n【解析】方法一：設(shè)插入的n個數(shù)為x1,x2,,xn，且公比為q，則n11qn11n∴qn1n(n1)，xkqk（k1,2,,n）n1q1q21qnn(n1)nTnx1x2xn1q12n1q2(n1)2nnnnnnnn方法二：設(shè)插入的n個數(shù)為x1,x2,,xn，x01n1，,xn1n1nx0xn1x1xnx2xn1nTnx1x2xn，Tn(xnx1)(n1)n，2(x1xn)(x2xn1)nTn(n1)2nn【總結(jié)升華】第一種解法利用等比數(shù)列的基本量a1、q，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時計(jì)算較繁；第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與“首末項(xiàng)等距”的兩項(xiàng)積相等，這在解題中常用到.舉一反三：【變式1】如果一個等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32：27，求公差.【答案】設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a1，公差為d，則12a1111d35412212a166d354a126(a11652dd)5a12d0d52326a1152d2762【變式2】已知：三個數(shù)成等比數(shù)列，積為 216，若第二個數(shù)加上 4，則它們構(gòu)成一個等差數(shù)列 ,求這三個數(shù).【答案】這三個數(shù)為 2，6，18或18，6，2.S31S6等于()例3.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若，則S12S633111A．B．C．D．10389【思路點(diǎn)撥】利用等差數(shù)列的性質(zhì)來解：等差數(shù)列{an}中，Sk，S2kSk，S3kS2k也成等差數(shù)列.【解析】由題意知S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差數(shù)列，由已知得S63S3，故公差為(S6S3)S3S3，所以S9S6S32S3，故S96S3，S12S9S33S3，故S1210S3，所以S63．故選A。S1210【總結(jié)升華】等差等比數(shù)列的性質(zhì)是高考命題的熱點(diǎn)， 熟練掌握它們的性質(zhì)并靈活運(yùn)用， 能使問題簡潔.舉一反三：【變式】已知等差數(shù)列{an}，Sn25,S2n100,則S3n（）A.125B.175C.225D.250【答案】C方法一：∵{an}為等差數(shù)列，∴Sn,S2n Sn,S3n S2n成等差數(shù)列，即 2(S2n Sn) Sn (S3n S2n)2(10025)25(S3n100)，解得S3n225，∴選C.方法二：取特殊值（適用選擇題）：令n1，由題意可得SnS1a125,S2nS2a1a2100,∴a275，da2a150，∴S3nS33a13(31)d225,2∴選C.方法三：Snna1n(n1)d25,S2n2n(2n1)22na1d100,2兩式相減可得na1n(3n1)d75，2∴S3n3na13n(3n1)d753225.2∴選C.例4．等差數(shù)列{an}中，a10,S9S12，該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最??？【思路分析】等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)an是關(guān)于n的一次式，前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次式（缺常數(shù)項(xiàng)）.求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最大最小值可用解決二次函數(shù)的最值問題的方法.{an}9812a11211【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題意有：9a12d2d化簡得a110d，a10,d0，Snna1n(n1)d10dnn(n1)dd(n21)2212d222280,Sn有最小值。又nN*,n10或n11時，Sn取最小值.【總結(jié)升華】前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次式（缺常數(shù)項(xiàng)），當(dāng)a10,d0時，Sn有最小值；當(dāng)a10,d0時，Sn有最大值舉一反三：【變式1】等差數(shù)列{a}中，a13,SS，則它的前__項(xiàng)和最大，最大項(xiàng)的值是____.n1311【答案】7，49設(shè)公差為d,由題意得3211103a1+d=11a1+d，得d=-2,22∴Sn有最大值.又S3=S11,可得n=311=7，2∴S7為最大值，即76S7=7×13+2(-2)=49.【變式2】若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn=an·an+1·an+2(n∈N)，{bn}的前n項(xiàng)和用Sn表示，若{an}中滿足3a5=8a12>0，試問n多大時，Sn取得最大值，證明你的結(jié)論.56【答案】∵3a5=8a12>0，∴3a5=8(a5+7d),解得a5=- d>05∴d<0，∴a1=-76d，5故{an}是首項(xiàng)為正的遞減數(shù)列 .76(n1)d0ana1(n1)d0d5則有a1nd0,即an176dnd0511解得：15≤n≤16，∴n=16，即a16>0，a17<0即：a155>a2>?>a161718>?>0>a>a于是b1>b2>?>b14>0>b17>b18>??而b15=a15·a16·a17<0b16=a16·a17·a18>0S14>S13>?>S1,S14>S15，S15<S1669又a15=-d>0，a18=d<055a15<|a18|，∴|b15|<b16，即b15+b16>0S16>S14，故Sn中S16最大例5.設(shè)Sn、Tn分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，滿足Sn7n1，求a11.Tn4n27b11【思路點(diǎn)撥】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，主要利用：(2n1)(a1a2n1)(2n1)2an(2n1)an進(jìn)行求解.S2n122【解析】方法一：a112a11a1a2121(a1a21)S2172114的關(guān)系2b112b11b1b2121b21)T214212732(b1方法二：設(shè)Snk(7n1),k(4n27)n(k≠0)，nTna11=S11-S10=11k(7×11+1)-10k(710+1)×=148kb11=T11-T10=11k(4×11+27)-10k(4 10+27)=111k×a11148k4.b11 111k 3【總結(jié)升華】等差數(shù)列的中項(xiàng)在前 n項(xiàng)和式中的應(yīng)用是解決本例的關(guān)鍵， 也應(yīng)注意到前 n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的聯(lián)系.舉一反三：【變式1】等差數(shù)列{an}中，Sn=50，a1 a2 a3 a4 30，an3 an2 an1 an 10，求項(xiàng)數(shù)n.【答案】a1a2a3a430(1)，an3an2an1an10(2)，由（1）+（2）得:4(a1an)40(a1an)10，n(a1an)50n10n10Sn22【變式2】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a1a2a35,a7a8a910，則a4a5a6____.【答案】由已知得a1a2a3a335,a7a8a9a8310，故a4a5a6a53(a2a8)352.【高清課堂：數(shù)列綜合381084例2】【變式3】在數(shù)列an中，a11,a22，an1(1q)anqan1(n2,q0)（1）設(shè)bnan1an(nN*)，證明bn是等比數(shù)列.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(3) 若a3是a6與a9的等差中項(xiàng)，求 q的值；并證明：對任意的 n N*，an是an3與an6的等差中項(xiàng).【答案】（1）利用定義證明 bn qbn1n,q1（2）an1qn11,q1q1（3）證明q1時，ann不合題意q1時，an11qn1,1q由a3是a6與a9的等差中項(xiàng)可求q32又an3an611qn211qn522qn2222qn11q1q1q1q2(11qn1)2an1q即a是a3與an6的等差中項(xiàng).nn類型三：由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式例6．已知數(shù)列an中a15,a22,an2an13an2,(n3)求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式。【思路點(diǎn)撥】把a(bǔ)n2an13an2整理成anan13(an1an2)，得數(shù)列anan1為等比數(shù)列；把a(bǔ)n2an13an2整理成an3an1(an13an2)得數(shù)列an3an1為等比數(shù)列，通過構(gòu)造的新數(shù)列的通項(xiàng)公式，聯(lián)立求出 an.【解析】an2an13an2anan13(an1an2)又a1a27,anan1形成首項(xiàng)為7，公比為3的等比數(shù)列，則anan173n2?????????①an2an13an2，an3an1(an13an2)，a23a113，an3an1形成了一個首項(xiàng)為13，公比為1的等比數(shù)列則an3an1(13)(1)n2?????????②①3②4an73n113(1)n1an73n113(1)n144【總結(jié)升華】本題是兩次構(gòu)造等比數(shù)列，最終用加減消元的方法確定出數(shù)列的通項(xiàng)公式。舉一反三：【變式1】已知數(shù)列{an}中，a11，an12an1，求an.3【答案】法一：設(shè)(an1A)2(anA)，解得A323(an13)3)即原式化為(an3設(shè)bnan3，則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且b1a132∴bnan3(2)(2)n1an33(2)n33法二：∵an211an①2an13an1(n2)②32(an由①－②得：an1anan1)3設(shè)bnan1an，則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列∴bnan1an2(2)n1(2)n333∴2an1an(2n33)∴an33(2)n3法三：a22a11，a32a21(2)221，a42a31(2)3(2)221，??，33333333an2an11(2)n121，3(2)n33∴an333【變式2】在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an，求an.1nan【答案】an1an,11nan1n，∴11n1nanan1ananan1an1 1∴ 11 12a3 a2??1 1(n 1) (n 2)an an1將以上各式疊加，得1112(n1)n(n1)(n2)ana12∴11n(n1)(n2)an2又n=1時，11(11)112a1∴an2(nN*)n2n2類型四：an與Sn的關(guān)系式的綜合運(yùn)用例7.數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn，若對于n N,Sn nan 1恒成立，求Sn.【思路點(diǎn)撥】可以考慮化為Sn的遞推式，直接求Sn，這是方法一；已知Sn與an的混合式，考慮采用降角標(biāo)作差的方法，化為an的遞推關(guān)系式，先求an再求Sn，這是方法二.【答案】Snnn1【解析】方法一：當(dāng)n2時，anSnSn1，SnnanSnn(SnSn1)(1n)SnnSn1，所以數(shù)列(1n)Sn是首項(xiàng)為2S1，公差為1的等差數(shù)列.當(dāng)n1時，S1a11,2S11(1n)Sn2S1(n1)1n，Snnn1方法二：Snnan1①則Sn1(n1)an11②①—②得annan(n1)an10，(n1)an(n1)an1，即ann1，an1n1在①中，當(dāng)n=1時，a1a11,a112ana1a2a3a4....an1an1123n2n1111a1a2a3anan2345nn1n(n1)nn121Sn(11)(11)(11)...(11)11，22334nn1n1n.Snn1【總結(jié)升華】an與Sn的關(guān)系式的綜合運(yùn)用，如果已知條件是關(guān)于an、Sn的關(guān)系式f(an,Sn)0，可利用n≥2時anSnSn1，將條件轉(zhuǎn)化為僅含an或Sn的關(guān)系式。注意分n=1和n≥2兩種情況討論，若能統(tǒng)一，則應(yīng)統(tǒng)一，否則，分段表示。舉一反三：【變式1】在數(shù)列{a}中，已知a1,前項(xiàng)和S與通項(xiàng)a滿足2，n2Sn2anSnan(n2,3....)n1nn求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式 .【答案】因?yàn)閍nSnSn1,從而由已知得到：2(2S1)(SS).即11，2Sn12nnnSnSn1于是得到Sn111(n2).2n，就可以得到：an12n12n3【變式2】在數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，若a1＝1，an＋1＝1Sn(n≥1)，則an＝________.31,n1【答案】an1n242,n3an＋1＝1Sn(n≥1)，∴an＝1Sn－1(n≥2)，3 3an＋1－an＝1an(n≥2)，即an＋1＝4an(n≥2)，3 3當(dāng)n≥2時，an1(4)n2，當(dāng)n＝1時，a1＝1.331,n1∴an1n2423,n3【變式3】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn1(an1)(nN*).31）求a1,a2；2）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列.【答案】（1）由S11(a11)，得a11(a11)，33∴a11，2又S21(a21)，即a1a21(a21)，得a21.334（2）證明：當(dāng)n2時，anSnSn11(an1)1(an11)，33得an1，又a21，an12a12所以{an}為首項(xiàng)為11，公比為的等比數(shù)列.22類型五：數(shù)列的求和問題例8.（2015天津）已知數(shù)列{an}滿足an2qan（q為實(shí)數(shù)，且q≠1），nN*，a11，a22，且aa，aa，a4a成等差數(shù)列.23345(Ⅰ)求q的值和{an}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)bnlog2a2n,nN*，求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和.a2n1n122,n為奇數(shù).（Ⅱ）Snn2【答案】(Ⅰ)2；ann4n122,n為偶數(shù).2【解析】（Ⅰ）解：由已知，有(a3a4)(a2a3)(a4a5)(a3a4)，即a4a2a5a3，所以a2(q1)a3(q1).又因?yàn)閝≠1，所以a3=a2=2，由a3=a1·q，得q=2.2k1n1當(dāng)n=2k―1（k∈N*）時，ana122；2k2kn當(dāng)n=2k（k∈N*）時，ana2k22.n1所以，{an}的通項(xiàng)公式為an22,n為奇數(shù).n22,n為偶數(shù).（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得bnlog2a2nna2n12n1.設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn1211(n1)1n11021322n22n1221111112Sn121222323(n1)2n1n2n上式兩式相減，得1111n11n2n12n2，Sn222n12n1n2n2n22122整理得，Sn4n22n1.n2所以，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為4，n∈N*。2n1【總結(jié)升華】數(shù)列求和是考試的熱點(diǎn)，以等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算為背景考查錯位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和等求和方法。重點(diǎn)是錯位相減法 .舉一反三：【變式1】（2015天津文）已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5－3b2=7.（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè) cn=anbn，n∈N*，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，數(shù)列{bn}的公差為2q23d2d，由題意q＞0.由已知，有3d，消q410去d，整理得q4―2q2―8=0.又因?yàn)閝＞0，解得q=2，所以d=2.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an=2n-1，n∈N*；數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為 bn=2n－1，n∈N*.（Ⅱ）由（Ⅰ）有cn=(2n―1)·2n-1，設(shè){cn}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=1×20+3×21+5×22+?+(2n－3)×2n-2+(2n―1)×2n-1，2Sn=1×21+3×22+5×23+?+(2n－3)×2n-1+(2n―1)×2n，上式兩式相減，得Sn=1+22+23+?+2n―(2n―1)×2n=2n+1―3―(2n―1)×2n=―(2n―3)×2n―3，所以，Sn=(2n―3)·2n+3，n∈N*.【變式

2】若數(shù)列

{an}的相鄰兩項(xiàng)

an、

an1是方程

x2

Cnx

(1)n3

0的兩根，又

a1

2，求數(shù)列{Cn}的前

n項(xiàng)和

Sn.【答案】由韋達(dá)定理得anan1cn，anan1(1)n，3∴an1an2(1)3

n1an21，，得3an∴數(shù)列{a2k}與{a2k1}均成等比數(shù)列，且公比都為1，113由a12，a1a2，得a23,6∴a2ka2(1)k11(1)k1,a2k1a1(1)k12(1)k136333(I)當(dāng)n為偶數(shù)時，令n2k（kN*）,SnC1C2C3...C2k(a1a2)(a2a3)(a3a4)...(a2k1a2k)(a2ka2k1)a12(a3a5...a2k1)2(a2a4...a2k)a2k11k1]1k]a3[1()a2[1()1223232)k11(113332[1(1)k1]1[1(1)k]122332632(k)2233397(1)k97(1)2n.223223(II)當(dāng)n為奇數(shù)時，令n2k1（kN*），SnC1C2C3...C2k1(a1a2)(a2a3)(a3a4)...(a2k2a2k1)(a2k1a2k)a12(a3a5...a2k1)2(a2a4...a2k2)a2ka3[1(1)k1]a2[1(1)k1]11k22323(1116)113332[1(1)k1]1[1(1)k1]1(1)k1223326322633397(1)k97(1)n21.2323類型六：等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例9.（2016長沙校級模擬）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an23432，a4的等}滿足：a+a+a=28，且a+2是a差中項(xiàng)。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)balog1a，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。nnn2【答案】（1）an=2n（2）Sn=2n+1―n·2n+1―2【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)a3+2是a2，a4的等差中項(xiàng)和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，進(jìn)而得出首項(xiàng)和a1，即可求得通項(xiàng)公式；（2）先求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，然后求出―Sn―（―2Sn），即可求得的前n項(xiàng)和Sn?！窘馕觥浚?）設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q∵a3+2是a2，a4的等差中項(xiàng)∴2(a3+2)=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20a1q a1q3 20∴a3 a1q2 8q2q12∴或a12a132∵數(shù)列{an}單調(diào)遞增an=2n2）∵an=2n∴bn2nlog12nn2n2∴Sn12222n2n①∴2Sn122223(n1)2nn2n1②∴①―②得，Sn=2+22+23+?+2n―n·2n+1=2n+1―n·2n+1―2【總結(jié)升華】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的前n項(xiàng)和，對于等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積形式的數(shù)列，求前n項(xiàng)和一般采取錯位相減的辦法。舉一反三：【高清課堂：數(shù)列綜合381084例1】【變式】已知兩個等比數(shù)列nn，滿足a1a(a0)，b1a11，a，bb2a22，b3a33.（1）若a1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列 an唯一，求a的值.【答案】（1）an(22)n1或an(22)n11（2）